Guía de estudio: Lógica, conjuntos y relaciones

Una introducción necesaria

Principalmente en los niveles primario, medio básico y medio superior los conceptos, procedimientos y proposiciones asociados al tema "Lógica, conjuntos y relaciones" son esenciales para comprender los fundamentos de las Matemáticas, para la obtención de nuevos conocimientos y para la resolución de problemáticas reales.

Sin embargo, es una realidad que la actividad de estudio que realizan los estudiantes en torno a este contenido, muchas veces se ve limitada, bien por la carencia o escases de bibliografía o por la dispersión del contenido matemático en una variedad de esta.

Teniendo en cuenta lo anterior, las autoras han decidido elaborar esta guía de estudio. La misma se estructura en 12 secciones de trabajo, algunas de las cuales aportan información y documentación necesarias para la comprensión del contenido en cuestión, mientras en otras se presentan ejercicios y problemas que ayudan al desarrollo de habilidades.

La guía está diseñada con hiperenlaces o hipervínculos de tal manera que, al hacer clic sobre ellos, se muestra el otro punto del documento con el que están vinculados.

Sección 1: Objetivos generales en torno al tema "Lógica, conjuntos y relaciones."

Sección 2: Temática 1: Formas lógicas fundamentales del pensamiento.

Sección 3: Tareas para desarrollar en torno a la temática 1.

Sección 4: Temática 2: Proposiciones. Valores de verdad de proposiciones de la matemática escolar y de la vida práctica.

Sección 5: Tareas para desarrollar en torno a la temática 2.

Sección 6: Temática 3: Teoremas: directo, recíproco, contrario y contrarrecíproco.

Sección 7: Tareas para desarrollar en torno a la temática 3.

Sección 8: Temática 4: Conjuntos numéricos.

Sección 9: Tareas para desarrollar en torno a la temática 4.

Sección 10: Temática 5: Producto cartesiano. Relaciones binarias.

Sección 11: Tareas para desarrollar en torno a la temática 5.

Sección 12: Tareas del tema

OBJETIVOS GENERALES EN TORNO AL TEMA "LÓGICA, CONJUNTOS Y RELACIONES".

• Fundamentar la obtención y demostración de proposiciones de la matemática escolar y de la vida práctica sobre la base de los conceptos, proposiciones y procedimientos asociados a estos.

• Resolver ejercicios y problemas relacionados con:

• La determinación del valor veritativo de proposiciones, la formación de recíprocos o contrarrecíprocos de proposiciones, determinación de condiciones necesarias, suficientes y necesarias y suficientes, teniendo en cuenta el uso de cuantificadores.

• Las relaciones y propiedades de los conjuntos y las operaciones definidas entre ellos.

Contenido:

Conocimientos esenciales: Determinación de la estructura sintáctica y el valor veritativo de una proposición, transformación de proposiciones (formación de recíprocos, contrarrecíprocos, negación, enlace y cuantificación de proposiciones, entre otras transformaciones que pueden conducir o no a proposiciones equivalentes). Métodos de demostración (incluyendo inducción completa). Formación y representación de conjuntos. Relación de pertenencia y de inclusión. Operaciones con conjuntos y sus propiedades. Producto cartesiano. Relaciones. Propiedades de las relaciones binarias.

Habilidades fundamentales a las que tributa

Habilidad general: Resolver ejercicios y problemas donde se apliquen los recursos de la lógica clásica, así como, las relaciones y propiedades de los conjuntos y las operaciones definidas entre ellos con intervalos de números reales.

Habilidades básicas: Determinar la estructura sintáctica y el valor veritativo de una proposición, transformar proposiciones (formar recíprocos, contrarrecíprocos, negar, enlazar y cuantificar proposiciones. Indicar cuál de los siguientes antecedentes constituyen condiciones suficientes para la conclusión que se da. Indicar cuál de las siguientes conclusiones tienen como condiciones suficientes los antecedentes que se dan. Transferir de una forma de representación a otra de un conjunto. Operar con conjuntos. Demostrar relaciones entre conjuntos. Construir conjuntos o determinar elementos de un conjunto que satisfagan determinadas propiedades. Valorar las aplicaciones de un concepto, relación o procedimiento en distintos contextos matemáticos y extramatemáticos.

