Solución numérica y analítica de problema matemático (página 3)

Tabla 2.

Resultados de La Solución Numérica de la
Ecuación, Utilizando el Método de Diferencias Finitas con los
Valores

Tabla 3.

Resultados Unificados de Ambas Soluciones: Analítica y Numérica.

Nota: El primer valor corresponde a la solución analítica
y el segundo valor a la solución numérica.

CAPÍTULO IV:

Análisis de Resultados y Conclusión

En la presente investigación se mostrará el análisis de los resultados del tema:

Con esta serie se pueden comparar los valores exactos con los valores aproximados. Estos números sirven para realizar un bosquejo de la gráfica visualizando la ecuación diferencial hiperbólica en el espacio de tres dimensiones.

En la tabla 2 se presentan los valores aproximados de la solución numérica de la ecuación, utilizando el método de diferencias finitas con los puntos de malla separados con una distancia h=0.05 en dirección x, la cual disminuye a medida que n crece. En el tiempo posee una separación k=0.05, la cual crece si m disminuye.

Conclusiones.

Al finalizar esta investigación se concluye lo siguiente:

• No siempre es posible la representación explícita de la solución en forma de serie, integral o en términos de funciones elementales conocidas.

• Se usa métodos numéricos cuando se hace difícil encontrar la solución analítica de la ecuación.

• No son muchos los métodos empleados para buscar la solución analítica de una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP). Entre ellos tenemos: Método de Sumas, Transformada de Laplace y Separación de Variables.

• Escogimos el método de Separación de Variables, por ser el más rápido, ya que convierte la Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) en dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).

• El método de diferencias finitas, proporciona de manera rápida y eficiente la obtención de los valores de la solución numérica.

• Con la utilización del software de Matlab se hace posible ver el comportamiento de la función para determinados puntos, modificando el programa creado, introduciéndoles nuevos parámetros.

• En esta tesis hemos demostrado que ambos métodos producen los mismos resultados: esto nos da confianza para usar uno u otro según convenga en cada caso.

Referencias Bibliográficas

Ayres, F. (2001). Ecuaciones diferenciales. McGRAW-HILL.

Bavaresco, A. (1979). Técnica de la investigación.
(4ta. Ed.). South-Western Publishing.

Bernal, C. (2006). Metodología de la investigación.
Pearson, México.

Besga, M.C. (2005). Análisis numérico. Servicio
Editorial de la Universidad del País Vasco.

Campbell, S. & Haberman, R. (1998). Introducción a
las ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera. (1era.
Ed.)México, D.F.: McGraw-Hill.

Carmona, I. (1998). Ecuaciones diferenciales.(4ta. Ed.) Pearson.

Chow, P.L. (2007). Stochastic partial differential equations. CHAPMAN & HALL/CRC, (Series II) Boca Raton London New York.

Coleman, M.P. (2005). An introduction to partial differential equations with Matlab. (Serie 4). CHAPMAN & HALL/CRC,Washington, D.C.

Collado, C. & Baptista, P. (1998). Metodología de la investigación. (2da. Ed.) McGRAW-HILL.

Duoandikoetxea, J. (2003). Lecciones sobre las series y transformadas de Fourier. Recuperado de http://www.es.scribd.com/doc/36911247/13/

Edwards, H., Penney, D. & Calvis, D. (2009).Ecuaciones diferenciales y problemas de valores en la frontera: cómputo y modelado (4ta. Ed.) México: Pearson Educación.

Fernández, C. (2003). Ecuaciones diferenciales y en diferencias. THOMSON.

Gallardi, C. (1998). Método para calcular el modo fundamental de la ecuación de Helmhotz en un recinto elíptico. Recuperado de http://unne.edu.ar

Haberman, R. (2003). Ecuaciones en derivadas parciales con series de Fourier y problemas de contorno (3era. Ed.) Pearson.

Kurmyshev, E. & Sánchez, R. (2003). Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería. (1era. Ed.). Editorial Limusa, México, S.A. de C.V.

Ledder, G. (2006). Ecuaciones diferenciales: un enfoque modelado. México, D.F.: Mcgrawill

López, E. & Carmona, I. (2011). Ecuaciones diferenciales. (5ta. Ed.) . Pearson Educación, México, S.A. de C.V.

López, J. (2001). Ecuacionesdiferenciales y variable compleja. Pearson Educación, S.A.: Madrid.

Mejía, F. (2011).Math time proffesional II. Publish or Perish, Inc.

Mitchell, A.R. & Wait, R. (1977).The element method in partial differential equations. John Wiley & Sons, Ltd.

Nagle, K., Saff, E., & Snider, A. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. (4ta. Edición) Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

O"Neil, P. (2008). Matemáticas avanzadas para ingeniería (6ta.Edición). Cengage Learning Editores, S.A

Sánchez, L. & Legua, M. (1999). Ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace con aplicaciones. Editorial. Universidad Politécnica de Valencia.

Semerari, F. (2008). Ecuaciones diferenciales y métodos matemáticos. ONDA.

Spiegel, M. (1976). Teoría y problemas de análisis de Fourier. McGraw-HILL.

Stewart, I. (2007). Historia de las matemáticas.Brosmac.

Strauss, W. (2008). Partial differential equations. John Wiley & Sons.(2da. Ed.).

Téllez, G. (2004) Métodos matemáticos. Ediciones Uniandes.

Tijonov, A. & Samarsky, A. (1972). Ecuaciones de la física matemática. Editorial Mir, Moscú

Notas del maestro Leonte Ramírez Leonardo.

Apéndices

Apéndice A.

Caso 1.

Apéndice B.

Caso 2

Apéndice C.

Según Euler:

Apéndice D.

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica.

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua
a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos
y mínimos locales y un número finito de discontinuidades de periodo
2p. Sean

Se sobreentiende que si la función es continua en el intervalo la convergencia
de la serie se asegura más rápido.

Apéndice E.

Códigos Utilizados en Matlab.

Código Para Sumar Términos de la Serie.

clear;

fprintf('ttsuma de la serie S=[[(4/(n*pi)^3)*cos(n*pi)-(2/(n*pi))*cos(n*pi)-(4/(n*pi)^3)]*cos(n*pi*t)*sin(n*pi*x)]n,x,t');

n=input('ingrese el valor de n:')

x=input('ingrese el valor de x:')

t=input('ingrese el valor de t:')

k = 0;

for j=1:n

k= k+[[(4/(j*pi)^3)*cos(j*pi)-(2/(j*pi))*cos(j*pi)-(4/(j*pi)^3)]*cos(j*pi*t)*sin(j*pi*x)];

end

fprintf('suma= %1fn,x,t',k);

Código Para Hallar los Valores de la Solución Numérica.

clear;

x2=input('entre el valor de x2=');

x1=input('entre el valor de x1=');

x3=input('entre el valor de x3=');

x4=input('entre el valor de x4=');

y = 1*x2+0*x1+1*x3-x4;

disp(y);