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Ecuaciones de la recta



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    APRENDIZAJES ESPERADOS :
    Los alumnos :
    1. Representan, analizan y resuelven problemas contextualizados en situaciones como la
    asignación de precios por tramo de consumo, por ejemplo de agua, luz, gas.
    2. Identifican variables dependientes e independientes.
    3. Conocen y utilizan conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta.
    4. Reconocen la Ecuación de una recta. Interpretan su pendiente y el intercepto con el eje de las
    ordenadas.
    5. Identifican Funciones afines y función lineal, características, expresión algebraica y gráfica.
    6. Identifican la Función valor absoluto y su gráfica . Interpretan el valor absoluto como expresión
    de distancia en la recta real.
    7. Identifican la Función parte entera u su gráfica.
    8. Resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Grafican las rectas
    correspondientes.
    9. Resuelven problemas y desafíos que involucran sistemas de ecuaciones. Analizan la pertinencia
    de las soluciones.
    10. Establecen relaciones entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones
    lineales y sus soluciones.
    11. Calculan distancia entre dos puntos en el plano.

    ACTIVIDADES SUGERIDAS :

    Investigan situaciones de la vida diaria, y representan gráficamente los datos obtenidos, en diarios
    o medios de comunicación masivos, en centros estadísticos, hospitales, etc.


    Desarrollan la Guía Nº 3
    Reflexionan sobre cómo se amplia el
    Estudio de la matemática.












    Desarrollan talleres Nº 2, 3, 4, 5 y 6.
    Discuten los talleres en grupos.
    Desarrollan un control formativo como autoevaluación de conocimientos.
    Consultan libros :
    Matemática III, Editorial Santillana Matemática Algoritmo 1 Bup, Capítulo III, pág 78
    Algebra. Editorial Arrayán Capítulo V, pág 113
    Matemática III. Editorial Arrayán. Capítulo IV, pág 234
    Matemática 4, Tapia . Editorial Estrada. Capítulo IV, pág 56 ; Capítulo VIII, pág 280
    Matemática 2 , Gonzalo Riera Lira, del Ministerio de educación, Cap.5, pág 166- 209
    Álgebra y Geometría II , Santillana. Cap. II, pág 32 – 83
    Matemática 4, Tapia, Parte II, Funciones, pág. 178 –198
    Álgebra Arrayan ,Editores. Cap. 3 pág. 151 – 174
    CONTENIDOS
    1. Medición en el plano cartesiano.
    2. Distancia entre dos puntos.
    3. Gráfica de rectas.
    4. Función afín y función lineal.
    5. Ecuación de una recta.
    6. Pendiente y coeficiente de posición de una recta.
    7. Puntos colineales.
    8. Posición de dos rectas en el plano.
    9. Función valor absoluto.
    10. Ecuación con valor absoluto.
    11. Función parte entera.
    12. Sistema de ecuaciones lineales.
    13. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
    14. Sistemas de ecuaciones sin solución.
    15. Sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones.
    16. Interpretación gráfica de las soluciones.
    17. Sistemas de ecuaciones con cambio de variables.
    18. Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas.
    19. Concepto de Matriz y determinante.

    UNIDAD N°2:
    “FUNCIONEMOS LAS ECUACIONES”

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    1. Plantea las ecuaciones que
    conoces.
    2. ¿ Cuántas soluciones puede tener
    una ecuación ?
    3. ¿ Cuántas incógnitas puede tener
    una ecuación?
    4. ¿ Qué importancia tienen las
    ecuaciones?

    INTRODUCCIÓN HISTÓRICA :

    Uno de los genios más extraordinarios de la
    historia de las Matemáticas fue el matemático
    alemán Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) .

    En 1799, Gauss demostró el teorema
    fundamental del álgebra, que dice que cada
    ecuación algebraica tiene una raíz de la forma
    a + bi, donde a y b son números reales, e i es
    la raíz cuadrada de -1. Los números expresados
    en la forma a + bi se llaman números complejos
    y Gauss demostró que se podían representar
    análogamente a los puntos de un plano.
    En 1801 demostró el teorema fundamental de la
    aritmética: “ todo número natural se puede
    representar como el producto de primos de una
    y solamente una forma”.
    Así dejó fundamentada la Aritmética Superior.
    Su obra principal fue “ Disquisitione Arithmeticae”
    Antes de
    comenzar la
    unidad deseo
    proponerte lo
    siguiente…
    Se ve interesante el tema…
    Ahora voy a investigar de
    que trata esto para luego
    aplicar lo que haya
    aprendido.

    Trata de soñar y piensa cuántas
    ecuaciones existen, cuántas incógnitas pueden tener, qué es necesario conocer si existen
    ecuaciones con más de una incógnita.
    Investiga en los textos sobre estos temas y verás cómo las matemática va creciendo y
    siempre existen formas de resolver problemas. Aunque se dice que hay más problemas sin
    resolver que problemas resueltos. Esto es verdad , es por eso que la Matemática sigue avanzando
    y siempre se van creando cosas nuevas y con aplicaciones nuevas.

    Recordemos algunas cosas sobre las ecuaciones ya vistas…

    Ecuación de la recta y otras funciones
    modelos de situaciones diarias

    En esta unidad veremos cómo modelar información utilizando la
    línea recta.

    Así, estudiaremos , en forma muy particular, los efectos del tabaco
    en la salud humana, el tipo de gráficas y fórmulas que emplearemos sirven

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    para modelar otras situaciones, como los récords olímpicos o la velocidad de un móvil, cómo
    ahorrar energía, organizar un evento para recaudar dinero, etc.

