APRENDIZAJES ESPERADOS :
Los alumnos :
1. Representan, analizan y resuelven problemas contextualizados en situaciones como la
asignación de precios por tramo de consumo, por ejemplo de agua, luz, gas.
2. Identifican variables dependientes e independientes.
3. Conocen y utilizan conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta.
4. Reconocen la Ecuación de una recta. Interpretan su pendiente y el intercepto con el eje de las
ordenadas.
5. Identifican Funciones afines y función lineal, características, expresión algebraica y gráfica.
6. Identifican la Función valor absoluto y su gráfica . Interpretan el valor absoluto como expresión
de distancia en la recta real.
7. Identifican la Función parte entera u su gráfica.
8. Resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Grafican las rectas
correspondientes.
9. Resuelven problemas y desafíos que involucran sistemas de ecuaciones. Analizan la pertinencia
de las soluciones.
10. Establecen relaciones entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones
lineales y sus soluciones.
11. Calculan distancia entre dos puntos en el plano.
ACTIVIDADES SUGERIDAS :
•
Investigan situaciones de la vida diaria, y representan gráficamente los datos obtenidos, en diarios
o medios de comunicación masivos, en centros estadísticos, hospitales, etc.
•
•
Desarrollan la Guía Nº 3
Reflexionan sobre cómo se amplia el
Estudio de la matemática.
•
•
•
•
–
–
–
–
–
–
–
–
Desarrollan talleres Nº 2, 3, 4, 5 y 6.
Discuten los talleres en grupos.
Desarrollan un control formativo como autoevaluación de conocimientos.
Consultan libros :
Matemática III, Editorial Santillana Matemática Algoritmo 1 Bup, Capítulo III, pág 78
Algebra. Editorial Arrayán Capítulo V, pág 113
Matemática III. Editorial Arrayán. Capítulo IV, pág 234
Matemática 4, Tapia . Editorial Estrada. Capítulo IV, pág 56 ; Capítulo VIII, pág 280
Matemática 2 , Gonzalo Riera Lira, del Ministerio de educación, Cap.5, pág 166- 209
Álgebra y Geometría II , Santillana. Cap. II, pág 32 – 83
Matemática 4, Tapia, Parte II, Funciones, pág. 178 –198
Álgebra Arrayan ,Editores. Cap. 3 pág. 151 – 174
CONTENIDOS
1. Medición en el plano cartesiano.
2. Distancia entre dos puntos.
3. Gráfica de rectas.
4. Función afín y función lineal.
5. Ecuación de una recta.
6. Pendiente y coeficiente de posición de una recta.
7. Puntos colineales.
8. Posición de dos rectas en el plano.
9. Función valor absoluto.
10. Ecuación con valor absoluto.
11. Función parte entera.
12. Sistema de ecuaciones lineales.
13. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
14. Sistemas de ecuaciones sin solución.
15. Sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones.
16. Interpretación gráfica de las soluciones.
17. Sistemas de ecuaciones con cambio de variables.
18. Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas.
19. Concepto de Matriz y determinante.
UNIDAD N°2:
“FUNCIONEMOS LAS ECUACIONES”
1. Plantea las ecuaciones que
conoces.
2. ¿ Cuántas soluciones puede tener
una ecuación ?
3. ¿ Cuántas incógnitas puede tener
una ecuación?
4. ¿ Qué importancia tienen las
ecuaciones?
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA :
Uno de los genios más extraordinarios de la
historia de las Matemáticas fue el matemático
alemán Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) .
En 1799, Gauss demostró el teorema
fundamental del álgebra, que dice que cada
ecuación algebraica tiene una raíz de la forma
a + bi, donde a y b son números reales, e i es
la raíz cuadrada de -1. Los números expresados
en la forma a + bi se llaman números complejos
y Gauss demostró que se podían representar
análogamente a los puntos de un plano.
En 1801 demostró el teorema fundamental de la
aritmética: “ todo número natural se puede
representar como el producto de primos de una
y solamente una forma”.
Así dejó fundamentada la Aritmética Superior.
Su obra principal fue “ Disquisitione Arithmeticae”
Antes de
comenzar la
unidad deseo
proponerte lo
siguiente…
Se ve interesante el tema…
Ahora voy a investigar de
que trata esto para luego
aplicar lo que haya
aprendido.
Trata de soñar y piensa cuántas
ecuaciones existen, cuántas incógnitas pueden tener, qué es necesario conocer si existen
ecuaciones con más de una incógnita.
Investiga en los textos sobre estos temas y verás cómo las matemática va creciendo y
siempre existen formas de resolver problemas. Aunque se dice que hay más problemas sin
resolver que problemas resueltos. Esto es verdad , es por eso que la Matemática sigue avanzando
y siempre se van creando cosas nuevas y con aplicaciones nuevas.
Recordemos algunas cosas sobre las ecuaciones ya vistas…
Ecuación de la recta y otras funciones
modelos de situaciones diarias
En esta unidad veremos cómo modelar información utilizando la
línea recta.