Convicciones, valores, actitudes y cualidades: Convicción de que la Matemática tiene su origen en la realidad objetiva y que la práctica es fuente, medio y fin para la obtención de nuevos conocimientos; convicción, de manera general, del carácter instrumental de esta ciencia y de su utilidad para conocer y transformar el mundo y de su uso para beneficio de nuestra sociedad; y de manera particular, valoración de la lógica clásica, la teoría de conjunto y de relaciones para la resolución de problemáticas; convicción de la posibilidad de aprender y ser mejores a través del esfuerzo, la perseverancia, la responsabilidad, la tolerancia, la solidaridad y el espíritu crítico y autocrítico.

TEMÁTICA 1:

Formas lógicas del pensamiento.

¿QUÉ ES LÓGICA?

El pensamiento es objeto de estudio de varias disciplinas científicas, que investigan por ejemplo la adecuación o no de sus contenidos a la realidad (filosofía), sus bases fisiológicas (fisiología), sus mecanismos de control y comunicación (cibernética), sus motivaciones y características en cada individuo (sicología) o su estimulación y desarrollo mediante el aprendizaje (pedagogía).

Entre estas disciplinas que estudian el pensamiento se encuentra la lógica. Ciencia de las proposiciones y las demostraciones que se basan en un razonamiento para llegar a una conclusión, ya sea verdadera o falsa. La palabra deriva del griego antiguo ?????? (logike), que significa 뤯tado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo묠que a su vez viene de ????? (logos), 밡labra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio뮠

Se considera a George Boole (1815-1864), matemático y lógico inglés, nacido en Lincoln, hijo de padre zapatero de oficio, pero aficionado a las matemáticas y a las ciencias, el padre de la Lógica matemática.

¿CUÁLES SON LAS FORMAS LÓGICAS FUNDAMENTALES DEL PENSAMIENTO?

• Conceptos

• Juicios

• Razonamientos

¿A QUÉ LLAMAMOS CONCEPTO?

Los conceptos son una de las formas del pensamiento abstracto. A los conceptos se arriba mediante abstracción de las características esenciales (generales y necesarias) propias de una clase de individuos homogéneos.

El estudio del concepto trasciende la Lógica Formal y Lógica Simbólica, los conceptos se forman en la actividad del hombre, mediante las operaciones racionales del pensamiento y tienen un carácter abstracto, no puede confundirse el concepto con los objetos que se refiere ni aún en el caso de que sea un objeto único.

Un concepto es el reflejo mental de una clase de individuos, procesos, relaciones de la realidad objetiva o de la conciencia (o el reflejo de una clase de clases), sobre la base de sus características invariantes (esenciales).

Los conceptos tienen contenido y extensión.

¿Cómo pueden ser los conceptos según su contenido?

Conceptos concretos o abstractos: Dependiendo de si reflejan individuos o clases de individuos separados o indicios de éstos, se dice que los conceptos son concretos o abstractos. Así son conceptos concretos rana, trapecio y ciruela y son conceptos abstractos democracia, libertad y belleza, por sólo citar algunos ejemplos.

Conceptos relativos o independientes: Atendiendo a si presuponen la existencia de otros conceptos o no, se diferencian conceptos relativos o independientes. Son relativos los conceptos padre e hijo, jefe y subordinado, bueno y malo – uno supone la existencia del otro-, lo cual no es el caso para los conceptos cajón, trapecio y comercio, que son independientes.

Conceptos positivos o negativos: Considerando si caracterizan la presencia o ausencia de una calidad o relación, se les denomina positivos o negativos. Son positivos los conceptos honesto, alfabetizado, humano y rico, y negativos, deshonesto, analfabeto, inhumano y pobre. Hay que tener en cuenta que un concepto positivo desde el punto de vista de la lógica, no necesariamente lo tiene que ser según otros puntos de vista, como es el caso del concepto grasiento.