    Creemos que tú estás a tiempo de decidir si fumas o no, de esta forma te entregaremos
    información, para aquellos que no desean fumar tengan claro por qué no, y aquellos que deseen
    fumar, lo hagan en forma consciente y responsable.
    Los efectos de fumar cigarrillo

    En Chile, durante la última década , ha fallecido un
    promedio de mil personas anualmente a causa del tabaco, es una
    cantidad muy alta de muertes por un solo motivo y
    es superior al total de los decesos debido al consumo de alcohol u
    otras drogas, a los homicidios, a los suicidios, accidentes de avión,
    envenenamientos, incendios y ahogados. Las causas más
    numerosas son las de cirugía para quitar órganos dañados:
    pulmones, laringes, riñones, paladares, estómagos,
    úteros,
    próstatas y páncreas.

    Pero no sólo las personas que fuman se hacen daño,
    quienes viven con ellas sufren diversos síntomas como: toses, infecciones, problemas pulmonares
    y susceptibilidad al cáncer, por ésta razón se han dictado leyes que prohiben el consumo de tabaco
    en lugares públicos.

    Actividad Investiga y responde:

    ¿Por qué , a pesar de la información que existe en la actualidad, siguen apareciendo
    nuevas personas fumadoras?. ¿Cuáles son las causas o motivos que las induce a fumar?

    ¿Por qué las personas adictas al cigarrillo tienen, por lo general, dificultas para dejar
    este hábito?. ¿Qué tratamiento existe para ayudarlas?, ¿en qué consisten?, ¿son efectivos?

    Busca información numérica sobre la edad promedio en que se empieza a fumar,
    Has una comparación entre fumadores hombres y fumadores mujeres, averigua cuáles son los
    lugares y momentos en que se fuma más.

    Haz un listado de “buena educación” para enfrentar la problemática que existe entre
    fumadores y no fumadores.


    ¿En qué forma el medio ambiente y la naturaleza es perjudicado por el cigarro?.

    Enumera los compuesto dañinos del cigarrillo y explica el tipo de daños que causan
    en el organismo.
    Menciona las enfermedades debidas, en gran parte, al consumo de cigarros. Explica

    alguna de ellas.
    Evidencia numérica : Muertes por cáncer pulmonar
    La información que se presenta en la siguiente tabla fue
    extraída del libro del Ministerio de Educación de segundo año medio
    de Gonzalo Riera Lira, y pretende mostrar la relación entre el número
    de cigarrillos consumidos y el número de muertes por cáncer al año
    por cada cien mil habitantes.
    Ummm,
    veamos el
    contexto

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    y2 – y1


    (P P )
    = (x2 – x1 ) + (y2 – y1 )
    Las conclusiones que podemos obtener de la tabla no son muy precisas, para obtener resultados
    más exactos y visibles te sugerimos que dibujes una gráfica de puntos que represente , por
    ejemplo, las muertes por cáncer pulmonar (eje vertical) v/s cigarrillos consumidos (eje horizontal).

    Aun así la información es muy difusa y poco práctica, te sugerimos:

    Calcula el promedio de los datos en la horizontal, y a su vez el promedio de los
    datos en la vertical.

    Marca el punto promedio sobre tu gráfico, toma una regla y hazla girar sobre el
    punto promedio.


    Dibuja una recta que se ajuste mejor a los punto que marcaste en tu gráfico.

    Determina la razón de aumento de consumo de cigarrillos y aumento de muertes
    por cáncer al pulmón.

    LA LINEA RECTA

    Ejes de coordenadas

    El sistema de ejes coordenados está formado por dos
    rectas numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes.

    El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas
    y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.

    Sobre el sistema de ejes coordenados es pueden ubicar
    todos los pares ordenados de la forma (a, b), como lo muestra la
    figura.
    En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman
    coordenadas del punto P
    Distancia entre dos puntos

    Supongamos que P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
    Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.

    La distancia entre P1 y P2 se puede determinar,
    por ejemplo, mediante el teorema de Pitágoras, de la
    siguiente manera:
    2 2
    2
    1 2
    1
    -1
    -1
    2
    3
    4
    a
    P(a, b)
    x
    y
    5

    4
    b
    3

    2

    1
    x1
    x2
    y1

    x2 – x1
    x
    y

    y2
    P2
    P1

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    y2 – y1
    x1
    x2
    y1
    y2
    L


    x2 – x1
    a
    x
    y
    Así la distancia de P1 a P2 es:
    (x2 – x1 )2 + (y2 – y1 )2
    P1P2 =
    Ejemplo:
    La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:
    (3 – (-4))2 + (-5 – 7 )2
    49 + 144
    193
    AB =
    =
    AB =
    Representación gráfica de la línea recta

    En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ? R, representa una ecuación lineal con
    dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y)
    corresponde a un punto del plano cartesiano.
    Ejemplo: la ecuación L: x + y = 4
    Tabla de valores
    Gráfico
    Observaciones:


    gráficamente una recta.

    Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto
    que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación .

    Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta
    correspondiente.
    PENDIENTE DE UN RECTA
    Se denomina pendiente “m” de una recta al
    grado de inclinación “a” que tiene respecto del eje de las
    abscisas (eje x)
    y2 – y1
    x2 – x1
    m =
    ejercicios

    Supongamos que se tienen 4 rectas L1 , L2 , L3 y L4 de modo que :

    L1 pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1)
    1
    -1
    -1

    A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde
    2
    2

    1
    3
    4
    4

    3


    L
    x
    y
    5

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    x
    x
    L
    y

    y•

    L2 pasa por los puntos: P(1, 2) y Q(5,2)
    L3 pasa por los puntos: D(1,2) y E(1,-5)
    L4 pasa por los puntos: R(1,2) y T(-2,-6)

    60. Grafica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

    61. Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas.

