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Formas de expresar funciones booleanas




Enviado por Pablo Turmero



Partes: 1, 2

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    FORMAS DE EXPRESAR FUNCIONES BOOLEANAS
    Forma POS (Suma de productos)
    Suma (OR) de términos productos (AND), formadas por varias variables complementadas o no.
    Forma POS (Producto de sumas)
    Productos (AND) de términos sumas (OR) formados por varias variables complementadas o no.

    f(a,b,c) = a’bc + ab’c’ + abc + c
    Términos producto
    f(a,b,c) = (a + b + c) (a + b’ + c) (c’ + a)
    Términos suma
    Formas de representación

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    FORMAS CANONICAS
    En una expresión en forma canónica, cada variable aparece en cada termino.
    Mintermino: Termino de producto en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada pero no ambas.
    Maxtermino: Termino de suma en el cual cada variable aparece una sola vez en su forma verdadera o complementada, pero no en ambas.

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    FORMAS CANONICAS
    F(A,B,C) = (A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C)
    = M0.M2.M5
    f(a,b,c) = A’B’C+A’BC+AB´C+ABC’+ABC
    = m1 + m3 + m5 + m6 + m7
    (Gp:) Por teorema de Demorgan es posible observar que:
    (Gp:)  
    (Gp:) y
    (Gp:)  

    m1’ = (A’B’C)’ = (A + B + C’) = M1

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    CONVERSION ENTRE FORMAS CANONICAS
    Pasos:
    Evaluar en que valores binarios se representa la SOP estándar
    (Gp:) SOP estándar

    (Gp:) POS estándar

    f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz +
    x’yz’ + xy’z
    f(x,y,z)=(x+y+z’)(x’+y+z)
    (x’+y’+z)(x’+y’+z’)
    Determinar los números binarios no incluidos en el paso 1.
    f(x,y,z) = x’y’z’ + x’yz + x’yz’ + xy’z
    (Gp:) 000
    (Gp:) 011
    (Gp:) 101
    (Gp:) 010

    0
    3
    5
    2
     
    Escribir los términos suma equivalentes para los valores encontrados en el paso 2 y expresarlos en POS.
    f(x,y,z) = (x + y + z’)(x’ + y + z)(x’ + y’ + z)(x’ + y’ + z’)

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    EJERCICIOS DE REPASO
    Convierta a SOP estándar la siguiente función:
    f(x,y,z,w) = xy + zw’ + x’w’
    Convierta a POS estándar:
    f(x,y,z,w) = (x + y’)(z + w’)(x + w)
    Exprese la función en forma SOP y POS estándar:
    f(x,y,z,w) = (x + y’ + w)(y’ + z + w’)(x + y’ + z’ + w)

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    SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LOGICOS
    Algebra booleana:
    Buen conocimiento de las reglas.
    Habilidad para aplicar las reglas.

    Mapas de Karnagh:
    Método de simplificación grafico.
    Basado en teoremas booleanos, pero de mayor facilidad al utilizarlo.

    Mapas de Karnagh:
    Método de simplificación tabular.
    Directo, sistemático y no importa el numero de variables.
    No lo vamos a tratar en el curso.

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    SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA
    Para la siguiente tabla de verdad encuentre las dos formas canónicas, la SOP, el POS y la forma no estándar mínima. Además represéntela en términos de su implementación en compuertas.
    S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc
    S = (x+y+c)(x+y’+c’)(x’+y+c’)(x’+y’+c)
    Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
    Co = (x’+y+c)(x+y’+c)(x+y+c’)(x+y+c)
     
     
     
     
     
     
    (Gp:) POS canónica

    (Gp:) POS canónica

    (Gp:) SOP canónica

    (Gp:) SOP canónica

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    SIMPLIFICACION POR ALGEBRA BOOLEANA
    Para llevar la forma canónica a una forma no estándar simplificada se usa algebra booleana.
    S = x’y’c + x’yc’ + xy’c’ + xyc
    = c(x’y’+xy)+c’(x’y+xy’)
    = (x?y)’c + (x?y)c’
    = (x ? y) ? c
    Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
    = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc + xyc
    = x’yc + xy’c + xy(c’ + c) + xyc + xyc
    = yc(x’+x) + xc(y’+y) + xy
    = xy + yc +xc

    Para su implementación en puertas lógicas se aprovecha uno de los XOR de la suma.

