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Objetivos
Describir una señal de corriente alterna a través de los parámetros que la definen.
Representar adecuadamente una señal senoidal, de manera fasorial.
1.1 Introducción
1.2 Función Senoidal
1.3 Fasores
1.4 Relaciones fasoriales para los elementos de un circuito
Contenido
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En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la energía eléctrica. La distribución de esta energía se realiza utilizando tensiones alternas senoidales.
1.1 Introducción
De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos referimos normalmente a aquella que presenta una forma senoidal. Esto es así, porque presenta varias ventajas en cuanto a su distribución y transporte frente a la corriente continua, además es la forma en que los generadores de corriente alterna la dan. En Europa la frecuencia de la red es de 50 Hz, en la mayor parte de América es de 60 Hz.
La razón digna para estudiar la función senoidal, es que es la forma de onda dominante en la industria de potencia eléctrica. La señal presente en los tomacorrientes de c.a. en nuestra casa, oficina, laboratorios, etc., es senoidal.
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Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de la misma frecuencia.
Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda senoidal presenta las siguientes ventajas:
La suma de ondas senoidales de igual frecuencia, pero de distinta amplitud y fase, es una senoide de la misma frecuencia.
Admite una representación con vectores giratorios, denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo .
Es por esta razón la necesidad de estudiar el comportamiento en estado estable de la función senoidal y esto condujo a los ingenieros a desarrollar los conceptos de fasor y de impedancia, que relacionan linealmente la corriente y el voltaje fasorial de un elemento del circuito.
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En esta sección, estudiamos la respuesta forzada de estado estable de redes con funciones forzadas senoidales. Vamos a ignorar las condiciones iniciales y la respuesta transitoria o natural, que fue estudiada con anterioridad, y que finalmente desaparece en el tipo de circuitos que vamos a tratar. Nos referimos a esto como un análisis de c.a. en estado estable.
1.2 Función Senoidal
La función forzada de onda senoidal es descrita por:
x(?t) = XMsen?t
x(t) puede representar v(t) ó i(t).
XM es la amplitud o valor máximo
? es la frecuencia angular
?t es el argumento de la función seno
donde:
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La expresión general para una función seno puede ser descrita por:
donde: ?t + ? es el argumento de la función seno
? es el ángulo de fase
x(t) = XMsen(?t + ?)
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cos?t = sen(?t + p/2)
sen?t = cos(?t – p/2)
-cos?t = cos(?t ± p/2)
-sen?t = sen(?t ± p/2)
Recordemos algunas de las identidades trigonométricas, que nos servirán de alguna utilidad:
Utilizando estas identidades trigonométricas, tratemos de expresar la expresión general del seno en otra forma:
x(t) = XMsen(?t + ?)
x(t) = XM(sen?t*cos? + cos?t*sen?)
x(t) = A sen?t + B cos?t
sen(? + ß) = sen ?*cosß + cos ?*senß
cos(? + ß) = cos ?*cosß – sen ?*senß
sen(? – ß) = sen ?*cosß – cos ?*senß
cos(? – ß) = cos ?*cosß + sen ?*senß
donde A = XMcos?
B = XMsen?
Entonces
y
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Por lo tanto
Si aplicamos una función forzada senoidal a una red lineal, los voltajes y corrientes de estado estable en la red también serán senoidales.
Esto también se cumple (es decir, es válido) para la aplicación de las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes.
Por ejemplo: si aplicamos un voltaje v(t) = Asen(?t + ?), entonces esto producirá una corriente i(t) = Bsen(?t + f). Entonces podemos concluir que la solución conlleva en determinar los valores de los dos parámetros B y f.
A continuación encontremos la respuesta de estado estable de un circuito RL ante una función forzada senoidal.
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1.1.2 Respuesta de Estado Estable de un circuito RL a una función forzada senoidal:
Consideremos el circuito mostrado
en la Figura 1.1
Aplicando LKV a la malla existente, obtenemos:
entonces i(t) será también senoidal: i(t) = Acos(?t + f)
i(t) = Acos?t*cosf – Asen?t*senf)
i(t) = A1cos?t – A2sen?t
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donde A1 = Acosf
A2 = Asenf
Si ahora sustituimos i(t) obtenido, en la ecuación diferencial inicial, y aplicando su derivada, obtenemos:
L(-A1?sen?t -A2?cos?t) +R(A1cos?t – A2sen?t) = VMcos?t
Ahora igualando término a término, ambos lados de la ecuación, obtenemos las siguientes, ecuaciones:
-A1?L – A2R = 0
-A2?L + A1R = VM
Resolviendo ambas ecuaciones, tenemos:
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Así, la corriente i(t) será:
donde A y f se determinan como:
Entonces:
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luego para la fase f
Así:
por lo tanto
entonces el ángulo de fase f es:
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El análisis anterior nos indica que el ángulo de fase f será cero si la bobina L = 0 y por lo tanto la corriente i(t) estará en fase con el voltaje v(t). Si por el contrario hacemos la Resistencia R = 0, el ángulo de fase f valdrá 90º y así la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) en 90º.
por lo tanto la corriente i(t) será:
Si ambos componentes R y L están presentes, la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) por algún ángulo de fase f entre 0o y 90º.
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