    62. Establece conclusiones válidas en relación a la inclinación de cada una de estas rectas con
    respecto al eje x y compáralo con el valor de su pendiente.

    63. ¿Qué ocurre cuando y2 = y1?, ¿y si x2 = x1?

    Interpreta y dibuja las siguientes situaciones:
    64.
    2
    3
    m =
    65.
    -2
    3
    m =
    Dado el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son los puntos A(1,2), B(5,2), C(3,4) y D(7,4)

    66. Demuestra que éste cuadrilátero es un paralelógramo.
    67. Calcula el perímetro del paralelógramo.

    Decimos que tres o mas puntos son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta,
    determina, en cada caso, si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico
    correspondiente:
    68. A(2, 3) ; B(4, 5) ; C(6, 7)
    69. A(-5, 1) ; B(1, 15) ; C(-4, 15)
    Haz el gráfico correspondiente a las siguientes rectas, en un mismo sistema de ejes coordenados y
    establece conclusiones válidas respecto a lo que observas en ellas.
    70. L1 : y = 2x –1
    71. L3 : x + y = -3
    72. L4 : y = x
    73. L5 : 2x – y + 3 = 0
    74. L2 : y =
    1
    2
    x
    75. x + 2y = 1
    Puntos de intersección de una recta
    con los ejes coordenados

    Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos
    donde la recta L corta al eje x son de la forma (x, 0) y donde
    corta al eje y , de la forma (0, y).
    Ejemplo:
    – Intersección con el eje y : se hace x = 0
    Resulta: -3y = 12
    de donde : y = -4
    Así la recta corta al eje y en el punto (0, -4)
    x
    x
    Hallar la intersección de la recta 2x – 3y = 12 con los ejes coordenados:
    y
    Intersección con el eje x : se hace y = 0

    Resulta: 2x = 12
    de donde : x = 6
    Así la recta corta al eje x en el punto (6, 0)

    6
    -4•

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    ejercicios

    Dadas las siguientes rectas encuentra la intersección de ellas con los ejes coordenados:
    76. x – 2y = 2
    77. 3x – 6y = 18
    78. x +
    1
    2
    y=1
    79.
    1
    3
    1
    2
    y =1
    x +
    Ecuación de la línea recta

    Toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ? R, también se puede escribir en la
    forma y = mx + n , es decir como una función, donde m es la pendiente o coeficiente de dirección y
    n es la intersección de la recta con el eje y , llamada también coeficiente de posición.

    De esta forma, podemos afirmar que una recta está perfectamente definida si se conocen :

    dos puntos de ella
    Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5, 4) y B(7, 8)
    4
    2
    8 – 4
    7 – 5
    m = 2
    ?
    ? m =
    Calculemos su pendiente m =
    Como

    Tenemos

    Luego:
    y = mx + n , considerando el punto A(5,4) con x = 5 e y = 4

    4=2·5+n
    4 = 10 + n /-10
    -6 = n

    y = 2x – 6 es la ecuación pedida

    un punto y su pendiente.
    Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y tiene pendiente -4

    Como, el punto dado es A(2,-5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m=-4
    Entonces y = mx + n
    Tenemos -5 = -4 · 2 + n
    -5 = -20 + n /+20
    15 = n
    Luego:
    y = -4x + 15 es la ecuación pedida

    ejercicios
    Encuentra la ecuación de la recta que:

    80. Pasa por el punto P(-1, 3) y cuya pendiente es -2

    81. Pasa por los puntos R(-1, 2) y T(1, 7)

    Analiza cuidadosamente las rectas que cumplen:

    82. Su pendiente es m = 0

    83. Sus ecuaciones son de la forma x = a

    84. Sus ecuaciones son de la forma y = mx

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    Posiciones de dos rectas en el plano

    ¿De qué manera puedes poner dos rectas en un plano?
    ¿Cuándo dos rectas son paralelas y cuándo perpendiculares?

    Actividad
    En el programa computacional Graphmática :

    Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas que sean paralelas, indica
    en ellas sus ecuaciones respectivas y destaca sus pendientes.

    Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas
    que sean
    perpendiculares, indica en ellas sus ecuaciones respectivas y verifica la propiedad de sus
    pendientes.

    Representa en un gráfico de ejes cartesianos una recta cualquiera y luego varía el
    valor de la pendiente dándole valores positivos y negativos.

    Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas secantes e indica el punto
    de intersección de ellas.

    Establece conclusiones válidas en cada uno de los puntos anteriores
    ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

    Recordemos que son aquellas que tienen la incógnita dentro de un valor absoluto.

    Para esto recordemos el concepto de valor absoluto :
    ?
    x>0
    x=0
    x 0
    si x = 0
    si x < 0
    ,
    ,
    ,
    ? x
    ?
    0
    ? – x
    x
    Así, haciendo tabla de valores, resulta:
    EJERCICIOS

    Realiza la gráfica de las siguientes funciones :
    89. y = ? x ? + 1

    91. y = ? x + 1 ?
    90.

