Introducción a la lógica difusa y al enfoque língüístico difuso (página 2)

Partes: 1, 2

Vagueness (fuzziness) vs. Probability
Incertidumbre
Redes Bayesianas
Aleatoriedad de eventos definidos de manera precisa
Conjuntos Difusos
Subjetividad en la calificación de eventos no aleatorios

LÓGICA DIFUSA
Y
CONJUNTOS DIFUSOS

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Lofti Zadeh, 1965

Fue diseñada para representar y razonar
sobre conocimiento expresado de forma
lingüística o verbal

Conocimientos “vagos”,”imprecisos”, “difusos”, “borrosos”

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
La lógica difusa es una extensión de la lógica convencional (Booleana) para manejar el concepto de verdad parcial.

La verdad parcial se presenta cuando los valores de verdad se encuentran entre “absolutamente cierto” y “absolutamente falso”
(Gp:) F
(Gp:) V

(Gp:) F
(Gp:) V

Lógica booleana
Lógica difusa

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
EJEMPLO:

Es peligroso llegar a estar demasiado cerca de un león

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Trasladamos la pregunta mediante la elección de un umbral T en lógica clásica:
SI (distancia < T) ENTONCES peligro
Esto se puede representar mediante la teoría clásica de conjuntos

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Consideremos una pequeña distancia, y su variación:
¿Hay peligro estando a la distancia T – ??

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Funciones de pertenencia continuas Conjuntos Difusos

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Problemas Básicos subyacentes:
Conceptos SIN definición clara: Muchos conceptos que manejamos los humanos a menudo, no tienen una definición clara: ¿Qué es una persona alta? ¿A partir de qué edad una persona deja de ser joven?

La lógica clásica o bivaluada es demasiado restrictiva: Una afirmación puede no ser ni VERDAD (true) ni FALSA (false).
“Ella es guapa”: ¿Es guapa, muy guapa o un poco mejor que regular?

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
De Conjuntos clásicos a Conjuntos Difusos

X: Universo de discurso
A: Un conjunto definido en ese universo de discurso

Formas de definir el conjunto A:

Enumerando elementos
Especificando una propiedad
Definiendo la función característica

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Ejemplo: Conjunto clásico de números reales en el intervalo [0,10] comprendidos entre 5 y 8

A = [5,8], X = [0,10]

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Función característica ? Conjunto nítido

Función de pertenencia ? Conjunto difuso

Para cada elemento x, es el grado de pertenencia al conjunto difuso A

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Ejemplo: Conjunto de gente joven

B = {gente joven} B = [0,20]
(Gp:) 30
(Gp:) 15
(Gp:) 20
(Gp:) 25
(Gp:) 50
(Gp:) 35
(Gp:) 40
(Gp:) 45

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Un conjunto difuso se pueden definir como:
Una función continua.

Una enumeración de pares definidos sobre elementos discretos del conjunto

donde
? no representa una suma, sino una colección de todos los pares.
?A(x)/x no representa ningún cociente, sino un par (posibilidad/elemento)

Sea el conjunto difuso joven
(Gp:) 30
(Gp:) 15
(Gp:) 20
(Gp:) 25
(Gp:) 50
(Gp:) 35
(Gp:) 40
(Gp:) 45

A = {1/10, 1/15, 1/20, 0.75/25, 0.25/30, 0/35 }
A = {(1,10), (1,15), (1,20), (0.75,25), (0.25,30), (0.35,0) }
edad
0
1
grado de
pertencia
Lógica Difusa y Conjuntos Difusos

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
a
b
c
Tipos de funciones de pertenencia
Funciones triangulares

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Funciones trapezoidales

a
b
c
d

Lógica Difusa y Conjuntos Difusos
Funciones gaussianas

Otras: campana, S, Z, etc.

Funciones descritas mediante polígonos
Generalizan cualquier otro tipo de representación
Nivel de aproximación ajustable

CONCEPTOS BASICOS
DE
CONJUNTOS DIFUSOS

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos
El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso U es un conjunto nítido que contiene todos los elementos de U que tenga valores de pertenencia ? 0 en A.
Soporte(A) = {x ? U / µA(x) > 0}

Si el soporte de un conjunto difuso es vacío, este es llamado conjunto difuso vacío (empty fuzzy set).
Si el conjunto soporte está representado por un solo punto en U, este se denomina singleton difuso (fuzzy singleton).
(Gp:) 1
(Gp:) soporte
(Gp:) x
(Gp:) µA(x)

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos
El conjunto x, donde µA(x) alcanza el valor de 1 se denomina núcleo (core).
(Gp:) 1
(Gp:) núcleo
(Gp:) x
(Gp:) µA(x)