Así, estudiaremos , en forma muy particular, los efectos del tabaco
en la salud humana, el tipo de gráficas y fórmulas que emplearemos sirven
para modelar otras situaciones, como los récords olímpicos o la velocidad de un móvil, cómo
ahorrar energía, organizar un evento para recaudar dinero, etc.
Creemos que tú estás a tiempo de decidir si fumas o no, de esta forma te entregaremos
información, para aquellos que no desean fumar tengan claro por qué no, y aquellos que deseen
fumar, lo hagan en forma consciente y responsable.
Los efectos de fumar cigarrillo
En Chile, durante la última década , ha fallecido un
promedio de mil personas anualmente a causa del tabaco, es una
cantidad muy alta de muertes por un solo motivo y
es superior al total de los decesos debido al consumo de alcohol u
otras drogas, a los homicidios, a los suicidios, accidentes de avión,
envenenamientos, incendios y ahogados. Las causas más
numerosas son las de cirugía para quitar órganos dañados:
pulmones, laringes, riñones, paladares, estómagos,
úteros,
próstatas y páncreas.
Pero no sólo las personas que fuman se hacen daño,
quienes viven con ellas sufren diversos síntomas como: toses, infecciones, problemas pulmonares
y susceptibilidad al cáncer, por ésta razón se han dictado leyes que prohiben el consumo de tabaco
en lugares públicos.
Actividad Investiga y responde:
–
¿Por qué , a pesar de la información que existe en la actualidad, siguen apareciendo
nuevas personas fumadoras?. ¿Cuáles son las causas o motivos que las induce a fumar?
–
¿Por qué las personas adictas al cigarrillo tienen, por lo general, dificultas para dejar
este hábito?. ¿Qué tratamiento existe para ayudarlas?, ¿en qué consisten?, ¿son efectivos?
–
Busca información numérica sobre la edad promedio en que se empieza a fumar,
Has una comparación entre fumadores hombres y fumadores mujeres, averigua cuáles son los
lugares y momentos en que se fuma más.
–
Haz un listado de “buena educación” para enfrentar la problemática que existe entre
fumadores y no fumadores.
–
–
¿En qué forma el medio ambiente y la naturaleza es perjudicado por el cigarro?.
Enumera los compuesto dañinos del cigarrillo y explica el tipo de daños que causan
en el organismo.
Menciona las enfermedades debidas, en gran parte, al consumo de cigarros. Explica
–
alguna de ellas.
Evidencia numérica : Muertes por cáncer pulmonar
La información que se presenta en la siguiente tabla fue
extraída del libro del Ministerio de Educación de segundo año medio
de Gonzalo Riera Lira, y pretende mostrar la relación entre el número
de cigarrillos consumidos y el número de muertes por cáncer al año
por cada cien mil habitantes.
Ummm,
veamos el
contexto
y2 – y1
•
•
(P P )
= (x2 – x1 ) + (y2 – y1 )
Las conclusiones que podemos obtener de la tabla no son muy precisas, para obtener resultados
más exactos y visibles te sugerimos que dibujes una gráfica de puntos que represente , por
ejemplo, las muertes por cáncer pulmonar (eje vertical) v/s cigarrillos consumidos (eje horizontal).
Aun así la información es muy difusa y poco práctica, te sugerimos:
–
Calcula el promedio de los datos en la horizontal, y a su vez el promedio de los
datos en la vertical.
–
Marca el punto promedio sobre tu gráfico, toma una regla y hazla girar sobre el
punto promedio.
–
–
Dibuja una recta que se ajuste mejor a los punto que marcaste en tu gráfico.
Determina la razón de aumento de consumo de cigarrillos y aumento de muertes
por cáncer al pulmón.
LA LINEA RECTA
Ejes de coordenadas
El sistema de ejes coordenados está formado por dos
rectas numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes.
El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas
y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.
Sobre el sistema de ejes coordenados es pueden ubicar
todos los pares ordenados de la forma (a, b), como lo muestra la
figura.
En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman
coordenadas del punto P
Distancia entre dos puntos
Supongamos que P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.
La distancia entre P1 y P2 se puede determinar,
por ejemplo, mediante el teorema de Pitágoras, de la
siguiente manera:
2 2
2
1 2
1
-1
-1
2
3
4
a
P(a, b)
x
y
5
4
b
3
2
1
x1
x2
y1
•
x2 – x1
x
y
y2
P2
P1
y2 – y1
x1
x2
y1
y2
L
•
•
x2 – x1
a
x
y
Así la distancia de P1 a P2 es:
(x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2
P1P2 =
Ejemplo:
La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:
(3 – (-4))2 + (-5 – 7 )2
49 + 144
193
AB =
=
AB =
Representación gráfica de la línea recta
En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ? R, representa una ecuación lineal con
dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y)
corresponde a un punto del plano cartesiano.
Ejemplo: la ecuación L: x + y = 4
Tabla de valores
Gráfico
Observaciones:
–
gráficamente una recta.
–
Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto
que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación .
–
Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta
correspondiente.