    92.
    y= ? x ? -2

    y =? x – 3 ?
    Expresar algebraicamente las funciones cuyas gráficas son :
    94.
    95.
    FUNCIÓN PARTE ENTERA .
    Tiene la forma
    y =
    [ x ]
    , donde
    [ x ] = al entero inmediatamente
    menor o igual a “x”

    Ejemplos:
    Ejemplo :

    1) ? 25 ? = 25
    2)
    ? – 13 ? = -(-13) = 13
    y
    x
    3
    93. y
    x
    -4
    y
    x
    y
    x

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    y = ?
    96. [ 2,3 ] = 2

    Ahora , tú :
    99. [ 7,2 ] =
    97. [ -3,4 ] = -3

    100. [ -5,1 ] =
    98. [ 1,9 ] = 1

    101. [ 6 ] =
    Así, teniendo presente la definición, nos damos cuenta que la
    parte entera de los números “x” tales que 0 = x < 1
    siempre es 0 ; que la parte entera de los “x” tales que 1 =
    x < 2 siempre es 1 , y así sucesivamente nos damos cuenta
    que la gráfica es la que se presenta.
    102.
    EJERCICIOS

    Grafica las siguientes funciones:
    a)
    ? x?
    ? 2??
    b) y =
    [ x ]
    2
    Compara los valores de ambas funciones para
    x = 3,2 ; x = -2,8 ; x = 4,2
    103.
    Al señor que atiende la recepción de encomiendas dispone de gráfico como el siguiente :
    Osorno a Temuco:

    ¿ Cuál es el precio de una
    encomienda que se envía de Osorno a
    Temuco y que pesa:
    a)
    b)
    c)
    180 gramos
    410 gramos
    120 gramos
    104. Los estudiantes de 2° Medio
    se hacen cargo cada año de la fotocopiadora del colegio para juntar fondos para su viaje de fin de
    año. Como todos los años, desean maximizar las ganancias y es por esto que se preocupan de
    estudiar el convenio con la empresa que arrienda la fotocopiadora y las reglas internas hacia los
    usuarios. Un estudio sobre la gestión del año anterior dio los siguientes resultados :

    El convenio con la empresa consiste en un arriendo mensual fijo de $ 10.000 con
    derecho a mil fotocopias y un costo variable de $ 5 por fotocopia adicional.


    El costo de la fotocopia en el colegio fue de $ 20 durante todo el año.
    El número de fotocopias sacadas durante cada mes fue el siguiente :
    Enero : 720 ; febrero : 510 ; marzo : 1450 ; abril : 1300 ; Junio : 1357 ; julio : 951 ; agosto
    : 1059 ; septiembre : 1278 ; octubre : 1190 ; noviembre : 1370 ; diciembre : 1025.
    a) Calcular el valor pagado a la empresa durante los meses de febrero , marzo y abril del
    año pasado.

    b) Estudiar el costo mensual que se debe pagar a la empresa en función del número de
    fotocopias sacadas durante el mes. Distinguir los casos en que el número de fotocopias es menor o
    igual que 1000 o es mayor que 1000.
    c)
    Hacer un gráfico que resuma el estudio realizado.
    105. En una determinada ciudad todos los taxis cobran $ 150 por la “ bajada de bandera “ ,
    montos que permite recorrer los 800 metros iniciales; por cada tramo adicional de 200 metros, los
    taxis pueden cobrar $ 60 , $ 70 u $ 80 según sea la opción de quien conduce o de común
    acuerdo entre el conductor y los pasajeros. Si un taxi indica que su tarifa es $ 60 , pero el
    taxímetro marca un incremento de $ 70 por cada tramo , ¿ qué gráfico puede adecuarse para
    visualizar la diferencia que se acumula en el precio de un viaje ? Si al término de un viaje el
    taxímetro de ese taxi marca $ 2600 , ¿ cuánto debiera cancelarse considerando que la información
    1
    x
    y
    3

    2

    1

    -1

    -2

    °

    °

    2

    °

    3
    °

    4

    °
    -2


    -1

    °
    $
    200
    600
    400
    100
    300
    500
    gramos

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    de tarifa que está a la vista del público es $ 60 por cada 200 metros ? Ilustrar la situación con un
    gráfico.
    Objetivo transversal.

    En los últimos años la explotación ilegal del
    bosque y los incendios forestales han
    producido una fuerte disminución de
    araucarisa en la novena región.
    – ¿Qué medidas deben tomar nuestros
    gobernantes para proteger las araucarias?.
    – ¿Por qué es importante cuidar éstos
    árboles?.
    – ¿Porqué hay tanta polémica en
    relación con la explotación del bosque
    nativo?.
    – ¿Qué forma podría tener el gráfico
    que muestra este fenómeno?

    Elabora un proyecto grupal (no más de 4 integrantes por grupo), en el que
    se propongan medidas concretas para cuidar las araucarias y nuestros
    bosques nativos.
    CONTROL FORMATIVO 3
    1. Los siguientes puntos : A(2,-4), B(-1,2) y C(-7,-1) son los vértices de un
    triángulo.
    a) Determina si el triángulo es rectángulo.
    b) Determina las coordenadas de un punto D de modo que la figura obtenida sea un
    paralelogramo, justifica tu respuesta.

    2. Determina el valor de K en la ecuación de la recta L1: 2x – y – k = 0 para que sea coincidente
    a la recta L2 : y = 2x – 7

    3. Grafica las siguientes rectas en un mismo sistema de ejes coordenados y establece
    conclusiones válidas :
    L1 : 2x –y = 1
    L2 : x + 2y – 4 = 0
    L3 : y = -0,5 x
    L4 : x–0,5y–0,5 = 0
    4. Completa la siguiente tabla:

    Monografias.com

    31 – 4y
    5.
    De las siguientes ecuaciones con valor absoluto, elige y soluciona 2 :
    a) ?3x – 3 ?= 16
    b) ?6x – 7 ? = 0
    c)
    = 4
    1
    3
    +
    x
    4
    d)
    1
    2
    +1 =
    4 – 3x
    5
    6. Expresa en forma algebraica la siguiente
    gráfica:
    7.

    a)

    c)
    Encuentra el(los) valores de “x” tales que:

    ?-3? < ? x ? < ? 3 ?