La altura de un conjunto difuso es el mayor valor de pertenencia logrado por algún punto.
En un conjunto difuso normal la altura es 1.
normal: µA(x) = 1
(Gp:) altura
(Gp:) µA(x)
(Gp:) x

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos
Dado un conjunto difuso A definido en X y un número ? ? [0; 1] un conjunto ? – cut (alfa corte) es un conjunto nítido que contiene todos los elementos en U que tengan valores de pertenencia en A mayores o iguales que a, definido por:
A? = { x ? U / µA(x) ? ?}

A? + = { x ? U / µA(x) ? ?} strong ? – cut

Operaciones Estándar
Complemento ?A(x)

?A(x) = 1 – A(x)
Unión: t-conormas
( A?B ) x = max[ A(x), B(x)]

Intersección: t-normas
( A?B ) x = min[ A(x), B(x)]

Conceptos Básicos de Conjuntos Difusos
Un conjunto difuso es convexo si y sólo si su a-cut Aa es un conjunto convexo para algún a en el intervalo (0, 1]
Un conjunto A es convexo si para algún ? en [0, 1]:
µA(?x1 + (1 – ?)x2) = min(µA(x1), µA(x2))
Alternativamente, A es convexo si todos los a-cuts son convexos
(Gp:) 1
(Gp:) 0.8

Normas y Co-normas Triangulares
Establecen modelos genéricos para las operaciones de unión y intersección, las cuales deben cumplir ciertas propiedades básicas (conmutativa, asociativa, monotonicidad y condiciones frontera).

Definiciones:
Norma Triangular, t-norma:
Operación binaria t: [0,1]2 ? [0,1]

Conforma Triangular, t-conorma o s-norma:
Operación binaria s: [0,1]2 ? [0,1]

T-Norma
Simetría

Asociativa

Monotonicidad

Condición Frontera
n

S-Norma o T-Conorma
Simetría

Asociativa

Monotonicidad

Condición Frontera
U

Ejemplos de: T-Norma y S-Norma
Mínimo/Máximo:

Lukasiewicz:

Probabilística:

Características
Para cada t-norma existe una s-norma dual o conjugada (y viceversa) :

x S y = 1 – (1 – x) T (1 – y) (usamos la negación original)
x T y = 1 – (1 – x) S (1 – y)

Esas son las Leyes de De Morgan de la teoría de conjuntos difusos, que en conjuntos nítidos se aplican a la unión y a la intersección:

Enfoque Lingüístico Difuso yComputación con Palabras

COMPUTING WITH WORDS
Zadeh in

Computing with Words
Methodology for reasoning and decision-making with information described in natural language

Capability to converse, communicate, reason and make decisions in an environment of imprecision

Capability to perform physical and mental tasks without any measurement
J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

COMPUTING WITH WORDS
Fuzzy Linguistic Approach

The concept of Linguistic variable was widely described in: Lotfi A. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Part I: Inf. Sci. 8, 199-249, 1975; Part II: Inf. Sci. 8, 301-357, 1975; Part III: Inf. Sci. 9, 43-80, 1975.Linguistic variables differ from numerical variables in that their values are not numbers but are words or phrases in a natural or artificial language (Zadeh, 1975). A linguistic variable is a 5-tuple < L, T(L), U, S, M> in which L is the name of the variable, T(L) is a finite term set of labels or words, S is the syntactic rule which generates the terms in T(L), U is a universe of discourse, and M is a semantic rule which associates with each linguistic label X its meaning, where M(X) denotes a fuzzy subset of U.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

(Gp:) Variable
(Gp:) Linguistic variable

(Gp:) Fuzzy constraints

(Gp:) Very low
(Gp:) Low
(Gp:) Medium
(Gp:) Hight
(Gp:) Very hight
(Gp:) Linguistic terms

(Gp:) Semantic rule

The successful use of linguistic variables is highly dependent on the determination of a valid membership function.

This is crucial question that always appears in CW.
COMPUTING WITH WORDS
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

COMPUTING WITH WORDS
Computing with Words

Results quantifiable in natural language
Initial computing scheme with fuzzy linguistic terms in DM:

R.M. Tong and P.P. Bonissone. A linguistic approach to decision making with fuzzy sets. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, SMC-10(11):716–723, 1980

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

COMPUTING WITH WORDS
Computing with Words

Translation and Retranslation processes
Machine and Human beings Interpretability
Other computing schemes with fuzzy linguistic terms in DM:

K.S. Schmucker. Fuzzy Sets, Natural Language Computations, and Risk Analysis. Computer Science Press, Rockville, MD, 1984
R.R. Yager. Computing with words and information/intelligent systems 2:applications, chapter Approximate reasoning as a basis for computing with words, pages 50–77. Physica Verlag, 1999
R.R. Yager. On the retranslation process in Zadeh’s paradigm of computing with words. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part B: Cybernetics, 34:1184–1195, 2004.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

