Solución numérica y analítica de problema matemático

Las ecuaciones diferenciales son aquellas ecuaciones que contienen derivadas
respecto a una o varias variables independientes y las ecuaciones diferenciales
parciales contienen derivadas respecto a dos o más variables independientes.

Este trabajo de tesis se realizó con el objetivo de encontrar la solución
analítica y numérica al problema

Para lograr el objetivo se utilizaron calculadoras, computadoras, software
especiales; se usaron técnicas de diferencias finitas para la parte numérica
y de separación de variables para la parte analítica.

Se describen las referencias bibliográficas empleadas y los resultados,
como parte del procedimiento.

El análisis de resultados se hace con una función expresada en
una serie y se analizan las formas de convergencia de la solución analítica
y la solución numérica hallada. Para bosquejar la superficie que
responde a la solución, en el análisis de los resultados se utilizó
el software matemático de Matlab.

CAPÍTULO I

Introducción

La ecuación general, lineal de segundo orden se expresa como:

donde los coeficientes A, B, C, D, E, F, G, son constantes en el plano o en R2.

Las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican en: parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Siendo prototipos de ellas: la ecuación de difusión (ecuación del calor), la ecuación de Laplace y la ecuación de vibraciones (ecuación de onda).

Existen diversos métodos numéricos para resolver las ecuaciones diferenciales, como son: Método de Euler, Método de Taylor, Runge-Kutta, Método de Diferencias Finitas, Método de Crank-Nicholson, Iteración de Gauss-Seidel. El presente trabajo desarrolla la ecuación utilizando el método de diferencias finitas en forma explícita, que se usa para producir mejores aproximaciones. Se aplica el programa Matlab para graficar la solución de la ecuación y se comparan los resultados de la solución analítica y numérica.

La presentación del trabajo se realiza en cuatro capítulos, la referencia bibliográfica y la parte de los apéndices.

El Capítulo I versará sobre la introducción, el planteamiento del problema, justificación, preguntas, objetivos, antecedentes y metodología de la investigación, en la cual se detallan las técnicas utilizadas para el desarrollo de la investigación.

El Capítulo II trata sobre el marco teórico, el Capítulo III, se subdividirá en dos partes: resultados de la parte analítica y resultados de la parte numérica. Finalmente, se presentan en el Capítulo IV el análisis de resultados y la conclusión.

Planteamiento del Problema.

El problema a investigar consiste, en encontrar la solución numérica y analítica de la ecuación en derivadas parciales hiperbólicas constituida por la Ecuación de Onda.

Esta es:

Con condiciones de fronteras:

Y con las condiciones iniciales:

La ecuación a resolver describe modos de vibraciones de una cuerda situada en el eje x en un tiempo t.

Justificación del Problema.

Este tema de investigación estará sujeto al estudio, análisis y solución del problema

,

en los intervalos 0< x < 1; 0 = t = 0.5.

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial, lineal de segundo orden, que describe el comportamiento de una onda en una cuerda.

El problema a resolver es de una ecuación de onda unidimensional, en la cual dada una cuerda se propaga una onda que viaja en el eje x, en un tiempo t, con amplitud u, que depende de x y t.

Las ecuaciones diferenciales se usan para modelar los hechos y los datos cambiante, ya que para representar la realidad en movimiento usamos una clave especial, una simbología sintética que nos informa acerca de una velocidad, de un descenso de temperatura, de un aumento de la población, de un monto de intereses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en común que son variaciones a través del espacio tiempo, dimensión en la cual cambia la materia.

Preguntas de Investigación.

Objetivos de la Investigación.

Objetivo General.

Objetivos Específicos.

• Resolver la ecuación de onda en forma numérica y analítica.

• Comparar los valores obtenidos con ambas soluciones.

• Graficar la función, utilizando software adecuado.

• Analizar las ventajas y desventajas de cada solución.

Antecedentes.

Las ecuaciones diferenciales surgen con el estudio de situaciones dinámicas: cambiantes en el espacio tiempo. Esos sistemas dinámicos se han presentado para señales de tiempo continuo, dando como resultado las ecuaciones diferenciales y para señales de tiempo discreto, trayendo esas señales las ecuaciones en diferencias.

Al finalizar el siglo XVII, Leibniz coordinaba los matemáticos del continente europeo, y ya estos habían resuelto las ecuaciones de variables separadas, homogéneas, lineales y la ecuación de Bernoulli, de forma general.