    [x]=2
    b)

    d)
    ?-x ? – ? x ? = 0

    [ x ] = -3
    8. En un colegio se realizó una prueba cuya escala de
    notas es en base al siguiente gráfico:

    a) Si Juan obtuvo el 40% del puntaje total. ¿Qué nota
    obtuvo ?
    b) Si del curso, 6 obtuvieron nota 1,0 ¿ Qué puntaje
    obtuvieron , aproximadamente ?
    c) Si 20 alumnos obtuvieron 45 Punto. ¿ Qué nota les
    correponde?
    Ejemplo :
    3x + 4y = 31
    4x + 6y = 44
    Se despeja “x” en la primera ecuación : x=
    3
    Se sustituye en la segunda ecuación : 4· (31 – 4 y) + 6y = 44
    3
    /·3
    Se multiplica por 3 y se resuelve el paréntesis :
    124 – 16y + 18y = 132
    20 30
    40
    50
    60
    70
    puntaje

    SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

    Una ecuación de la forma ax + by = c se dice ecuación lineal con dos incógnitas e
    indeterminada, es decir tiene infinitos pares (x,y) como solución.

    Ejemplo : En la ecuación x + 2y = 7 se tiene que
    para y = 1 , x = 5 de donde un par solución sería (5,1)
    para y = -3 , x = 13 de donde otro par solución sería (13,-3)
    para y = 2 , x = 3 de donde otro par solución sería (3 , 2)
    y así sucesivamente, tendríamos infinitos pares solución de la ecuación.

    Si se forma otra ecuación de la mismas incógnitas y al mismo tiempo, se dice que se forma
    un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, es decir tienen la forma :

    a1x + b1y = c1
    a2x + b2y = c2

    Para resolver estos sistemas de ecuaciones existen varios métodos algebraicos .

    1°) METODO DE ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN: Consiste en despejar de una de las
    ecuaciones, una de las incógnitas en función de la otra y sustituir este valor en la otra ecuación.
    Not
    a

    7.0

    6.0

    5.0

    4.0

    3.0
    2.0
    5

    Monografias.com

    De donde
    2y = 8

    1
    2
    y= 4
    Se sustituye este valor en
    x=
    31 – 4y
    3
    quedando x = 5
    Así el par solución del sistema dado es
    (5,4) .
    ¿ Cómo comprobar que esto es cierto ?
    2°) ELIMINACIÓN POR igualaCIÓN : Consiste en despejar la misma incógnita en ambas
    ecuaciones e igualar los valores de la variable elegida .
    3x – 2y = 13
    2x + 3y = 0
    Ejemplo :

    Eligiendo la variable x :
    – en la primera ecuación :

    – en la segunda ecuación:
    2y + 13
    3
    – 3y
    2
    x =

    x =
    luego
    – 3y
    2
    =
    2y + 13
    3
    ; despejando y se obtiene
    y = -2
    reemplazando en la ecuación 2x + 3y = 0 ,
    se tiene 2x + 3 ·-2 = 0
    2x – 6 = 0
    2x = 6
    de donde
    x=3
    Así , el par solución del sistema es (3,-2).
    ¡¡ Compruébalo !!
    3°) ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN : Consiste en multiplicar ambas ecuaciones por valores de
    tal manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales y con signos distintos ; en
    seguida se suman las ecuaciones resultantes .
    ·-3
    · 4
    Ejemplo :

    resulta
    9x – 8y = 32
    7x – 6y = 26

    -27x + 24y = -96
    28x – 24y = 104
    sumando , se obtiene :

    reemplazando en la ecuación
    se tiene

    de donde
    x=8

    9x – 8y = 32 ,
    9·8 – 8y = 32
    72 – 8y = 32
    -8y = -40
    y=5
    ¡¡ Compruébalo !!
    Así , el par solución del sistema es (8,5).

    4°) Regla de cramer :
    Dado el sistema
    a1x + b1 y = c1
    a2x + b2 y = c2

    al resolverlo por cualquiera de los métodos anteriores obtenemos para sus incógnitas los
    siguientes valores:
    c1b2 – b1c2
    a1b2 – b1a2
    x =
    ;
    a1c2 – a2c1
    a1b2 – b1a2
    y =
    Como el numerador y denominador de las soluciones del sistema son diferencias de dos productos
    , podemos expresar estas soluciones como determinantes de orden dos.
    Al resolver determinante obtendrás un número real .
    Ambos valores de “x” son iguales

    Monografias.com

    ahora bien, un determinante de orden dos se resuelve
    d
    c
    b
    a
    = ad – bc
    Luego:
    b2
    a2
    b2
    b1
    c2
    a1
    b1
    c1
    x =
    ;
    b2
    a2
    c2
    b1
    a2
    a1
    c1
    a1
    y =
    Observa que el determinante de ambos denominadores es el mismo, éste se llama determinante
    principal y sus elementos son los coeficiente de las incógnitas del sistema de ecuaciones. Se
    designa por ?p.
    Así:
    ?p =
    b1
    b2
    a1
    a2
    Entonces, ?x ; ?y serán respectivamente:
    ?x =
    b1
    b2
    c1
    c2
    ;
    ?y =
    c1
    c2
    a1
    a2
    Finalmente: x =
    ?x
    ?p
    ; y=
    ?y
    ?p
    Ejemplo :
    5x – 8y = 42
    3x + 2y = 32