Conceptos colectivos o no colectivos: Valorando si representan un grupo de objetos como un todo o a cada individuo de la misma clase, hablamos entonces de conceptos colectivos o no colectivos. Son colectivos los conceptos bosque, rebaño y biblioteca, y no lo son, computadora, camisa y honrado.

¿CÓMO PUEDEN SER LOS CONCEPTOS SEGÚN SU EXTENSIÓN?

• Singulares: Cuando tienen un único representante, digamos el sol o la luna.

• Generales: Cuando tienen un número de representantes mayor que uno, como en el caso de cualquier especie de plantas o animales.

• Vacíos: Cuando no tiene ningún representante, por ejemplo, "el perro que habla".

Entre el contenido de un concepto y su extensión existe la llamada ley de reciprocidad: Cuanto "mayor" sea el contenido de un concepto, tanto "menor "será la extensión del mismo, y viceversa.

Ejemplo: Si al contenido del concepto triángulo se le agrega la característica de tener sus tres lados iguales, se reduce sólo al concepto triángulo equilátero.

¿CUÁLES RELACIONES EXISTEN ENTRE LOS CONCEPTOS?

• Conceptos incomparables y comparables: Los conceptos incomparables son los distanciados por su contenido y por ende, por sus características esenciales; los demás se denominan comparables.

Ejemplo: Son conceptos incomparables:

• números enteros y cuadrilátero;

• fenómenos de inercia y cambios de estado.

• Conceptos compatibles e incompatibles: Cuando son comparables, se llaman conceptos compatibles, o sea, aquellos cuyos volúmenes coinciden por completo o en parte; e incompatibles, aquellos cuyos volúmenes tienen intersección vacía, es decir, que no tienen ningún elemento común.

• Conceptos subordinante y subordinado , cruzados e idénticos:

Si se comparan las extensiones de dos conceptos compatibles, pueden ocurrir tres cosas:

• 1) La extensión de uno contiene a la del otro (concepto superior o subordinante y concepto subordinado; también se habla que entre estos conceptos existe la relación género – especie).

Ejemplo: Paralelogramos y cuadriláteros; movimiento mecánico y movimiento rectilíneo uniforme.

• 2) Hay intersección entre las extensiones de los conceptos, pero una no contiene a la otra (conceptos cruzados).

Ejemplo: Rectángulos y rombos.

• 3) Las extensiones coinciden en todos los representantes (conceptos equivalentes o idénticos).

Ejemplo: Paralelogramo y cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en su punto medio.

¿QUÉ SE ENTIENDE POR DEFINIR UN CONCEPTO?

Consiste en establecer cuál es su contenido o lo que significa el término que designa al concepto.

OBSERVACIONES:

• La definición es el reflejo verbal de la clase de individuos, procesos o relaciones, sobre la base de sus características invariantes (esenciales).

• El concepto se obtiene primero, la definición después.

• Las definiciones se pueden interpretar como una igualdad, a un lado de la cual está lo que se va a definir (definiendum) y del otro, aquello con lo que se define (definiens).

• Las definiciones se pueden clasificar en:

• Definiciones nominales: Se introducen nuevos términos o símbolos, aclarando cómo se interpretan o utilizan.

• 1) Ejemplo: El coulomb se define como la carga que pasa por un circuito en un segundo cuando la intensidad de corriente es de 1 A.

• Definiciones reales: Se define un concepto a partir de otro u otros.

Ejemplo: El cuadrilátero convexo que tiene un par de lados opuestos paralelos recibe el nombre de trapecio.

De manera general una definición debe responder a las reglas siguientes:

• Ser proporcionada, es decir, debe incluir exactamente las propiedades esenciales del concepto, ni más ni tampoco menos.

Ejemplo: Un cuadrado es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos congruentes. (Falta la característica de que los lados son congruentes)

2) No debe contener círculo vicioso.

Ejemplo: La Física por definición es aquello a que se dedican los físicos.

3) Debe ser clara, no contener ambigüedades.

Ejemplo: El trapecio es el cuadrilátero convexo que tiene los lados opuestos paralelos.