En 1715, Taylor por primera vez estudia las soluciones singulares de las ecuaciones implícitas

En 1734, Clairaut introduce su ecuación, obteniendo su envolvente con una familia de rectas como solución y con el concepto de factor integrante. Para 1758, Euler plantea que las soluciones singulares se obtengan derivando, en vez de integrando. En 1776, Lagrange demuestra que, si existe, la envolvente de una familia de soluciones de una ecuación diferencial es también solución de la misma.

Lagrange y D"Alembert hacia 1765, desarrollan la teoría general de las ecuaciones lineales con coeficientes variables, y en 1776, Lagrange introduce el método de variación de las constantes.

Con relación a las ecuaciones diferenciales de la física, en 1743 Euler introduce el cálculo diferencial en la mecánica. En 1799, Laplace publica la Mecánica celeste, obra definitiva en este campo, porque en ella aparece el primer estudio de las ecuaciones en diferencias lineales.

Euler y Lagrange en este siglo XVIII, crean el cálculo de variaciones, metodología utilizada para abordar problemas de curvas de longitudes mínimas y que conducen a problemas de contorno para ecuaciones diferenciales de segundo orden.

En el siglo XIX, el Análisis Matemático revoluciona en gran medida, siendo Cauchy el artífice de esta revolución. Se abordan de frente las nociones de límite, derivada y diferencial, culminando en la aritmetización del análisis con la construcción formal del número real en 1872. En 1844, Cauchy publica más completamente la teoría fundamental. Plantea el problema de valor inicial o problema de Cauchy

Henri Poincaré, en 1890 demuestra su teorema de recurrencia, primero de naturaleza claramente global, tanto en el sentido del tiempo como del espacio, por considerar familias enteras de trayectorias. Crea también el primer teorema claro sobre la convergencia del método de perturbaciones.

En el siglo XX, Birkhoff comienza en 1927 la investigación general sobre sistemas dinámicos, que consiste en que "El fin último de la teoría de los movimientos de un sistema dinámico debe estar dirigido hacia la determinación cualitativa de todos los tipos posibles de movimientos y su interrelación". También se le atribuye la introducción de la noción abstracta de sistema dinámico, los conjuntos límites, movimientos recurrentes y la realización del primer estudio sobre el comportamiento caótico.

Para 1963, Lorenz en sus experiencias numéricas se encontró con trayectorias acotadas pero no asintóticamente periódicas ni casi-periódicas. Cuando las simulaciones numéricas, se repetían con las mismas condiciones iniciales, algunas reflejaban respuestas contradictorias, lo cual se debían al efecto de redondeo del ordenador, descubriéndose experimentalmente la dependencia sensible a las condiciones iniciales, una de las características más importantes de la dinámica caótica.

(Fernández, C. 2003; p.746): "Todas las investigaciones, primero experimentales, después numéricas, y finalmente dotadas de las potentes herramientas desarrolladas por Smale y otros, marcan el despegue, tanto en sistemas continuos como discretos, de la teoría del caos, complejo entramado de teoría de bifurcaciones, geometría diferencial, análisis funcional y muchos otros ámbitos matemáticos".

Actualmente se está estudiando en profundidad la conexión
existente entre la dinámica de una ecuación diferencial y la de
las ecuaciones en diferencias asociadas a los diversos métodos numéricos
de resolución aproximada.

Metodología.

La investigación realizada en este estudio es de tipo cualitativa analítica y documental. Las fuentes utilizadas fueron: libros, revistas e internet. Según (Bernal, 2006, p.110): "la investigación documental depende fundamentalmente de la información que se obtiene o se consulta en documentos, entendiendo por esto todo material al que se puede acudir como fuente de referencia, sin que se altere su naturaleza o sentido".

Instrumentos:

Los instrumentos utilizados en este estudio para la recolección de los datos fueron: la calculadora, computadora, software de matemáticas como Matlab.

Procedimientos:

Para determinar la importancia de esta investigación y poder responder a las interrogantes propuestas al inicio de ésta, los procedimientos utilizados fueron: la investigación, documentándome en diferentes fuentes bibliográficas y consultando modelos desarrollados y analizados, de lo que es la ecuación de onda, tema concerniente de dicho proyecto.

También se investigó sobre los métodos ya existentes que permitieron resolver ecuaciones como la señalada.

Posteriormente, observando y analizando los ejercicios del tema, procedí a encontrar la solución del problema propuesto, tanto en forma analítica como numérica; las mismas fueron ejecutadas llevando a cabo además, métodos modernos tales como: la herramienta de Matlab para la obtención de los resultados y la gráfica de los mismos; otros métodos no tan modernos, pero de igual importancia: el método de separación de variables y el método de diferencias finitas.

