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Señales y sistemas
Señales y clasificación
Sistemas y clasificación
Respuesta al impulso de los sistemas
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Señales
Se tratarán 4 tipos de señales:
Analógicas, x(t): amplitud y tiempo continuos.
Muestreadas,X[n], tiempo discreto , amplitud continua.
Cuantizada,Xq[t], tiempo continua amplitud discreta.
Digital, -xq[n], amplitud y tiempo discreto.
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Clasificación de las señales
Clasificación de las señales según su duración
Causales: Son 0 para t< 0. Se definen sólo para el eje positivo de t.
Anticausales: Son 0 para t >0. Se definen sólo para el eje negativo de t.
No causales: Se definen para ambos ejes de t.
Continuas: Se definen para todo tiempo t.
Periódicas: xp(t) = xp(t±nT), donde T es el periodo y n es un entero.
Basada en la simetría
Simetría Par: x(t) = x(-t)
Simetría Impar: x(t) = -x(-t)
En energía y potencia (impulsos limitados en tiempo y señales periódicas)
Energía de una señal : Potencia de una señal :
Una señal se dice que es de energía si Ex es finito, lo que implica
que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo.
Una señal se dice que es de potencia si Px es finito, lo que implica
que Ex es infinito. Ej. Una señal periódica.
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Algunas Señales
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Algunas señales: (cont)
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Operaciones con señales:
Desplazamiento en el tiempo: x(t-2), desp. A la derecha
Compresión en el tiempo: x(2t)
Dilatación en el tiempo: x(t/2)
Reflexión: x(-t)
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Sistema
Un sistema físico es un conjunto de dispositivos conectados entre sí, cuyo funcionamiento está sujeto a leyes físicas.
Para nosotros un sistema es un procesador de señales.
Las señales a ser procesadas son la exitación del sistema .
La salida del sistema es nuestra señal procesada.
El análisis de sistemas implica el estudio de la respuesta del sistema a entradas conocidas.
La síntesis de sistemas se realiza especificando las salidas que deseamos para una entradas dadas y estudiando que sistema es el más adecuado .
El sistema se representa mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la salida y(t) y la entrada x(t) mediante constantes, parámetros y variables independientes.
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Sistemas: Clasificación
Los sistemas se clasifican en :
* Lineales: los coeficientes no dependen de x o y, no hay términos constantes.
* No lineales: los coeficientes dependen de x o y, hay términos constantes.
* Invariante en el tiempo: Los coeficientes no dependen de t.
* Variante en el tiempo: Los coeficientes son funciones de t.
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A los sistemas lineales se les puede aplicar el principio de superposición.
Si x(t)=x1(t)+x2(t) -> y(t)= y1(t)+y2(t)
x(t)=K x1(t) -> y(t)=K. y1(t)
Un sistema es invariante en el tiempo cuando la respuesta y(t) depende sólo de la forma de la entrada x(t) y no del tiempo en que se aplica. Matemáticamente:
Si L{x()t}=y(t) -> L{x(t-t0)}=y(t-t0)
L{} indica el sistema físico en cuestión.
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Para Finalizar sistema
Usaremos sistemas LTI: lineal e invariante en el tiempo.
La respuesta al impulso del sistema se representa con h(t) y es la respuesta a la exitación delta de dirac y nos proporciona la base para estudiar cualquier tipo de entrada.
Es la principal herramienta para el estudio de un sistema.
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Convolución
Podremos calcular la respuesta y(t) de un sistema a una entrada cualquiera x(t).
Condiciones para llevarla a cabo:
Sistema LTI
Respuesta al impulso del sistema h(t)
Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema es invariante en el tiempo:
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Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un tren infinito de impulsos. Para ello, dividimos x(t) en tiras rectangulares de anchura ts y altura
x(k ts). Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el área de la
tira : ts . x(k.ts) d(t –Kts)
La función xs(t) que aproxima x(t) es :
x(t) es el límite cuando ts -> d? , kts->? :
Y aplicando el principio de superposición:
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Conclusiones Convolución
Mediante convolución hemos sido capaces de determinar la respuesta del sistema a una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a una entrada impulso.
La función h(t) se define para t>=0 y decrece cuando t->00, para la mayoría de los sistemas físicos. Por tanto,
La respuesta en t0 depende de los valores actual y pasados de la entrada
y de la respuesta al impulso.
Los valores más recientes de x(t) son multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y más grandes) valores de h(t).
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Propiedades de la convolución
Propiedades (se supone que x(t)*h(t)=y(t)):
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En la práctica se trabaja con secuencias de longitud finita. Para hacer
la convolución, una de las secuencias se refleja y se desplaza
sucesivamente. Veremos algunos métodos para calcular la convolución
a partir de dos secuencias.
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Convolución Discreta
Propiedades sobre la duración de la convolución discreta.
El índice del comienzo de la convolución es la suma de los índices de comienzo de las respectivas señales. Si las dos señales comienzan en n=n0 y n=n1, la convolución comienza en n=n0+n1.