• 4) No debe ser negativa si puede expresarse de forma positiva.

Ejemplo: Escaleno es el triángulo que no tiene sus tres lados iguales.

¿CUÁLES PROCEDIMIENTOS LÓGICOS ESTÁN ASOCIADOS A LOS CONCEPTOS?

En asuntos de la vida cotidiana o del ejercicio de un oficio o profesión es necesario identificar propiedades, distinguir las esenciales de las que no lo son, buscar objetos que las posean, entre otras acciones. Hay procedimientos lógicos que constan de un número finito de tales acciones y que guardan una estrecha relación con las operaciones lógicas a las que se hizo referencia en el apartado anterior. A continuación se describe la estructura de algunos de estos procedimientos:

• Identificar un concepto

• Recordar características esenciales del concepto.

• Reconocer si el objeto posee o no estas características.

• Decidir si el objeto pertenece o no al concepto.

• Ejemplificar un concepto

• Recordar características esenciales del concepto.

• Buscar individuos que posean esas características.

• Identificar esos individuos.

• Limitar un concepto (Generalizar un concepto)

• Formular la definición del concepto a limitar (generalizar).

• Añadir características esenciales (prescindir de características esenciales).

• Deducir propiedades

• Identificar el concepto al cual pertenece el objeto.

• Rememorar propiedades necesarias del concepto.

• Concluir que el objeto posee las propiedades.

• Comparar un concepto.

• Elegir criterio de comparación.

• Determinar semejanzas y diferencias entre los individuos.

• Clasificar un concepto.

• Elegir la base.

• Dividir en clases según la base.

• Definir un concepto. (mediante el género próximo y la diferencia específica)

• Escoger el género.

• Distinguir las características esenciales que lo diferencian de otros conceptos.

• Comparar con otros conceptos del mismo género.

¿A QUÉ LLAMAMOS JUICIO?

Es la forma del pensamiento en que se afirma o niega algo sobre algo; esto significa que un juicio es el pensamiento en el que se afirma o niega algo.

OBSERVACIÓN: Los juicios no pueden ser simultáneamente verdaderos o simultáneamente falsos.

• Juicios categóricos: se afirma algo de manera absoluta.

Ejemplo: 4 es mayor que 3.

¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS JUICIOS CATEGÓRICOS?.

• atributivos, se afirma o niega que ciertos objetos poseen una propiedad.

Ejemplo: Todos los metales conducen la electricidad.

• de relación, se establece una relación entre dos o más conceptos.

Ejemplo: densidad y potencia son magnitudes físicas.

• existenciales, se afirma o niega la existencia de algo.

Ejemplo: Existe el telescopio espacial Hubble.

ESTRUCTURA DE LOS JUICIOS ATRIBUTIVOS:

• Un sujeto (S)

• Un predicado(P)

• Una cópula ("son", "no son")

• Un cuantificador ("todos", "ningún", "algunos", "la mayoría","la minoría", "no pocos", "muchos", "casi todos", etc)

Ejemplo: En el juicio atributivo "Todos los metales son conductores de la electricidad", vemos que hay dos conceptos, uno el que atribuye la propiedad (metales) que es el sujeto y otro caracterizado por la propiedad que se atribuye (conductores de la electricidad) que es el predicado; es decir, están el sujeto y lo que se predica del sujeto.

Además, se distingue la cópula entre el sujeto y el predicado (son); esta cópula es una forma de un verbo copulativo y puede ser afirmativa o negativa; por último, aparece una palabra que cuantifica (todos) en qué extensión el sujeto tiene la propiedad.

POSIBLES TIPOS DE JUICIOS ATRIBUTIVOS:

• Universal afirmativo: Todos S es P (A).

Ejemplo: Todos los planetas giran alrededor del sol.

• Particular afirmativo: Algún S es P. (I).

Ejemplo: Algún planeta es habitable.

• Universal Negativo. Ningún S es P. (E).

Ejemplo: Ningún planeta posee luz propia.

• Particular negativo. Algún S no es P. (O).

Ejemplo: Algún planeta no es habitable.