CAPÍTULOII:

Marco Teórico

Ecuaciones Diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. En ella figura como incógnita una función y = f(x), que relaciona la variable x, la variable y, y algunas derivadas de la función.

Clasificación por Tipo.

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): estas contienen derivas respecto a una sola variable independiente.

(Rainville, V., Bedient, R. & Bedient, P., 2000, p.404), argumentan que "las ecuaciones diferenciales parciales pueden tener soluciones que impliquen funciones arbitrarias y soluciones que incluyan un número ilimitado de constantes cualesquiera".

Clasificación por Orden.

El orden de una ecuación diferencial es el orden de
la derivada mayor en la ecuación, sea esta una ecuación diferencial
ordinaria o una ecuación diferencial parcial.

Ejemplo:

es una
ecuación diferencial de segundo orden.

Clasificación por Linealidad.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se clasifican en lineales y no lineales.

Una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:

Al respecto (Carmona, I. 1998, p.23), sostiene que "en las ecuaciones lineales cada coeficiente de y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente x (puede ser constante)".

Ecuaciones no lineales: son aquellas que no cumplen con las propiedades mencionadas anteriormente.

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria.

Según (Semerari, F. 2008, p.5), dada "una función f, definida en un intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en una ED la reduce a una identidad".

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como por ej. Transformada de Laplace).

Según afirma (Carmona, I. 1998, p.25), "las soluciones de estas ecuaciones, pueden ser: solución general y solución particular". Agregamos, nosotros, que existen las soluciones singulares.

La solución general de una ecuación diferencial es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).

Problemas que se Modelan.

(Weinberger, H.F. 1979, p.5) afirma al respecto que "hemos definido una cuerda como un continuo unidimensional en el cual la única interacción existente entre sus distintas partes es una tensión. Esto, naturalmente, es una idealización de una cuerda real. Se denomina modelo matemático."

En términos matemáticos, es deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, sea físico, sociológico, antropológico o incluso económico. La descripción en matemática de un sistema o un fenómeno se llama modelo matemático y se construye con ciertos objetivos en mente.

La construcción de un modelo matemático de un sistema comienza con la identificación de las variables a las que se atribuye el cambio del sistema. En este paso se especifica el nivel de resolución del modelo.

Luego se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hipótesis, acerca del sistema que se está intentando describir. Estas suposiciones también incluirán algunas leyes empíricas que podrían ser aplicables al sistema.

Las suposiciones que se hacen respecto a un sistema con frecuencia tienen que ver con una rapidez de cambio de una o más variables, la representación matemática de todas estas suposiciones podría ser una o más ecuaciones con derivadas.

Una ecuación diferencial de primer orden podría utilizarse como modelo matemático en el estudio de crecimiento poblacional, desintegración radiactiva, interés compuesto continuo, enfriamiento de cuerpos, mezclas, reacciones químicas, líquido que fluye por un orificio en un depósito, velocidad de la caída de un cuerpo, rapidez de memorización y circuito en serie.

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se aplican para crear modelos que resuelven problemas de ingeniería (en puentes, en los cables que lo sostienen), economía, biología, química, física, ecología, ciencias sociales y en las propias matemáticas.

Según (Ian, S. 2007, p.136) "los antiguos griegos sabían que una cuerda vibrante puede producir muchas notas musicales diferentes, dependiendo de la posición de los nodos, o puntos en reposo". En el caso de la frecuencia fundamental solo los puntos extremos están en reposo. Si la cuerda tiene un nodo en su centro, entonces produce una nota una octava más alta; y cuantos más nodos haya, mayor será la frecuencia de la nota. Las vibraciones más altas se denominan armónicos.

"Las vibraciones de la cuerda de violín son ondas estacionarias: la forma de la cuerda en cualquier instante es la misma, excepto que está estirada o comprimida en una dirección perpendicular a su longitud. La máxima cantidad de estiramiento es la amplitud de la onda, que físicamente determina el tono de la nota". (Stewart, 2007, p.136).

Existen otros instrumentos musicales en los cuales su funcionamiento está basado en una ecuación de ondas que lo describe, como es el caso del tambor circular.

Muchos de los más importantes avances tecnológicos, tales como la radio, la televisión y los aviones comerciales dependen, de muchas maneras, de las matemáticas de las ecuaciones diferenciales. Hay un vínculo directo entre la ecuación de ondas y la radio y la televisión.

Las ondas electromagnéticas, constituyen otra aplicación muy importante de las ecuaciones diferenciales parciales.