Para dos secuencias de duración M y N, su convolución se extiende durante M+N-1 muestreos.
Propiedades de la convolución discreta (x[n]*h[n]=y[n])
Formas de calcular la convolucion discreta:
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Correlación discreta : Se definen de igual manera que en el caso continuo, así como la autocorrelación.
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Series y Transformada de Fourier
Las series de fourier describen señales periódicas como una combinación de señales armónicas (sinusoides).
Se puede analizar una señal periódica en términos de su contenido frecuencial o espectro.
Dualidad entre tiempo y frecuencia.
Forma trigonométrica de las series de fourier: se pretende describir una función periódica x(t) de período T, frec fundamental f=1/T ,w0=2*Pi*f0
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En forma exponencial:
Cálculo de los coeficientes
Relación de Parseval
La potencia contenida en una señal puede evaluarse a partir de los
coeficientes de su correspondiente serie de Fourier.
Espectro de señales periódicas : Los coeficientes Xs[k] son los coeficientes espectrales de la señal xp(t).
La gráfica de esos coeficientes en función del índice armónico k ó de las frecuencias kw0, se denomina espectro.
Hay dos tipos de gráficos, uno de magnitud con los coeficientes |Xs[k]| y otro de la fase de Xs[k].
La función |Xs[k]| así como la fase de Xs[k] son funciones discretas de la frecuencia.
Es importante saber cuantos armónicos serán necesarios para reconstruir una señal dada. Para ello utilizaremos la relación de Parseval.
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Efecto Gibbs
Para señales discontinuas, su reconstruccón a partir de las series de Fourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparición de un pico de del 9% en el punto de discontinuidad . Aun se tiene este efecto cuando se utilicen gran cantidad de armónicos para la reconstrucción.
Al querer aproximar la función periódica que tiene infinitos armónicos hay que truncar la función hasta el armónico N -> se produce este efecto.
Para eliminarlo se usan las llamadas ventanas espectrales que suavizan la reconstrucción de la función.
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Transformada de Fourier
Para ampliar el concepto de series de Fourier a señales no periódicas se puede visualizar una señal no periódica como una señal continua de período infinito .
El espaciado entre frecuencias se aprox. a cero y es por lo tanto una función continua
La señal pasa a ser de potencia a señal de energía.
Los coeficientes Xs[k] son cero. Ya no es un indicador del contenido espectral de la señal.
Se define la Transformada de Fourier de x(t) como
Relación entre series y transformada de Fourier
X(w) es la función envolvente de Xs[k]
Si muestreamos X(w) a intervalos f0. la función resultante es el espectro de una señal periódica de período T0=1/f0
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Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se corresponde con señales periódicas en el dominio temporal.
La transformada inversa de Fourier de X(w)
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Limitaciones de la Transformada de Fourier
El sistema debe tener condiciones iniciales cero.
Entradas que no son señales de energía requieren el uso de impulsos.
Por ello se extiende el concepto de la Transformada de Fourier a la Transformada de Laplace.
Transformada de Laplace
La cantidad compleja s= s+j w. De esta forma se generaliza el concepto de frecuencia en la Transformada de Fourier.
Se hace notar que el límite inferior de la integral es 0, lo cual proporciona una misma Transformada para señales causales ya que x(t) y x(t)u(t) son iguales.
La Transformada de Laplace existe si la integral que la define es finita.
Para ello se necesita que los valores de s sean unos concretos, lo que define una región de convergencia de la Transformada de Laplace.
Con la Transformada de Laplace se generaliza el concepto de función de Transferencia de un sistema a aquellos cuyas condiciones iniciales son no nulas.
De igual manera que en la Transformada de Fourier, podemos obtener la respuesta de un sistema a un señal de entrada x(t) a partir sus Transformadas de Laplace:
Donde H(s) es la función de transferencia del sistema.
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Muestreo y Cuantización
El muestreo digital de una señal analógica trae consigo una discretización tanto en el dominio temporal como en el de la amplitud.
Para describir matemáticamente el muestreo nos basaremos en el muestreo ideal. Consiste en una función que toma los valores de la señal Xc(t) en los instantes de muestreo y cero en los otros puntos.
Donde ts es el período de muestreo y x(t) es la función de interpolación.
El muestreo trae aparejado pérdida de información de la señal original. El teorema del muestreo establece en que condiciones se debe muestrear para que no se nos escapen los eventos de la señal original que son importantes para nuestro posterior desarrollo con la señal.
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Concepto de discretización de la señalTiempo discreto y amplitud discreta
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Teorema del muestreo
Una señal Xc(t) con un espectro limitado a la frecuencia Fb ( |f|< =Fb)puede ser muestreada sin pérdida de información si la frecuencia de muestreo fs supera la cantidad 2Fb, es decir fs>=2Fb.
De no muestrearse al menos a esa frecuencia tiene lugar el fenómeno de ”Aliasing” .
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Es decir,el espectro de la señal muestreada se compone de una función de período 1/t, replicándose en cada período el espectro de la señal original. En la sig. Fig. se observa el fenómeno:
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