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Frecuencia Compleja.
El análisis en estado senoidal estable o permanente, el análisis transitorio, la respuesta forzada, la respuesta compleja, el análisis de circuitos alimentados por funciones de excitación exponenciales y senoidales exponencialmente amortiguadas serán casos especiales de las técnicas generales para el análisis de circuitos asociados con el concepto de frecuencia compleja.
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Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo.
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Gráfico Voltaje senoidal exponencialmente amortiguado, en el dominio del tiempo.
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Frecuencia Compleja.
Cualquier Función puede escribirse de la forma:
f(t)= K.es.t
Donde K y s son constantes complejas, independientes del tiempo, y está caracterizada por la frecuencia compleja s.
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Frecuencia Compleja,función constante y exponencial.
Aplicando la definición, con s=0, una función de voltaje constante V(t)=Vo, se escribe como:
v(t)= V0.e0.t
Para una función de voltaje exponencial, la frecuencia compleja es; s=? + j0,
por lo tanto:
v(t)= V0.e?.t
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Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal.
Para un voltaje senoidal: v(t)= Vm.cos(wt+?)
Aplicando la identidad de Euler:
cos(wt+?)= ½.[ej(wt+?) + e-j(wt+?)]
Se obtiene:
v(t)= (½.Vm.ej?).ejwt + (½.Vm.e-j?).e-jwt
v(t)= K.est + K*.es*t
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Frecuencia Compleja,función de voltaje Senoidal.
Donde:
s= jw
s*= -jw (conjugado de s)
K= ½.Vm.ej?
K*= ½.Vm.e-j? (conjugado de K)
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Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada.
Para la función de voltaje: v(t)= Vm. e?.t cos(wt+?)
Aplicando la identidad de Euler:
cos(wt+?)= ½.[ej(wt+?) + e-j(wt+?)]
Se tiene:
v(t)= (½.Vm.ej?).e(?+jw)t + (½.Vm.e-j?).e(?-jw)t
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Función de Voltaje,Senoidal exponencialmente amortiguada.
Donde, el par de frecuencias complejas conjugadas se describe como:
s = ? + jw
s* = ? – jw
La amplitud y el ángulo de fase del voltaje senoidal dependen del valor de K para cada una de las dos frecuencias complejas conjugadas.
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Variable Compleja, S.
Se denota por sigma, ?, a la parte real de s, y por w (no jw) a la parte imaginaria de s; luego:
s = ? + jw.
Donde:
?: es la frecuencia de amortiguamiento
(se mide en Nepers/s)
w: es la frecuencia angular (rad/s)
s: se mide en Nepers/s o rad/s.
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Ejemplo: Frecuencia Compleja
Sea:
f(t)= (4 – j7).e(-3+j15)t.
Donde:
K= Sqrt[(4)2 + (7)2] = 8.1
?=tan-1(-7/4) = -60.3°
f(t)= K.es.t = K.e?.t cos(wt+?)
Luego:
f(t)=8.1.e-3.t cos(15t-60.3°)
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Función de excitación Senoidal amortiguada en S.
La Función senoidal con variación exponencial:
v(t)= Vm. e?.t cos(wt+?)
puede expresarse en términos de la frecuencia compleja s como:
v(t)=Re (Vm.e?t.ej(wt+?))
Factorizando y sustituyendo s = ? + jw:
v(t)=Re (Vm.ej?.est)
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