PROCEDIMIENTOS LÓGICOS ASOCIADOS A JUICIOS

Hay procedimientos lógicos asociados a juicios que constan de un número finito de acciones elementales, cuya estructura se describe a continuación:

Determinar el valor veritativo de un juicio

• Identificar la estructura.

• Analizar si cumple condiciones de veracidad.

• Asignar valor de verdad.

Transformar un juicio (en otro semánticamente equivalente)

• Identificar la estructura.

• Escoger la transformación.

• Aplicar el procedimiento.

Modificar juicios

• Identificar la estructura.

• Seleccionar la modificación.

• Aplicar el procedimiento.

¿A QUÉ LLAMAMOS RAZONAMIENTO?

Es la forma de pensamiento mediante la cual se obtienen nuevos juicios a partir de otros ya conocidos.

Ejemplo:

a) 3 es mayor que 2.

b) Todos los metales son conductores de la electricidad, luego el cobre conduce la electricidad.

En todos estos casos, de uno o varios juicios (premisas) se pasa a un nuevo juicio (conclusión).

OBSERVACIÓN: Hay razonamientos que conducen a errores (pero son razonamientos).

Ejemplo: "Todos los mamíferos son animales de cuatro patas, todos los hombres son mamíferos, por lo tanto, todos los hombres son animales de cuatro patas" es una proposición válida que conduce a una conclusión falsa.

Un caso particular importante de razonamiento es la Deducción en la cual se garantiza que la conclusión es verdadera cuando las premisas de partida los son.

• La deducción es el razonamiento que garantiza pasar de juicios verdaderos a otros juicios también verdaderos.

• Razonamientos reductivos, son los que no necesariamente conducen a conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas. Las clases fundamentales de razonamiento reductivo son: inductivos, analógicos y probables.

• Los razonamientos deductivos, son los que garantizan la veracidad de la conclusión cuando se utilizan premisas verdaderas. O sea, el razonamiento deductivo es aquel en que la conclusión resulta necesariamente de las premisas.

¿CUÁLES PROCEDIMIENTOS LÓGICOS ESTÁN ASOCIADOS A LOS RAZONAMIENTOS?.

Los procedimientos lógicos fundamentales asociados a razonamientos son la demostración, la refutación y la realización de inferencias.

• Realizar inferencias

• Refutación

• Demostración (directa o indirecta)

• Argumentación

TAREAS PARA DESARROLLAR EN TORNO A LA TEMÁTICA 1: CONCEPTOS, JUICIOS Y RAZONAMIENTOS. PROCEDIMIENTOS LÓGICOS ASOCIADOS.

Primeramente trata de rememorar los aspectos teóricos tratados en la sección anterior, respondiendo las siguientes interrogantes:

• ¿Cuáles son las formas lógicas fundamentales del pensamiento?

• Según su extensión y según su contenido ¿cómo se clasifican los conceptos?

• ¿A qué llamamos concepto subordinante y subordinado, cruzados e idénticos?

• ¿A qué llamamos definición nominal?, ¿y real?

• ¿Cómo se clasifican los juicios atributivos?

• ¿Cómo se estructura sintácticamente un texto?

TAREA 1: Cite ejemplos de conceptos que estén en la relación subordinante – subordinado, que se traten en la escuela.

TAREA 3: Clasifique las siguientes definiciones:

• a) El equipo eléctrico que permite elevar o reducir el valor de la tensión, se denomina transformador.

• b) Las reacciones químicas son procesos en los cuales tienen lugar cambios estructurales como el rompimiento y la formación de nuevos enlaces químicos, que originan nuevas sustancias.

• c) Las células que poseen envoltura nuclear se denominan eucariotas.

• d) La magnitud física que informa acerca de la rapidez con que varía la velocidad de un cuerpo que realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se denomina aceleración.

• e) La relación entre la variación de la concentración de sustancia ?C(x) de cualquiera de las sustancias involucradas en la reacción y el intervalo de tiempo en que fue medida, se llama velocidad media de reacción.

• f) Las disoluciones son mezclas homogéneas de dos o más sustancias en proporciones variadas.