    Co = x’yc + xy’c + xyc’ + xyc
    = xy(c+c’)+c(x’y+xy’)
    = xy + c(x ? y)

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    MAPAS DE KARNAUGH
     

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    MAPAS DE KARNAUGH
    Los Mapas de Karnaugh se utilizan para hacer simplificación de funciones lógicas de 2, 3, 4, 5 y 6 variables como máximo.
    Cada celda representa un mintermino.
    (Gp:) 0
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1
    (Gp:) 1
    (Gp:) 1
    (Gp:) 4
    (Gp:) 0
    (Gp:) 5
    (Gp:) 1
    (Gp:) 3
    (Gp:) 0
    (Gp:) 2
    (Gp:) 1
    (Gp:) 7
    (Gp:) 1
    (Gp:) 6
    (Gp:) A
    (Gp:) BC
    (Gp:) 00
    (Gp:) 01
    (Gp:) 10
    (Gp:) 11
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1

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    MAPAS DE KARNAUGH
    Los mapas de Karnaugh utilizan código gray en la numeración de las celdas, esto hace que solo cambie una sola variable entre celdas adyacentes.
    (Gp:) 0
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1
    (Gp:) 1
    (Gp:) 1
    (Gp:) 4
    (Gp:) 0
    (Gp:) 5
    (Gp:) 1
    (Gp:) 3
    (Gp:) 0
    (Gp:) 2
    (Gp:) 1
    (Gp:) 7
    (Gp:) 1
    (Gp:) 6
    (Gp:) A
    (Gp:) BC
    (Gp:) 00
    (Gp:) 01
    (Gp:) 10
    (Gp:) 11
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1

    (Gp:) 0
    (Gp:) 1
    (Gp:) 1
    (Gp:) 3
    (Gp:) 1
    (Gp:) 0
    (Gp:) 0
    (Gp:) 2
    (Gp:) 1
    (Gp:) 7
    (Gp:) 0
    (Gp:) 5
    (Gp:) 1
    (Gp:) 6
    (Gp:) 1
    (Gp:) 4
    (Gp:) C
    (Gp:) AB
    (Gp:) 00
    (Gp:) 01
    (Gp:) 10
    (Gp:) 11
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1
    (Gp:) AB’C’
    (Gp:) AB’C
    (Gp:) A’B’C’
    (Gp:) ABC’

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    SOP EN MAPAS DE KARNAUGH
    Se dibuja el mapa y se coloca un 1 en las celdas que corresponden a los mintérminos de la función. Si se tiene una función SOP no estándar, ésta debe completarse y una vez hecho esto se ubican todos los mintérminos en el mapa de Karnaugh.
    (Gp:) 0
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1
    (Gp:) 1
    (Gp:) 1
    (Gp:) 4
    (Gp:) 1
    (Gp:) 5
    (Gp:) 1
    (Gp:) 3
    (Gp:) 0
    (Gp:) 2
    (Gp:) 0
    (Gp:) 7
    (Gp:) 0
    (Gp:) 6
    (Gp:) A
    (Gp:) BC
    (Gp:) 00
    (Gp:) 01
    (Gp:) 10
    (Gp:) 11
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1

     
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1
    (Gp:) 4
    (Gp:) 5
    (Gp:) 3
    (Gp:) 2
    (Gp:) 7
    (Gp:) 6
    (Gp:) A
    (Gp:) BC
    (Gp:) 00
    (Gp:) 01
    (Gp:) 10
    (Gp:) 11
    (Gp:) 0
    (Gp:) 1

    Partes: 1, 2

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