Cuarto: Se aplica la segunda ley de Newton en forma de componentes rectangulares.
?Fx = max
y
= may
?F
Quinto: Se descomponen todas las fuerzas en sus componentes rectangulares. Debido al sistema
de referencia elegido, la normal N y la tensión T, están sobre los ejes. La única fuerza que se
descompone en este problema, es el peso. Sus componentes rectangulares son:
wx = mgsen?
wy = mgcos?
N
T
mg = w
x+
?
?
El ángulo de inclinación
que forma el peso con
respecto al eje vertical
es ?
Leyes de Newton
0
horizontal, es sostenido mediante una cuerda, como se muestra en la figura. Determine la tensión
de la cuerda y la magnitud de la fuerza normal (perpendicular al plano inclinado).
m
?
Primero: Se identifican todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
T tensión de la cuerda
w peso del cuerpo
N normal
Segundo: Se realiza el diagrama de cuerpo libre o aislado, donde se colocan todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo en estudio (bloque).
N
T
w
Tercero: Elegir un sistema de referencia (de preferencia un eje perpendicular y otro paralelo al
plano). Considerar el eje x positivo en la dirección (o posible dirección) de movimiento del cuerpo.
y+
s
De esta forma, las fuerzas o componentes de fuerzas que se encuentran sobre le eje de las x's
Fx
son: la componente del peso wx y la tensión de la cuerda T, las cuales se sustituyen por la
?Fx = max
Quedando:
wx -T = max
Obsérvese que wx es positivo y que T es negativo, ya que apuntan en tales direcciones.
Sustituyendo el valor de wx
mgsen? -T = max
En este caso, el cuerpo está en reposo, por lo que no hay cambios de velocidad, ó lo que es lo
mismo, no existe aceleración (ax = 0 ). Sustituyendo:
mgsen? -T = 0
Resolviendo para la tensión:
T = mgsen?
Sustituyendo los valores:
)sen300
m
s2
T =10kg(9.81
T = 49.05Nt
La fuerza normal se determina a partir de la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's.
?Fy = may
Considerando también que no hay movimiento en el eje vertical ay = 0
N – wy = 0
Despejando a la normal y sustituyendo la componente vertical del peso:
N = mgcos?
Sustituyendo los valores
)cos300
m
2
N =10kg(9.81
N = 94.82Nt
únicamente la componente en el eje x, siendo ésta de magnitud: mg sen
.
Para determinar la aceleración resolvamos analíticamente, aplicando la segunda ley de Newton.
2. Del problema anterior, suponga que la cuerda se rompe. Calcule la aceleración del bloque
cuando ésta se desliza sobre el plano inclinado.
y+
N
?
mg = W
x+
Al desaparecer la tensión de la cuerda, el bloque inicia su movimiento, a medida que transcurre el
tiempo, su velocidad va incrementándose (no hay rozamiento), existiendo en consecuencia una
aceleración.
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son la Normal y el Peso. Si sumáramos las dos fuerzas,
encontraríamos una fuerza Neta o Resultante que estará sobre el eje de las x's y que es la que
hace que el cuerpo se acelere hacia abajo sobre el plano.
Analizando el problema con mayor detenimiento, podemos descomponer al peso en sus
componentes rectangulares, y como el cuerpo no se mueve sobre el eje de las y's, deducimos que
la fuerza Normal es de igual magnitud que la componente del Peso sobre dicho eje, quedándonos
= max
?Fx
Wx = max
mgsen? = max
mgsen?
m
= gsen?
ax =
Si analizamos las figuras antes de resolver el problema analíticamente, observaremos que existe
una gran similitud entre ellos, lo único que está cambiando son los ángulos. Con esta observación
podemos resolver un solo problema (el que parece más complicado: Fig. 3) y a partir del análisis
del resultado, podemos inferir los otros. Procedamos a ello.
Se deben de hacer tantos diagramas de cuerpo libre, como cuerpos en estudio tengamos.
Descomponer todas las fuerzas en sus componentes rectangulares y aplicar la segunda ley de
Newton a cada uno de los diagramas de cuerpo libre. Cuando no existe rozamiento, no es
necesario trabajar con la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's, a menos que se pida la
magnitud de la fuerza Normal o la componente del peso en ese eje.