PENDIENTE DE UN RECTA
Se denomina pendiente “m” de una recta al
grado de inclinación “a” que tiene respecto del eje de las
abscisas (eje x)
y2 – y1
x2 – x1
m =
ejercicios
Supongamos que se tienen 4 rectas L1 , L2 , L3 y L4 de modo que :
L1 pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1)
1
-1
-1
A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde
2
2
1
3
4
4
3
•
•
L
x
y
5
x
x
L
y
y•
•
L2 pasa por los puntos: P(1, 2) y Q(5,2)
L3 pasa por los puntos: D(1,2) y E(1,-5)
L4 pasa por los puntos: R(1,2) y T(-2,-6)
60. Grafica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.
61. Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas.
62. Establece conclusiones válidas en relación a la inclinación de cada una de estas rectas con
respecto al eje x y compáralo con el valor de su pendiente.
63. ¿Qué ocurre cuando y2 = y1?, ¿y si x2 = x1?
Interpreta y dibuja las siguientes situaciones:
64.
2
3
m =
65.
-2
3
m =
Dado el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son los puntos A(1,2), B(5,2), C(3,4) y D(7,4)
66. Demuestra que éste cuadrilátero es un paralelógramo.
67. Calcula el perímetro del paralelógramo.
Decimos que tres o mas puntos son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta,
determina, en cada caso, si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico
correspondiente:
68. A(2, 3) ; B(4, 5) ; C(6, 7)
69. A(-5, 1) ; B(1, 15) ; C(-4, 15)
Haz el gráfico correspondiente a las siguientes rectas, en un mismo sistema de ejes coordenados y
establece conclusiones válidas respecto a lo que observas en ellas.
70. L1 : y = 2x –1
71. L3 : x + y = -3
72. L4 : y = x
73. L5 : 2x – y + 3 = 0
74. L2 : y =
1
2
x
75. x + 2y = 1
Puntos de intersección de una recta
con los ejes coordenados
Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos
donde la recta L corta al eje x son de la forma (x, 0) y donde
corta al eje y , de la forma (0, y).
Ejemplo:
– Intersección con el eje y : se hace x = 0
Resulta: -3y = 12
de donde : y = -4
Así la recta corta al eje y en el punto (0, -4)
x
x
Hallar la intersección de la recta 2x – 3y = 12 con los ejes coordenados:
y
Intersección con el eje x : se hace y = 0
–
Resulta: 2x = 12
de donde : x = 6
Así la recta corta al eje x en el punto (6, 0)
•
6
-4•
ejercicios
Dadas las siguientes rectas encuentra la intersección de ellas con los ejes coordenados:
76. x – 2y = 2
77. 3x – 6y = 18
78. x +
1
2
y=1
79.
1
3
1
2
y =1
x +
Ecuación de la línea recta
Toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ? R, también se puede escribir en la
forma y = mx + n , es decir como una función, donde m es la pendiente o coeficiente de dirección y
n es la intersección de la recta con el eje y , llamada también coeficiente de posición.
De esta forma, podemos afirmar que una recta está perfectamente definida si se conocen :
–
dos puntos de ella
Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5, 4) y B(7, 8)
4
2
8 – 4
7 – 5
m = 2
?
? m =
Calculemos su pendiente m =
Como
Tenemos
Luego:
y = mx + n , considerando el punto A(5,4) con x = 5 e y = 4
4=2·5+n
4 = 10 + n /-10
-6 = n
y = 2x – 6 es la ecuación pedida
–
un punto y su pendiente.
Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y tiene pendiente -4
Como, el punto dado es A(2,-5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m=-4
Entonces y = mx + n
Tenemos -5 = -4 · 2 + n
-5 = -20 + n /+20
15 = n
Luego:
y = -4x + 15 es la ecuación pedida
ejercicios
Encuentra la ecuación de la recta que:
80. Pasa por el punto P(-1, 3) y cuya pendiente es -2
81. Pasa por los puntos R(-1, 2) y T(1, 7)
Analiza cuidadosamente las rectas que cumplen:
82. Su pendiente es m = 0
83. Sus ecuaciones son de la forma x = a
84. Sus ecuaciones son de la forma y = mx
Posiciones de dos rectas en el plano
¿De qué manera puedes poner dos rectas en un plano?
¿Cuándo dos rectas son paralelas y cuándo perpendiculares?
Actividad
En el programa computacional Graphmática :
–
Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas que sean paralelas, indica
en ellas sus ecuaciones respectivas y destaca sus pendientes.
–
Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas
que sean
perpendiculares, indica en ellas sus ecuaciones respectivas y verifica la propiedad de sus
pendientes.
–
Representa en un gráfico de ejes cartesianos una recta cualquiera y luego varía el
valor de la pendiente dándole valores positivos y negativos.
–
Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas secantes e indica el punto
de intersección de ellas.
–
Establece conclusiones válidas en cada uno de los puntos anteriores
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.
Recordemos que son aquellas que tienen la incógnita dentro de un valor absoluto.
Para esto recordemos el concepto de valor absoluto :
?
x>0
x=0
x 0
si x = 0
si x < 0
,
,
,
? x
?
0
? – x
x
Así, haciendo tabla de valores, resulta:
EJERCICIOS
Realiza la gráfica de las siguientes funciones :
89. y = ? x ? + 1
91. y = ? x + 1 ?