    Calculamos los tres determinantes:
    ?p =
    – 8
    2
    5
    3
    = 10 – (-24) = 34
    ?x =
    – 8
    2
    42
    32
    = 84 – (-256) = 340
    y
    ?y =
    42
    32
    5
    3
    = 160 – 126 = 34
    Luego:
    x=
    ?x
    ?p
    =
    340
    34
    = 10
    ; y=
    ?y
    ?p
    =
    34
    34
    =1
    Así , el par solución del sistema es (10,1).
    ¡¡ Compruébalo !!
    E J E R C I C I O S.

    Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, utiliza para ello el método que estimes más
    conveniente :
    106.
    2x + y = 5
    x – y=1
    R:
    x=2 ; y=1
    107.
    y = -x
    3x – 2y = 15
    R:
    x = 3 ; y = -3
    108.
    7x
    6
    5y
    3
    = 68
    +
    7x
    4
    y
    4
    = 12
    +
    1
    7
    R: x= 1
    ; y = 40
    109.
    = 3(x – y)
    12x + 15y
    40
    5y =
    3 – 4x
    2
    R:
    x=
    1
    4
    ; y=
    1
    5
    Diagonal
    secundaria
    Diagonal
    principal

    Monografias.com

    x + y = ab + b
    ( m-n)x + (m+n)y = 2(m – n )
    x = ab ; y = b
    +
    = 2

    = 1
    =
    110.
    x+y=6
    x:y=1:4
    R:
    x=
    6
    5
    ; y=
    24
    5
    111.
    ( x + y) : (y – x) = 15 : 8
    9x –
    = 100
    3y + 44
    7
    R:
    x = 14 ; y = 46
    112.
    x+y =a-b
    x–y=a+b
    R:
    x = a ; y = -b
    113.
    7
    3
    =
    x + y
    x – y
    12
    5
    =
    x + 1
    y + 1
    R:
    x = 35 ; y = 14
    114.
    2
    ay = bx
    R:
    2
    115.
    (m+n)x – (m-n)y = 4mn
    2 2
    R:
    x=m+n ;
    y=m–n
    116.
    x+y+z=6
    x+y–z=0
    x–y–z=2
    R: x = 4 ; y = -1 ; z = 3
    117.
    x + 5y + 3z = 4
    3x – 2y + 4z = 21
    2x + 3y – z = -13
    R: x = -1 ; y = -2 ; z = 5
    118.
    x+y = 4
    x + z = -2
    y+ z= 8
    R: x = -3 ; y = 7 ; z = 1
    119.
    2x + 3y = 18
    x – 4z = 7
    y+ z= 3
    R: x = 3 ; y = 4 ; z = -1
    120.
    5
    6
    1
    y
    1
    x
    =
    +
    1
    6
    1
    y
    1
    x
    =

    R:
    x=2 ; y=3
    121.
    2
    y
    3
    x
    = 2
    +
    1
    6
    3
    y
    4
    x
    = –

    R: x = 3 ; y = 2
    122.
    a b
    x y
    3a 2b
    x y
    R:
    x=a ; y=b
    123.
    4
    3
    = -4
    1
    x – y
    5
    x – y
    +


    1
    x + y
    3
    x + y
    R:
    x=2 ; y=1
    MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES.

    En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c ? IR , que representa a una
    ecuación lineal con dos incógnitas ,las soluciones son pares ordenados de la forma (x,y) .

    La representación de los pares ordenados (x,y) corresponde a un punto en el plano cartesiano ,
    por ejemplo, en la ecuación :
    x+y=4
    Tabla de valores :
    Gráfico
    4
    2
    4
    2
    x
    y

    Monografias.com

    A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una
    recta.

    Cada par ordenado de números (x,y) que satisface esta ecuación, corresponde a las
    coordenadas de un punto de la recta correspondiente.

    Estos para es ordenados son solución de la ecuación, y los puntos que ellos representan
    pertenecen a la recta correspondiente.

    E J E R C I C I O S.

    I. En los siguientes casos, calcular la pendiente de la recta determinada por los puntos que se dan ,
    realizar los gráficos correspondientes y saca las siguientes conclusiones :

    ¿ Cuándo la pendiente es positiva , negativa o cero ¿ Qué tipo de inclinación tienen las rectas en
    cada caso?. ¿ Siempre existe la pendiente de una recta ?
    124.
    A(7,8) ; B(6,5)
    125.
    P(2,-4) ; Q(-1,2)
    126.
    T(-4,0) ; R(-4,-3)
    II. Si decimos que tres o más puntos de un plano son colineales cuando pertenecen a una misma
    línea recta, determina en cada caso si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico
    correspondiente.
    127.
    A(2,3) ;B(4,5) ; C(6,7)
    128.
    P(-5,1);Q(1,15);T(-4,15)
    129.
    A(1,0);B(1,1);C(2,2)
    III. Realiza las gráficas de las siguientes ecuaciones lineales mediante la intersección con los ejes :
    130. x – 2y = 2
    131. 3x – 6y = 12
    132.
    y =1
    1
    2
    x +
    133.
    y =1
    1
    3
    x +
    1
    2
    RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
    CON DOS INCÓGNITAS.
    Ejemplo :
    Consideremos el sistema
    x + 3y = 7
    x+ y=3

    Tabla de valores para cada ecuación :
    Ecuación 1
    Ecuación 2
    L2 : x + y = 3
    Así , la solución del sistema es el par ordenado
    (1,2) .
    ¿ Qué sucede si las rectas resultan ser paralelas ? ¿ Y si son coincidentes ?