TAREA 4: Busque ejemplos en los textos de la escuela de:

• a) Una definición real

• b) Una definición nominal

TAREA 5: Seleccione un tema de un texto escolar.

• a) Escoja tres conceptos que aparezcan en éste, analice sus definiciones y clasifíquelas.

• b) Determine las extensiones de estos conceptos y clasifíquelos por su extensión.

• c) Si son conceptos compatibles, analice las relaciones entre ellos.

• d) Busque dentro de cuál clasificación se pueden enmarcar dichos conceptos y exprese el rasgo de clasificación escogido.

• e) Analice cuáles procedimientos lógicos asociados a conceptos son objeto de trabajo en el tema.

• f) Valore si se pudiera trabajar con otros procedimientos lógicos asociados a conceptos en el contexto del tema.

TAREA 6: Dados los siguientes juicios determine su tipo (A, I, E O):

• a) Algunas personas son analfabetas.

• b) Ningún delfín es pez.

• c) Todas las oraciones tienen verbo.

• d) Algunos alumnos nos son disciplinados.

TAREA 7: Escriba los juicios categóricos que tienen iguales el sujeto y el predicado:

• a) Ninguno de los demandados es inocente.

• b) Algunos de los demandados no son inocentes

• c) Algunos moluscos no son bivalvos.

• d) No se puede inferir un juicio verdadero.

• e) Algunas guerras de conquista son injustas.

• f) Ningún niño es malo.

• g) Algunas enfermedades no son mortales.

• h) Todos los deportistas son saludables.

TAREA 8: Diga si la conclusión que se obtiene en cada caso es verdadera o falsa. Fundamente su respuesta.

a) Si x no es un número racional, entonces no es un número fraccionario.

no es un número racional.

__________________________

no es un número fraccionario.

b) Si x no es un número racional, entonces no es un número fraccionario.

no es un número fraccionario

___________________________

no es un número racional

c) Si x es un número irracional, entonces es un número real.

-4,3 no es un número irracional

_________________________

-4,3 no es un número real

TEMÁTICA 2:

Proposiciones. Valores de verdad de proposiciones de la matemática escolar y de la vida práctica

¿QUÉ SON LAS PROPOSICIONES?

Son estructuras lingüísticas con sentido, verdaderas o falsas/expresión que tiene la propiedad de ser verdadero o falso/ expresión de la cual se puede decir siempre si es V o F. Se denotan (simbolizan) por letras minúsculas p, q, r, etc.

Ejemplo:

Son proposiciones:

• a) Todos los radios de una misma circunferencia son iguales. (V)

• b) Algunos metales no conducen la electricidad (F)

• c) 2 es un número par y primo. (V)

• d) En el fenómeno de la reflexión el ángulo de incidencia no siempre es igual al ángulo de reflexión. (F)

• e) La corriente directa es aquella en la que el flujo varía de sentido a lo largo del tiempo. (F)

• f) Si tres segmentos concurren en un punto, entonces son radios de una circunferencia. (F)

• g) Inercia es la propiedad de los cuerpos de oponerse a la variación de su estado de movimiento o reposo. (V)

¿QUÉ SON LAS FORMAS PROPOSICIONALES?

Son enunciados abiertos que contienen variables algebraicas, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al sustituirse la variable por una constante específica.

Ejemplo: 2x+1= 5, es una forma proposicional, que se convierte en proposición verdadera para x=2 y en proposición falsa para x=-3.

CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS PROPOSICIONALES

TIPOS DE PROPOSICIONES:

Las proposiciones se dividen en dos clases: proposiciones simples (primarias o atómicas) y proposiciones compuestas (moleculares).

• Proposiciones Simples.- Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir o descomponer en enunciados más sencillos.

Ejemplo: a) 2 es un número primo.

b) 5 es divisible por 12.

• Proposición compuesta o molecular, está formada por dos o varias proposiciones simples. Ejemplo: -32= – 9 y (-3)2=9.

OBSERVACIÓN:

• 1)  ¡Cierra la puerta!, es una orden no una proposición.