90.
92.
y= ? x ? -2
y =? x – 3 ?
Expresar algebraicamente las funciones cuyas gráficas son :
94.
95.
FUNCIÓN PARTE ENTERA .
Tiene la forma
y =
[ x ]
, donde
[ x ] = al entero inmediatamente
menor o igual a “x”
Ejemplos:
Ejemplo :
1) ? 25 ? = 25
2)
? – 13 ? = -(-13) = 13
y
x
3
93. y
x
-4
y
x
y
x
y = ?
96. [ 2,3 ] = 2
Ahora , tú :
99. [ 7,2 ] =
97. [ -3,4 ] = -3
100. [ -5,1 ] =
98. [ 1,9 ] = 1
101. [ 6 ] =
Así, teniendo presente la definición, nos damos cuenta que la
parte entera de los números “x” tales que 0 = x < 1
siempre es 0 ; que la parte entera de los “x” tales que 1 =
x < 2 siempre es 1 , y así sucesivamente nos damos cuenta
que la gráfica es la que se presenta.
102.
EJERCICIOS
Grafica las siguientes funciones:
a)
? x?
? 2??
b) y =
[ x ]
2
Compara los valores de ambas funciones para
x = 3,2 ; x = -2,8 ; x = 4,2
103.
Al señor que atiende la recepción de encomiendas dispone de gráfico como el siguiente :
Osorno a Temuco:
¿ Cuál es el precio de una
encomienda que se envía de Osorno a
Temuco y que pesa:
a)
b)
c)
180 gramos
410 gramos
120 gramos
104. Los estudiantes de 2° Medio
se hacen cargo cada año de la fotocopiadora del colegio para juntar fondos para su viaje de fin de
año. Como todos los años, desean maximizar las ganancias y es por esto que se preocupan de
estudiar el convenio con la empresa que arrienda la fotocopiadora y las reglas internas hacia los
usuarios. Un estudio sobre la gestión del año anterior dio los siguientes resultados :
–
El convenio con la empresa consiste en un arriendo mensual fijo de $ 10.000 con
derecho a mil fotocopias y un costo variable de $ 5 por fotocopia adicional.
–
–
El costo de la fotocopia en el colegio fue de $ 20 durante todo el año.
El número de fotocopias sacadas durante cada mes fue el siguiente :
Enero : 720 ; febrero : 510 ; marzo : 1450 ; abril : 1300 ; Junio : 1357 ; julio : 951 ; agosto
: 1059 ; septiembre : 1278 ; octubre : 1190 ; noviembre : 1370 ; diciembre : 1025.
a) Calcular el valor pagado a la empresa durante los meses de febrero , marzo y abril del
año pasado.
b) Estudiar el costo mensual que se debe pagar a la empresa en función del número de
fotocopias sacadas durante el mes. Distinguir los casos en que el número de fotocopias es menor o
igual que 1000 o es mayor que 1000.
c)
Hacer un gráfico que resuma el estudio realizado.
105. En una determinada ciudad todos los taxis cobran $ 150 por la “ bajada de bandera “ ,
montos que permite recorrer los 800 metros iniciales; por cada tramo adicional de 200 metros, los
taxis pueden cobrar $ 60 , $ 70 u $ 80 según sea la opción de quien conduce o de común
acuerdo entre el conductor y los pasajeros. Si un taxi indica que su tarifa es $ 60 , pero el
taxímetro marca un incremento de $ 70 por cada tramo , ¿ qué gráfico puede adecuarse para
visualizar la diferencia que se acumula en el precio de un viaje ? Si al término de un viaje el
taxímetro de ese taxi marca $ 2600 , ¿ cuánto debiera cancelarse considerando que la información
1
x
y
3
2
1
-1
-2
•
°
•
°
2
•
°
3
°
4
•
°
-2
•
-1
•
°
$
200
600
400
100
300
500
gramos
de tarifa que está a la vista del público es $ 60 por cada 200 metros ? Ilustrar la situación con un
gráfico.
Objetivo transversal.
En los últimos años la explotación ilegal del
bosque y los incendios forestales han
producido una fuerte disminución de
araucarisa en la novena región.
– ¿Qué medidas deben tomar nuestros
gobernantes para proteger las araucarias?.
– ¿Por qué es importante cuidar éstos
árboles?.
– ¿Porqué hay tanta polémica en
relación con la explotación del bosque
nativo?.
– ¿Qué forma podría tener el gráfico
que muestra este fenómeno?
Elabora un proyecto grupal (no más de 4 integrantes por grupo), en el que
se propongan medidas concretas para cuidar las araucarias y nuestros
bosques nativos.
CONTROL FORMATIVO 3
1. Los siguientes puntos : A(2,-4), B(-1,2) y C(-7,-1) son los vértices de un
triángulo.
a) Determina si el triángulo es rectángulo.
b) Determina las coordenadas de un punto D de modo que la figura obtenida sea un
paralelogramo, justifica tu respuesta.