Haciendo suma de fuerzas en el eje de las x's
?Fx = m1a1x ?Fx
= m2a2x
T1 -W1x = m1a1x
W2x -T2 = m2a2x
a
ß
Para el bloque m2
Para el bloque m1
y+
y+
x+
Mov. de m
x+
1
Mov. de m2 en el eje
de las x's, positivo hacia
abajo
N1
T2
T1
W1
N2
W2
600
300
m1
m2
600
300
m2
3. De las siguientes figuras encuentre la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas.
m1
m2
30 0
m1
m2
m2
m1
Figura 1
Figura 2
Figura 3
m1
Figura 4
a = ? ? 2
?m (1) -m1(0)?
?g = ? 2 ?g
30 ? y
= 90
{
90 ? y
= 90
{
T -m1gsena = m1a1x
m2gsenß -T2 = m2a2x
Como es la misma cuerda y mientras no se estire ni se afloje, la tensión en cualquier punto es la
misma por lo que:
T1 = T2
Consecuentemente, mientras un cuerpo desliza hacia arriba, el otro desliza hacia abajo,
experimentando ambos los mismos cambios de velocidad, es decir, que tienen la misma
aceleración:
a1x = a2x
Con esto, las dos ecuaciones anteriores se convierten en:
T -m1gsena = m1a m2gsenß -T2 = m2a
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ( T y a ), que se resuelve por medio de
los métodos conocidos ( suma y resta; sustitución; igualación o determinantes).
Usando el método de sustitución:
Despejamos T de la primera ecuación:
T = m1a + m1gsena
y la sustituimos en la segunda:
m2gsenß -(m1a+m1gsena) = m2a
Resolviendo:
m2gsenß -m1a-m1gsena) = m2a
m2gsenß -m1gsena = m2a+m1a
m2gsenß -m1gsena = (m2 +m1)a
a =
m1 + m2
?m senß -m1sena ?
? m1 +m2 ?
Para calcular la tensión, únicamente sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos
ecuaciones lineales.
?m senß -m1sena ?
? m1 + m2 ?
Analizando el resultado de la aceleración, podemos tener los siguientes casos:
0 0
Correspondiendo dichos ángulos al primer caso, es decir, a la figura 1.
Por lo tanto, la aceleración de los bloques para esa figura es:
?
? ? m1 + m2 ?
? m sen900 -m1sen00
? m1 + m2
m2g
a =
m1 + m2
Para la Figura 2 tenemos que:
0 0
;
sen
=1
?m (1)-m1sena ? ?m -m1sena ?
? m1 + m2 ? ? m1 + m2 ?
Para la Figura 4 tenemos que:
0 0
;
sen
? ???
sen
=1
Nota: Obsérvese que los ejes positivos fueron tomados en la dirección de movimiento propuesta.
Aplicando la segunda ley de Newton en el eje vertical a ambos diagramas:
?Fy = m1a1y ?Fy = m2a2y
T -m1g = m1a1y
m2g -T = m2a2y
donde a1y = a2y = a
obteniendo dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
m2
m1
?m (1)-m1(1)? ? m -m1 ?
? m1 + m2 ? ? m1 + m2 ?
Los resultados obtenidos para la aceleración también pueden ser analizados, así por ejemplo, en el
último caso (Fig. 4):
v Si m2 > m1
tenemos que la aceleración de los cuerpos es positiva ( a > 0 ) y los cuerpos se mueven de la
siguiente forma:
m1 hacia arriba
m2 hacia abajo
v Si m2 < m1
tenemos que la aceleración de los cuerpos es negativa ( a < 0 ) y los cuerpos se mueven de la
siguiente forma:
m1 hacia abajo
m2 hacia arriba
v Si m2 = m1
tenemos que la aceleración de los cuerpos es nula ( a = 0 ) y los cuerpos permanecen en reposo.
v Si cualquiera de los cuerpos es mucho mayor ( >>> ) que el otro, por ejemplo m2 >>> m1,
entonces:
m2 -m1 ? m2
y
m2 +m1 ? m2
y la aceleración es positiva e igual al valor de la magnitud de la gravedad ( g ).
v En el otro caso, cuando:
m2