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales.

(Haberman, R. 2003, p.235) plantea "las ecuaciones diferenciales parciales se suelen clasificar en grupos que engloban ecuaciones con propiedades matemáticas y físicas cualitativamente similares".

Dentro de los prototipos más sencillos de estas ecuaciones tenemos:

La ecuación del calor, la ecuación de Laplace y la ecuación de ondas.

Métodos Para Resolver Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales.

Separación de Variables.

"El método de separación de variables es una técnica clásica eficaz para resolver varios tipos de ecuaciones diferenciales parciales. La idea a grandes rasgos es la siguiente.

Diferencias Finitas.

Una expresión matemática de la forma f(x + b) – f(x +a), se llama diferencia finita, si al dividir ésta por (b – a) se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. En los métodos de diferencias del análisis numérico, las aproximaciones de las derivadas por diferencias finitas desempeñan un papel central, para la resolución de las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones Diferenciales de la Física.

Las siguientes son las principales ecuaciones diferenciales de la física; donde f es una función incógnita y g una función dada:

• 1. Ecuación de Laplace

Está presente en electrostática en el vacío, en ese caso f es el potencial eléctrico. Se encuentra también en problemas de difusión en régimen permanente. Es un caso particular de la ecuación de Poisson y también de la ecuación de Helmholtz.

• 2. Ecuación de Poisson

donde ?2 es el operador laplaciano, f y g funciones reales o complejas,

en electrostática con g la densidad de carga

donde ? es el flujo eléctrico.

Esta ecuación modela problemas físicos: mecánico o eléctrico. En mecánica, describe el equilibrio estático de una membrana.

• 3. Ecuación de Onda

Esta ecuación describe modelos de propagación a velocidad finita y completamente reversible en tiempo. Se puede notar que la ecuación de onda tridimensional es similar a la ecuación de Laplace en un espacio de dimensión 4, solo que para la coordenada de tiempo t existe un cambio de signo. Se ve claro que la ecuación de onda se reduce a la ecuación de Laplace en el caso estacionario (independiente del tiempo). También existe la ecuación de onda no homogénea

la cual aparece en electromagnetismo.

• 4. Ecuación de difusión

Esta ecuación describe la distribución del calor (o variaciones de temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo y en general fenómenos con difusión.

Los fenómenos que esta ecuación describe son altamente irreversibles en tiempo, en los que la información se propaga a velocidad infinita.

• 5. Ecuación de Schr?dinger.

La ecuación de Schr?dinger es una función de onda fundamental de la mecánica cuántica que describe la interacción de la onda y la partícula.

Dejando a un lado las constantes, la forma de esta ecuación es

• 6. Ecuación de Helmholtz

Muchas de las ecuaciones anteriores se reducen a la ecuación de Helmoltz en casos especiales como son: la ecuación de Schr?dinger en el caso independiente del tiempo es la misma ecuación de Helmoltz, la ecuación de onda o la de difusión se pueden reducir a la de Helmholtz haciendo una transformada de Fourier o de Laplace para la variable tiempo t: en ese caso la derivación por el tiempo se vuelve una multiplicación.

Ecuación de Onda.

Es un tipo de ecuación diferencial que describe la propagación de una perturbación a través del espacio tiempo.

Se deduce de (Campbell, S. & Haberman, R., 1998, p.654) de la siguiente manera:

Supongamos una cuerda en el eje x.

Para su deducción se supone que:

Se tiene una cuerda elástica muy estirada con una fuerza
de tensión constante horizontal
y se encuentra en reposo.

La cuerda vibra solo en sentido vertical y además que la fuerza de tensión horizontal permanece constante.

Como la validez de (1) depende de muchas suposiciones, tales como las tensiones constantes, que son una buena aproximación solo para pequeños desplazamientos a partir de una cuerda tensa en posición horizontal.

CAPÍTULO III:

Resultados del Problema

Resultados de la Parte Analítica de la Ecuación.

Esta parte es fundamental en la aplicación del método: la única forma en que una función de variable x sea igual a una función de variable t es si ambos son constantes. De aquí obtenemos dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O) que son las siguientes:

Caso 1

(Ver apéndice A).

Caso 2.

Caso 3.

Así que:

Aplicando las condiciones iniciales (C.I) a la (ec.18), tenemos:

La convergencia de la serie anterior está asegurada ya que se trata de una función continua en los intervalos espacios temporales considerados. Las condiciones de Dirichlet nos aseguran esto. (Ver apéndice D).

Ver resultados de la solución analítica de la ecuación (Tabla 1).