2. Determina el valor de K en la ecuación de la recta L1: 2x – y – k = 0 para que sea coincidente
a la recta L2 : y = 2x – 7
3. Grafica las siguientes rectas en un mismo sistema de ejes coordenados y establece
conclusiones válidas :
L1 : 2x –y = 1
L2 : x + 2y – 4 = 0
L3 : y = -0,5 x
L4 : x–0,5y–0,5 = 0
4. Completa la siguiente tabla:
31 – 4y
5.
De las siguientes ecuaciones con valor absoluto, elige y soluciona 2 :
a) ?3x – 3 ?= 16
b) ?6x – 7 ? = 0
c)
= 4
1
3
+
x
4
d)
1
2
+1 =
4 – 3x
5
6. Expresa en forma algebraica la siguiente
gráfica:
7.
a)
c)
Encuentra el(los) valores de “x” tales que:
?-3? < ? x ? < ? 3 ?
[x]=2
b)
d)
?-x ? – ? x ? = 0
[ x ] = -3
8. En un colegio se realizó una prueba cuya escala de
notas es en base al siguiente gráfico:
a) Si Juan obtuvo el 40% del puntaje total. ¿Qué nota
obtuvo ?
b) Si del curso, 6 obtuvieron nota 1,0 ¿ Qué puntaje
obtuvieron , aproximadamente ?
c) Si 20 alumnos obtuvieron 45 Punto. ¿ Qué nota les
correponde?
Ejemplo :
3x + 4y = 31
4x + 6y = 44
Se despeja “x” en la primera ecuación : x=
3
Se sustituye en la segunda ecuación : 4· (31 – 4 y) + 6y = 44
3
/·3
Se multiplica por 3 y se resuelve el paréntesis :
124 – 16y + 18y = 132
20 30
40
50
60
70
puntaje
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Una ecuación de la forma ax + by = c se dice ecuación lineal con dos incógnitas e
indeterminada, es decir tiene infinitos pares (x,y) como solución.
Ejemplo : En la ecuación x + 2y = 7 se tiene que
para y = 1 , x = 5 de donde un par solución sería (5,1)
para y = -3 , x = 13 de donde otro par solución sería (13,-3)
para y = 2 , x = 3 de donde otro par solución sería (3 , 2)
y así sucesivamente, tendríamos infinitos pares solución de la ecuación.
Si se forma otra ecuación de la mismas incógnitas y al mismo tiempo, se dice que se forma
un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, es decir tienen la forma :
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Para resolver estos sistemas de ecuaciones existen varios métodos algebraicos .
1°) METODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN: Consiste en despejar de una de las
ecuaciones, una de las incógnitas en función de la otra y sustituir este valor en la otra ecuación.
Not
a
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
5
De donde
2y = 8
/·
1
2
y= 4
Se sustituye este valor en
x=
31 – 4y
3
quedando x = 5
Así el par solución del sistema dado es
(5,4) .
¿ Cómo comprobar que esto es cierto ?
2°) ELIMINACIÓN POR igualaCIÓN : Consiste en despejar la misma incógnita en ambas
ecuaciones e igualar los valores de la variable elegida .
3x – 2y = 13
2x + 3y = 0
Ejemplo :
Eligiendo la variable x :
– en la primera ecuación :
– en la segunda ecuación:
2y + 13
3
– 3y
2
x =
x =
luego
– 3y
2
=
2y + 13
3
; despejando y se obtiene
y = -2
reemplazando en la ecuación 2x + 3y = 0 ,
se tiene 2x + 3 ·-2 = 0
2x – 6 = 0
2x = 6
de donde
x=3
Así , el par solución del sistema es (3,-2).
¡¡ Compruébalo !!
3°) ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN : Consiste en multiplicar ambas ecuaciones por valores de
tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales y con signos distintos ; en
seguida se suman las ecuaciones resultantes .
·-3
· 4
Ejemplo :
resulta
9x – 8y = 32
7x – 6y = 26
-27x + 24y = -96
28x – 24y = 104
sumando , se obtiene :
reemplazando en la ecuación
se tiene
de donde
x=8
9x – 8y = 32 ,
9·8 – 8y = 32
72 – 8y = 32
-8y = -40
y=5
¡¡ Compruébalo !!
Así , el par solución del sistema es (8,5).
4°) Regla de cramer :
Dado el sistema
a1x + b1 y = c1
a2x + b2 y = c2
al resolverlo por cualquiera de los métodos anteriores obtenemos para sus incógnitas los
siguientes valores:
c1b2 – b1c2
a1b2 – b1a2
x =
;
a1c2 – a2c1
a1b2 – b1a2
y =
Como el numerador y denominador de las soluciones del sistema son diferencias de dos productos
, podemos expresar estas soluciones como determinantes de orden dos.
Al resolver determinante obtendrás un número real .
Ambos valores de “x” son iguales
ahora bien, un determinante de orden dos se resuelve
d
c
b
a
= ad – bc
Luego:
b2
a2
b2
b1
c2
a1
b1
c1
x =
;
b2
a2
c2
b1
a2
a1
c1
a1
y =
Observa que el determinante de ambos denominadores es el mismo, éste se llama determinante
principal y sus elementos son los coeficiente de las incógnitas del sistema de ecuaciones. Se
designa por ?p.