• 2) ¿Eres un estudiante de matemática?, es una pregunta que se hace, carece de valor de verdad, es decir, no se puede afirmar si es verdadero o falso, por tanto no una proposición.

• Conectores (operadores) lógicos, enlazan dos o más proposiciones simples (no, o, y, si … entonces, si y sólo si婮

OBSERVACIÓN: Según el conector lógico utilizado se pueden definir las siguientes proposiciones:

• Conjunción lógica de proposiciones: Dos proposiciones cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra "y" para formar una proposición compuesta, que se llama conjunción de las primeras proposiciones (conjunción de p y q). Simbólicamente se denota la conjunción de dos proposiciones p y q por:

*****La conjunción será verdadera cuando lo sean p y q, en los demás casos será una proposición falsa.

Ejemplo:

1) -32= – 9 y (-3)2=9 (V)

2) -32= 9 y (-3)2=9 (F)

3) -32= – 9 y (-3)2= -9(F)

4) -32= 9 y (-3)2= – 9 (F)

• Disyunción (Alternativa) de proposiciones: Dos proposiciones cualesquiera se pueden combinar por medio de la palabra "o" para formar una nueva proposición que se llama disyunción. Simbólicamente se denota la disyunción de dos enunciados

p y q por: p v q.

La disyunción p v q es verdadera si p es verdadera o q es verdadera o si ambos p y q son verdaderas; en otro caso p v q es falso.

Ejemplo: 1) -32= – 9 o (-3)2=9 (V) Tabla de valores lógicos

2) -32= 9 o (-3)2=9 (V)

3) -32= – 9 o (-3)2= -9(V)

4) -32= 9 o (-3)2= – 9 (F)

• Condicional (implicación) de proposiciones: Multitud de proposiciones, especialmente en las matemáticas, son de la forma "Si p entonces q". Tales enunciados se llaman condicionales y se les denota por: p ? q (p es hipótesis o premisa o antecedente) y q, es tesis o conclusión o consecuente).

Ejemplo: Si a es un número negativo entonces a es menor que cero.

Una implicación es falsa cuando de una hipótesis verdadera se saca una conclusión falsa.

O sea la implicación p ? q siempre es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso.

Ejemplo:

• 1) Si a es un número negativo entonces a es menor que cero. (V)

• 2) Si a es un número negativo entonces a es mayor que cero. (F)

• 3) Si x3 =8 entonces x=2

• 4) Si madrugo entonces llego temprano.

OBSERVACIÓN: En este ejemplo puede suprimirse la

palabra "entonces" y reemplazarse por una "," así:

Si madrugo, llego temprano.

El condicional p ? q se puede también leer:

(a) p implica q c) p es suficiente para q

(b) p solamente si q d) q es necesario para p

OBSERVACIÓN: Se dice que p es condición suficiente para q y q es condición necesaria para p.

• Bicondicional (equivalencia) de proposiciones: si dos proposiciones p y q se implican mutuamente (p ? q y q ? p), entonces se dice que son equivalentes; y se escribe p ?q.

La simbología p ?q se lee "p si y solamente si q" o "p ssi q"

Ejemplo: a) 5 – 2 = 3 si y solo si 3 + 2= 5

b) si y solamente si 33 =27

La proposición p?q es verdadera solo cuando las proposiciones

p y q tienen el mismo valor lógico.

• Negación. Simbólicamente se denota la negación de p por: ó ~ p.

Si p es verdadero, entonces es falso; si p es falso, entonces es verdadero.

Es decir, el valor de verdad de la negación de una proposición es siempre el opuesto del valor de verdad de la proposición.

Ejemplo: si p es: 6 es un número par, entonces será: el 6 no es un número par.

Tabla de valores lógicos

TAREAS PARA DESARROLLAR EN TORNO A LA TEMÁTICA 2: PROPOSICIONES Y VALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES DE LA MATEMÁTICA ESCOLAR Y DE LA VIDA PRÁCTICA.

Primeramente trata de rememorar los aspectos teóricos tratados en la sección anterior, respondiendo las siguientes interrogantes:

• ¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso?