COMPUTING WITH WORDS
Mendel in

Implementation of previous formulation
(1) Establish a vocabulary of words that is application dependent
(2) Collect data from a group of subjects about all of the words in the vocabulary
(3) Map data into a fuzzy set model
(4) Establish the CW engine (aggregation, reasoning, etc.) will be used
(5) Implement the specific CW engine
(6) Map the fuzzy set output into a linguistic results (recommendations)
J.M. Mendel, L.A. Zadeh, E. Trillas, R.R. Yager, J. Lawry, H. Hagras, and S. Guadarrama. What computing with words means to me. IEEE Computational Intelligence Magazine, 5(1):20–26, 2010.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

COMPUTING WITH WORDS
Guidelines must be passed or else the work should not be called Computing with Words

G1: A word must lead to a membership function rather than a membership function leading to a word.

G2: Numbers alone may not activate the CW engine

G3: The output from a CW must be at least a word and not just a number
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models

Linguistic Computing Models
CLASSICAL COMPUTATIONAL MODELS
FOR LINGUISTIC AGGREGATION

Semantic model

It works on the fuzzy numbers associated to the semantics, and uses the extension principle for aggregation.

Symbolic model

It works on the indexes of the linguistic labels.
(Gp:) Very low
(Gp:) Low
(Gp:) Medium
(Gp:) High
(Gp:) Very high
(Gp:)
Order

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
SEMANTIC MODEL

Linguistic aggregation approach based on the Principle of Extension (fuzzy arithmetic):

The result is a fuzzy number that usually has not associated a linguistic label on the initial label set S.

We must use an approximation function app1(·) for associating a label set.

Another possibility is to use fuzzy ranking procedures for ordering the alternatives.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
The approximation process (label red to L or M) deals with a loss of information.
EXAMPLE: SEMANTIC MODEL
Degani, R., Bortolan, G.The problem of linguistic approximation in clinical decision making Int. J. Approx. Reas. 2 (1988) 143-162. 
(0.33,0.41,0.53)
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
SYMBOLIC MODEL

The symbolic aggregation computes on the label indexes

The result is a real value on the granularity interval (that usually is not an integer)

For assigning a label (an integer value) we also need an approximation process, app2(·)
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
SYMBOLIC MODEL
Linguistic symbolic computational model based on ordinal scales and max-min operators

Linguistic symbolic computational model based on convex combination
R.R. Yager. A new methodology for ordinal multiple aspect decisions based on fuzzy sets Decision Sciences 12 (1981) 589-600.
Delgado, M., Verdegay, J.L., Vila, M.A., On aggregation operations of linguistic labels International Journal of Intelligent Systems 8:3 (1993)  351-370. 
38
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
The approximation process (round(2.75) = 3) also leads us to a loss of information.
EXAMPLE: SYMBOLIC MODEL BASED ON CONVEX COMBINATIONS
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Symbolic Approach

Advantages
Easy computation
Results Interpretability

Drawback
Loss of information
Computing with Words
Lack of accuracy

Challenges
To improve accuracy
To increase Operational laws
Linguistic Computing Models
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

New Linguistic Symbolic Approaches

Linguistic 2-tuple Model [Herrera & Martínez 00]

Linguistic Computing Models
F. Herrera and L. Martínez. A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words. IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
SYMBOLIC MODEL
2-tuple fuzzy linguistic representation. A new symbolic approach
Why to propose it? There exist limitations in the loss of information caused by the need to express the results in the initial expression domain that is discrete via an approximate process.

This loss of information implies a lack of precision in the final results from the fusion of linguistic information.

We present tools for overcoming this limitation.

F. Herrera and L. Martínez.
A 2-tuple Fuzzy Linguistic Representation Model for Computing with Words.
IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8:6 (2000) 746-752.
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
2-tuple fuzzy linguistic representation.
It is a linguistic model based on a pair of information and uses indexes based aggregation operators

It is based on the concept of “symbolic translation”

Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
2-tuple fuzzy linguistic computational model.

From numerical value to 2-tuple

From 2-tuple to numerical value
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Linguistic Computing Models
2-tuple fuzzy linguistic computational model.

Negation Operator

Comparison
Let and be two 2-tuples

If k < l then is less than

If k = l then:
If then and are equal
If then is less than
If then is greater than
Aggregation operators
Enfoque Lingüístico Difuso y CWW

Computing with words

Increase the operational laws

Symbolic point of view

Increase the vocabulary to elicitate linguistic preferences

Not natural language processing

Joint CW with other methodologies for reasoning
Comentarios Finales