Así:
?p =
b1
b2
a1
a2
Entonces, ?x ; ?y serán respectivamente:
?x =
b1
b2
c1
c2
;
?y =
c1
c2
a1
a2
Finalmente: x =
?x
?p
; y=
?y
?p
Ejemplo :
5x – 8y = 42
3x + 2y = 32
Calculamos los tres determinantes:
?p =
– 8
2
5
3
= 10 – (-24) = 34
?x =
– 8
2
42
32
= 84 – (-256) = 340
y
?y =
42
32
5
3
= 160 – 126 = 34
Luego:
x=
?x
?p
=
340
34
= 10
; y=
?y
?p
=
34
34
=1
Así , el par solución del sistema es (10,1).
¡¡ Compruébalo !!
E J E R C I C I O S.
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utiliza para ello el método que estimes más
conveniente :
106.
2x + y = 5
x – y=1
R:
x=2 ; y=1
107.
y = -x
3x – 2y = 15
R:
x = 3 ; y = -3
108.
7x
6
5y
3
= 68
+
7x
4
y
4
= 12
+
1
7
R: x= 1
; y = 40
109.
= 3(x – y)
12x + 15y
40
5y =
3 – 4x
2
R:
x=
1
4
; y=
1
5
Diagonal
secundaria
Diagonal
principal
x + y = ab + b
( m-n)x + (m+n)y = 2(m – n )
x = ab ; y = b
+
= 2
–
= 1
=
110.
x+y=6
x:y=1:4
R:
x=
6
5
; y=
24
5
111.
( x + y) : (y – x) = 15 : 8
9x –
= 100
3y + 44
7
R:
x = 14 ; y = 46
112.
x+y =a-b
x–y=a+b
R:
x = a ; y = -b
113.
7
3
=
x + y
x – y
12
5
=
x + 1
y + 1
R:
x = 35 ; y = 14
114.
2
ay = bx
R:
2
115.
(m+n)x – (m-n)y = 4mn
2 2
R:
x=m+n ;
y=m–n
116.
x+y+z=6
x+y–z=0
x–y–z=2
R: x = 4 ; y = -1 ; z = 3
117.
x + 5y + 3z = 4
3x – 2y + 4z = 21
2x + 3y – z = -13
R: x = -1 ; y = -2 ; z = 5
118.
x+y = 4
x + z = -2
y+ z= 8
R: x = -3 ; y = 7 ; z = 1
119.
2x + 3y = 18
x – 4z = 7
y+ z= 3
R: x = 3 ; y = 4 ; z = -1
120.
5
6
1
y
1
x
=
+
1
6
1
y
1
x
=
–
R:
x=2 ; y=3
121.
2
y
3
x
= 2
+
1
6
3
y
4
x
= –
–
R: x = 3 ; y = 2
122.
a b
x y
3a 2b
x y
R:
x=a ; y=b
123.
4
3
= -4
1
x – y
5
x – y
+
–
1
x + y
3
x + y
R:
x=2 ; y=1
MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES.
En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ? IR , que representa a una
ecuación lineal con dos incógnitas ,las soluciones son pares ordenados de la forma (x,y) .
La representación de los pares ordenados (x,y) corresponde a un punto en el plano cartesiano ,
por ejemplo, en la ecuación :
x+y=4
Tabla de valores :
Gráfico
4
2
4
2
x
y
A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una
recta.
Cada par ordenado de números (x,y) que satisface esta ecuación, corresponde a las
coordenadas de un punto de la recta correspondiente.
Estos para es ordenados son solución de la ecuación, y los puntos que ellos representan
pertenecen a la recta correspondiente.
E J E R C I C I O S.
I. En los siguientes casos, calcular la pendiente de la recta determinada por los puntos que se dan ,
realizar los gráficos correspondientes y saca las siguientes conclusiones :
¿ Cuándo la pendiente es positiva , negativa o cero ¿ Qué tipo de inclinación tienen las rectas en
cada caso?. ¿ Siempre existe la pendiente de una recta ?
124.
A(7,8) ; B(6,5)
125.
P(2,-4) ; Q(-1,2)
126.
T(-4,0) ; R(-4,-3)
II. Si decimos que tres o más puntos de un plano son colineales cuando pertenecen a una misma
línea recta, determina en cada caso si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico
correspondiente.
127.
A(2,3) ;B(4,5) ; C(6,7)
128.
P(-5,1);Q(1,15);T(-4,15)
129.
A(1,0);B(1,1);C(2,2)
III. Realiza las gráficas de las siguientes ecuaciones lineales mediante la intersección con los ejes :
130. x – 2y = 2
131. 3x – 6y = 12
132.
y =1
1
2
x +
133.
y =1
1
3
x +
1
2
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS.
Ejemplo :
Consideremos el sistema
x + 3y = 7
x+ y=3
Tabla de valores para cada ecuación :
Ecuación 1
Ecuación 2
L2 : x + y = 3
Así , la solución del sistema es el par ordenado
(1,2) .