• ¿De qué depende que la conjunción de dos proposiciones sea verdadera?

• ¿Cuándo la disyunción de dos proposiciones es falsa?

• ¿Qué sucede con la condicional de proposiciones si la hipótesis es verdadera y la conclusión es falsa?

• ¿De qué depende el valor de verdad de una proposición compuesta?/De los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen

• ¿Cómo proceder para analizar los valores de verdad de una proposición compuesta?

• ¿Cuántas filas tiene una tabla de verdad para proposición?.

TAREA 1: De los siguientes enunciados, ¿Cuáles son proposiciones? Fundamenta las que no lo son.

a) x + 3 = 11, si x = 2 b) Todos los planetas giran alrededor del sol.

c) Si un número es divisible por 4 también lo es por 2.

d) Romeo y Julieta se amaron

e) x + 3 = 14 f) Siéntese rápido g) ¿Qué estudias?

TAREA 2: Selecciona del contenido relacionado con la Aritmética, del texto de Matemática, 10 proposiciones simples.

a) Forma con ellas cuatro ejemplos de negación de una proposición; de conjunción; disyunción implicación y de equivalencia de proposiciones.

TAREA 3:ïnstruye cuatro formas proposicionales y explique cómo convertirlas en proposiciones.

TAREA 4: Analice el siguiente el texto:

Si Alfonso estudia aritmética, entonces también estudia Lógica o Álgebra. Alfonso no estudia aritmética. Alfonso estudia Aritmética, o Lógica, o Algebra. Luego, Alfonso estudia Algebra.

Identifique: proposiciones simples; proposiciones compuestas; premisas; conclusiones; conectivos lógicos. Efectúe la formalización lógica.

TAREA : 5 Dadas las proposiciones siguientes:

• I. Si 2 ( 3 se tiene que 2 ( 7ó 2 = 4.

• II. 2 + 1 = 3 si y sólo si 2. 1= 1 y 3. 1 = 3

• a) Determine las proposiciones simples que la conforman y nómbrelas de manera adecuada.

• b) Escríbalas en forma simbólica.

• c) Determine su estructura lógica y su valor de verdad.

TAREA 6: Construya las tablas de verdad correspondientes a las siguientes proposiciones:

a) p ( b) p(q c) p ( d) q e)

TEMÁTICA 3: TEOREMAS: DIRECTO, RECÍPROCO, CONTRARIO Y CONTRARRECÍPROCO.

A la proposición condicional se le asocian tres proposiciones importantes:

• La proposición recíproca: en ella la premisa es la conclusión de la condicional y la conclusión es la premisa de la condicional.

("Si hoy hay clases de matemáticas entonces es martes")

• La proposición inversa: Es la proposición compuesta por la negación individual de las dos proposiciones que se relaciona a través de la condicional.

("Si hoy no es martes entonces no hay clases de matemáticas")

• La proposición contrarrecíproca: Es la reciproca de la inversa condicional.

("Si hoy no es martes entonces no hay clases de matemáticas")

OBSERVACIONES: Estas fórmulas no son independientes entre sí, lo cual se hace notar a partir de construir una tabla representativa de estas cuatro proposiciones: proposición condicional; proposición recíproca; proposición inversa y proposición contrarrecíproca.

La condicional y contrarrecíproca tienen los mismos valores de verdad, de igual manera recíproca e inversa.

CONSECUENCIA: Teniendo en cuenta lo anterior se dice que las proposiciones condicional y contrarrecíproca son lógicamente equivalentes, tal como las proposiciones recíproca e inversa.

Ejemplo:

Considerando las proposiciones: p: en un tubo se hace el vacío y q: el sonido no se propaga.

La condicional será: Si en un tubo se hace el vacío el sonido no se propaga.

La recíproca de la condicional será: Si el sonido no se propaga en un tubo se hace el vacío.

La inversa de la condicional será: Si el sonido se propaga en un tubo se hace el vacío.

La contrarrecíproca de la condicional será: Si no se hace el vacío el sonido se propaga en un tubo.