    E J E R C I C I O S.

    En el programa computacional Graphmatica determina gráficamente la solución de los
    siguientes sistemas :
    134.

    136.
    2x + y = 5
    x- y=1

    3 (x + y) = 8 – y
    2 (3x + 2y) = 0
    135.

    137.
    y = –x
    3x – 2y = 15

    y–x=1
    3y = 2x
    138. x = 1 – 3y
    4 (x – 1) = 12y
    139.
    y=
    x
    2
    x + 2y = 8
    L1 : x + 3y = 7
    x y (x,y)
    7 0 (7,0)
    1 2 (1,2)
    4
    1
    (4,1)
    x
    y
    L1
    L2
    1
    2
    7
    3
    (1,2)

    Monografias.com

    Resuelve los siguientes problemas mediante sistemas de ecuaciones :
    140. Determina dos números cuya suma sea 57 y su diferencia 5.
    R:
    31 y 26
    141. Si se aumenta el primero de dos números en el triple del segundo, resulta 66 ; si se
    aumenta el segundo en el triple del primero, se obtiene 54. ¿ Cuáles son los números ?
    R: 12 y 18
    142. Reparte $ 1.000 entre dos personas de modo tal que
    2
    3
    de lo que obtiene la
    primera sea igual a lo que reciba la segunda. ¿ Cuánto dinero recibe cada uno ?
    R: $ 600 y $ 400

    143. Un padre reparte $ 10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $ 2.000 más que
    al menor. ¿ Cuánto dinero le corresponde a cada uno ?
    R: $ 6.000 y $ 4.000

    144. Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el
    doble del otro más 3, ¿ cuál es la medida de cada uno ?
    R: 59° y 31°

    145. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace 10 años la suma de las
    edades era igual a la edad que tiene Carla, ¿ cuál es la edad de cada una en la actualidad ?
    R: Carla tiene 40 años y Macarena 20 años

    146. El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta el
    denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿ Cuál es la fracción ?
    R:
    -9
    – 9
    147. El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm más que la
    altura. ¿ Cuáles son las dimensiones del rectángulo ?
    R: base = 7 cm ; altura = 8 cm

    148. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estantes a otro,
    resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada
    estante ?
    R: 15 y 25
    149.
    Determina “x” e “y” en cada caso :
    R:
    x = 20° ; y = 50°
    R: x = 20° ; y = 60°
    150. Una función de teatro organizada por el Liceo, dejó $ 1.200.000 por la venta de entradas;
    éstas eran de dos tipos; Galería, que costaban $ 2.000 y Platea , $ 3.000 . Como antecedente
    para planificar eventos futuros, al Liceo le interesa saber cuántas Plateas y cuántas Galerías se
    vendieron; esa información no la tienen. Los encargados de la venta anotaban G o P en las
    mismas entradas o bien, ponían 2.000 ó 3.000 según el tipo de entrada; esta era la única
    diferencia. Al revisar las entradas recogidas en el ingreso a la función, que eran un total de 450, se
    dieron cuenta que algunas estaban en blanco y otras no eran claramente legibles. Además la
    capacidad del teatro era de 400 Plateas y 200 Galerías. ¿ Se puede saber cuántas galerías y
    Plateas se vendieron ?

    151. En dos esquinas de una misma bocacalle se han instalado sendas oficinas que arriendan
    videos. En una, el sistema de arriendo considera una cuota anual de $ 1.500 y $ 1.200 por
    arriendo de cada video. La otra no incluye cuota anual y el arriendo de cada video es $ 1.350.
    Oscar arrienda generalmente, como 20 a 25 videos al año ; ¿ cuál de las dos ofertas le conviene
    más ? ¿ Cuál sistema le conviene más a una persona que arriende 10 películas anuales ?
    x+y
    x
    x+3y- 10º
    2x+y x+y
    80º

    Monografias.com

    152. Cecilia reemplazó a su mamá atendiendo la caja en la librería po un par de horas. Para
    hacer los recuentos semanales de existencia de artículos en la bodega, utilizan las boletas de
    compraventa, por lo que es necesario anotar la cantidad y el tipo de artículos vendido. Al hacer el
    recuento de boletas, se constató que en una de ellas Cecilia anotó un total de 30 cuadernos y un
    valor de $ 21.000. Si sólo hay dos tipos de cuadernos a la venta, unos de $ 500 y los otros de $
    800 , ¿ se puede calcular cuántos cuadernos de cada clase vendió ?
    153.
    En el sistema
    2x + 3y = 8
    ¿ y estos problemas los puedes resolver ?

    155. Si dos ratas de un experimento de dieta alimenticia tienen un peso combinado de 800 grs y
    una de ellas pesa 200 gramos más que la otra, ¿ cuál es el peso de cada una ?

    156. Un químico tiene una solución al 40% de un ácido y otra solución del mismo ácido al 75%.
    3 3

    157. Dos vehículos parten simultáneamente desde el mismo punto, pero en dirección opuesta.
    La velocidad de uno es de 65 km/h y la del otro 80 km/h . ¿ En cuánto tiempo estarán a 25 km
    de distancia ?