¿ Qué sucede si las rectas resultan ser paralelas ? ¿ Y si son coincidentes ?
E J E R C I C I O S.
En el programa computacional Graphmatica determina gráficamente la solución de los
siguientes sistemas :
134.
136.
2x + y = 5
x- y=1
3 (x + y) = 8 – y
2 (3x + 2y) = 0
135.
137.
y = –x
3x – 2y = 15
y–x=1
3y = 2x
138. x = 1 – 3y
4 (x – 1) = 12y
139.
y=
x
2
x + 2y = 8
L1 : x + 3y = 7
x y (x,y)
7 0 (7,0)
1 2 (1,2)
4
1
(4,1)
x
y
L1
L2
1
2
7
3
(1,2)
Resuelve los siguientes problemas mediante sistemas de ecuaciones :
140. Determina dos números cuya suma sea 57 y su diferencia 5.
R:
31 y 26
141. Si se aumenta el primero de dos números en el triple del segundo, resulta 66 ; si se
aumenta el segundo en el triple del primero, se obtiene 54. ¿ Cuáles son los números ?
R: 12 y 18
142. Reparte $ 1.000 entre dos personas de modo tal que
2
3
de lo que obtiene la
primera sea igual a lo que reciba la segunda. ¿ Cuánto dinero recibe cada uno ?
R: $ 600 y $ 400
143. Un padre reparte $ 10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $ 2.000 más que
al menor. ¿ Cuánto dinero le corresponde a cada uno ?
R: $ 6.000 y $ 4.000
144. Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el
doble del otro más 3, ¿ cuál es la medida de cada uno ?
R: 59° y 31°
145. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace 10 años la suma de las
edades era igual a la edad que tiene Carla, ¿ cuál es la edad de cada una en la actualidad ?
R: Carla tiene 40 años y Macarena 20 años
146. El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta el
denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿ Cuál es la fracción ?
R:
-9
– 9
147. El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm más que la
altura. ¿ Cuáles son las dimensiones del rectángulo ?
R: base = 7 cm ; altura = 8 cm
148. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estantes a otro,
resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada
estante ?
R: 15 y 25
149.
Determina “x” e “y” en cada caso :
R:
x = 20° ; y = 50°
R: x = 20° ; y = 60°
150. Una función de teatro organizada por el Liceo, dejó $ 1.200.000 por la venta de entradas;
éstas eran de dos tipos; Galería, que costaban $ 2.000 y Platea , $ 3.000 . Como antecedente
para planificar eventos futuros, al Liceo le interesa saber cuántas Plateas y cuántas Galerías se
vendieron; esa información no la tienen. Los encargados de la venta anotaban G o P en las
mismas entradas o bien, ponían 2.000 ó 3.000 según el tipo de entrada; esta era la única
diferencia. Al revisar las entradas recogidas en el ingreso a la función, que eran un total de 450, se
dieron cuenta que algunas estaban en blanco y otras no eran claramente legibles. Además la
capacidad del teatro era de 400 Plateas y 200 Galerías. ¿ Se puede saber cuántas galerías y
Plateas se vendieron ?
151. En dos esquinas de una misma bocacalle se han instalado sendas oficinas que arriendan
videos. En una, el sistema de arriendo considera una cuota anual de $ 1.500 y $ 1.200 por
arriendo de cada video. La otra no incluye cuota anual y el arriendo de cada video es $ 1.350.
Oscar arrienda generalmente, como 20 a 25 videos al año ; ¿ cuál de las dos ofertas le conviene
más ? ¿ Cuál sistema le conviene más a una persona que arriende 10 películas anuales ?
x+y
x
x+3y- 10º
2x+y x+y
80º
152. Cecilia reemplazó a su mamá atendiendo la caja en la librería po un par de horas. Para
hacer los recuentos semanales de existencia de artículos en la bodega, utilizan las boletas de
compraventa, por lo que es necesario anotar la cantidad y el tipo de artículos vendido. Al hacer el
recuento de boletas, se constató que en una de ellas Cecilia anotó un total de 30 cuadernos y un
valor de $ 21.000. Si sólo hay dos tipos de cuadernos a la venta, unos de $ 500 y los otros de $
800 , ¿ se puede calcular cuántos cuadernos de cada clase vendió ?
153.
En el sistema
2x + 3y = 8
¿ y estos problemas los puedes resolver ?
155. Si dos ratas de un experimento de dieta alimenticia tienen un peso combinado de 800 grs y
una de ellas pesa 200 gramos más que la otra, ¿ cuál es el peso de cada una ?
156. Un químico tiene una solución al 40% de un ácido y otra solución del mismo ácido al 75%.
3 3
157. Dos vehículos parten simultáneamente desde el mismo punto, pero en dirección opuesta.
La velocidad de uno es de 65 km/h y la del otro 80 km/h . ¿ En cuánto tiempo estarán a 25 km
de distancia ?
158. Un comerciante de muebles compró 3 mesas y 2 sillas en $ 37.000. Vendió sus mesas
con un 15% de ganancia y las sillas con un 20%, recibiendo $ 43.050. Calcula el valor de cada
mesa y cada silla.
Objetivo transversal.
El cobre significa uno de los mayores ingresos
económicos de nuestro país aportando alrededor de un 30% de la
producción mundial . Por otra parte el tipo de cobre que se produce es de
muy buena ley, es decir que en el mineral donde se encuentre hay un
gran porcentaje de cobre y muy poco de otros elementos ; así se puede
obtener cobre de una alta pureza.
4x + ky = s
¿ Qué condiciones deben satisfacer “k” y “s” para que el sistema no tenga solución?
¿ Qué condiciones deben satisfacer “k” y “s” para que el sistema tenga infinitas soluciones ?
¿ Qué condiciones deben satisfacer “k” y “s” para que el sistema tenga una solución ?
En cada uno de los casos anteriores ¿ qué caracteriza los gráficos de ambas rectas?
154. Escribe un problema que llegue a plantear el siguiente sistema de ecuaciones, luego
resuélvelo y da a conocer las soluciones :
x + 3y = 75
2x – y = 10
¿ Será suficiente con los
ejercicios que he resuelto para
entender lo estudiado ?
¿ Me he preocupado de
revisar la bibliografía que me
proponen ?
ax + by = a + b
Mezclando minerales de distinta ley puedes obtener una nueva aleación con una pureza distinta.
Esto lo hacen generalmente los orfebres al trabajar con oro, ya que lo mezclan con cobre para
bajar la pureza del metal. Los países productore de cobre también elboran mezclas para elevar la
pureza de sus minerales y así elevar sus precios de venta.
Aplicando tus conocimientos para resolver ecuaciones soluciona al siguiente problema:
Un país productor de cobre desea producir cobre con una ley de 0,825 ( 82,5%). Tiene almacenado
dos tipos de lingote: el primero tiene 550 g de cobre y 60 g de molibdeno, el segundo contiene 400
g de cobre y 100 g de molibdeno. ¿Qué cantidad deberá mezclar de cada uno para obtener
lingotes cuya maza sea de 640 g?.
– Busca información acerca de la utilización del cobre.
– ¿A qué gastos se destinan las utilidades que genera la
extracción del cobre?
www.codelco.com
CONTROL FORMATIVO 4
De los siguientes sistema de ecuaciones, elige y soluciona 5, en 3 de ellos utiliza los métodos de
reducción, igualación o sustitución y en los otros dos de tu elelcción usa el método de Cramer:
1. –x + y – 4 = 0
2.
x+ y=a+b
3.
x(y – 6) = y(x – 4)
-4x + y –25 = 0
2 2
11
y -1
–
5
x – 3
= 0
4.
1
2
=
2
y
–
3
x
5.
=2
b
y
a
x
+
6.
9x + 8y + 5z = 300
23
12
=
5
y
2
x
+
2 – 3a
a
=
3b
y
–
2
x
x:y = 2:3
y:z = 5:6
7. Carolina ha rendido un exámen de 20 preguntas y ha obtenido un puntaje de 8. Si cada
respuesta correcta vale 1 punto y por cada error el profesor resta 2 puntos, ¿cuántas preguntas ha
acertado Carolina? , ¿cuántas ha fallado?. Explica cómo puedes solucionar este problema.
De los siguientes problemas elige y resuelve 4:
8. El número atómico del mercurio (Hg) es 2 unidades mayor que el triple del número atómico del
fierro (Fe) . ¿Qué número atómico tiene cada elemento si al sumarlos se obtiene 106?.
9. Jorge dice : “tengo tantos hermanos como hermanas”. Una de sus hermanas dice: “tengo
hermanos y hermanas en la razón 3:2”. ¿Cuántos hermanos y hermanas son?.
10. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntan 44 cabezas y 144
patas?.
3
3
capacidad, si el primero está abierto 4 horas y el segundo 3 horas. ¿Cuántos litros de agua vierte
cada grifo, por hora?.
12. Alicia paga por un figura de cerámica y una lámpara $10.000. Si le hubieran hecho un
descuento del 30% por la figura y del 25% por la lámpara se hubiera ahorrado $2.850. ¿Cuánto
pagó por cada objeto?
13. Cristian compra dos artículo en una librería por $2.100 y los vende en $2.202. Si en la venta de
uno de esos artículos ganó el 10% y en la del otro perdió el 8% sobre el precio de compra, ¿qué
cantidad pagó por cada uno de los artículos?.
14. Orlando compró cierto número de libros . Si hubiera comprado 5 libros más por el mismo
dinero , cada libro le habría costado $2.000 menos y si hubiera comprado 5 libros menos por el
mismo dinero, cada libro le habría costado $4.000 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto pagó por
cada uno?.
Enviado por:
Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.
“NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION”
®
www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias
Página Web: yuniorandrescastillo.galeon.com
Correo: yuniorcastillo@yahoo.com
yuniorandrescastillosilverio@facebook.com
Twitter: @yuniorcastillos
Celular: 1-829-725-8571
Santiago de los Caballeros,
República Dominicana,
2015.
“DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE”
®