    158. Un comerciante de muebles compró 3 mesas y 2 sillas en $ 37.000. Vendió sus mesas
    con un 15% de ganancia y las sillas con un 20%, recibiendo $ 43.050. Calcula el valor de cada
    mesa y cada silla.

    Objetivo transversal.
    El cobre significa uno de los mayores ingresos
    económicos de nuestro país aportando alrededor de un 30% de la
    producción mundial . Por otra parte el tipo de cobre que se produce es de
    muy buena ley, es decir que en el mineral donde se encuentre hay un
    gran porcentaje de cobre y muy poco de otros elementos ; así se puede
    obtener cobre de una alta pureza.
    4x + ky = s

    ¿ Qué condiciones deben satisfacer “k” y “s” para que el sistema no tenga solución?
    ¿ Qué condiciones deben satisfacer “k” y “s” para que el sistema tenga infinitas soluciones ?
    ¿ Qué condiciones deben satisfacer “k” y “s” para que el sistema tenga una solución ?
    En cada uno de los casos anteriores ¿ qué caracteriza los gráficos de ambas rectas?

    154. Escribe un problema que llegue a plantear el siguiente sistema de ecuaciones, luego
    resuélvelo y da a conocer las soluciones :
    x + 3y = 75
    2x – y = 10
    ¿ Será suficiente con los
    ejercicios que he resuelto para
    entender lo estudiado ?
    ¿ Me he preocupado de
    revisar la bibliografía que me
    proponen ?

    Monografias.com

    ax + by = a + b
    Mezclando minerales de distinta ley puedes obtener una nueva aleación con una pureza distinta.
    Esto lo hacen generalmente los orfebres al trabajar con oro, ya que lo mezclan con cobre para
    bajar la pureza del metal. Los países productore de cobre también elboran mezclas para elevar la
    pureza de sus minerales y así elevar sus precios de venta.

    Aplicando tus conocimientos para resolver ecuaciones soluciona al siguiente problema:

    Un país productor de cobre desea producir cobre con una ley de 0,825 ( 82,5%). Tiene almacenado
    dos tipos de lingote: el primero tiene 550 g de cobre y 60 g de molibdeno, el segundo contiene 400
    g de cobre y 100 g de molibdeno. ¿Qué cantidad deberá mezclar de cada uno para obtener
    lingotes cuya maza sea de 640 g?.

    – Busca información acerca de la utilización del cobre.

    – ¿A qué gastos se destinan las utilidades que genera la
    extracción del cobre?

    www.codelco.com

    CONTROL FORMATIVO 4

    De los siguientes sistema de ecuaciones, elige y soluciona 5, en 3 de ellos utiliza los métodos de
    reducción, igualación o sustitución y en los otros dos de tu elelcción usa el método de Cramer:
    1. –x + y – 4 = 0
    2.
    x+ y=a+b
    3.
    x(y – 6) = y(x – 4)
    -4x + y –25 = 0
    2 2
    11
    y -1

    5
    x – 3
    = 0
    4.
    1
    2
    =
    2
    y

    3
    x
    5.
    =2
    b
    y
    a
    x
    +
    6.
    9x + 8y + 5z = 300
    23
    12
    =
    5
    y
    2
    x
    +
    2 – 3a
    a
    =
    3b
    y

    2
    x
    x:y = 2:3
    y:z = 5:6

    7. Carolina ha rendido un exámen de 20 preguntas y ha obtenido un puntaje de 8. Si cada
    respuesta correcta vale 1 punto y por cada error el profesor resta 2 puntos, ¿cuántas preguntas ha
    acertado Carolina? , ¿cuántas ha fallado?. Explica cómo puedes solucionar este problema.

    De los siguientes problemas elige y resuelve 4:

    8. El número atómico del mercurio (Hg) es 2 unidades mayor que el triple del número atómico del
    fierro (Fe) . ¿Qué número atómico tiene cada elemento si al sumarlos se obtiene 106?.

    9. Jorge dice : “tengo tantos hermanos como hermanas”. Una de sus hermanas dice: “tengo
    hermanos y hermanas en la razón 3:2”. ¿Cuántos hermanos y hermanas son?.

    10. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntan 44 cabezas y 144
    patas?.

    3
    3
    capacidad, si el primero está abierto 4 horas y el segundo 3 horas. ¿Cuántos litros de agua vierte
    cada grifo, por hora?.

    Monografias.com

    12. Alicia paga por un figura de cerámica y una lámpara $10.000. Si le hubieran hecho un
    descuento del 30% por la figura y del 25% por la lámpara se hubiera ahorrado $2.850. ¿Cuánto
    pagó por cada objeto?

    13. Cristian compra dos artículo en una librería por $2.100 y los vende en $2.202. Si en la venta de
    uno de esos artículos ganó el 10% y en la del otro perdió el 8% sobre el precio de compra, ¿qué
    cantidad pagó por cada uno de los artículos?.

    14. Orlando compró cierto número de libros . Si hubiera comprado 5 libros más por el mismo
    dinero , cada libro le habría costado $2.000 menos y si hubiera comprado 5 libros menos por el
    mismo dinero, cada libro le habría costado $4.000 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto pagó por
    cada uno?.

    Enviado por:
    Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.
    “NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION”
    ®
    www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias
    Página Web: yuniorandrescastillo.galeon.com
    Correo: yuniorcastillo@yahoo.com
    yuniorandrescastillosilverio@facebook.com
    Twitter: @yuniorcastillos
    Celular: 1-829-725-8571
    Santiago de los Caballeros,
    República Dominicana,
    2015.
    “DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE”
    ®

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