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La transformada Z




Enviado por Pablo Turmero



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    1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO.
    Una generalización de la Transformada de Fourier es la transformada Z.

    Ventajas de la Transformada Z
    La Transformada de Fourier no converge para todas las secuencias
    La transformada Z tiene la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente
    El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.
    El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

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    Transformada de Fourier
    La transformada de la misma secuencia tambien se define como
    Segun la variable compleja continua z
    La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como:
    La transformada de Fourier es simplemente con
    La transformada de Fourier es la transformada Z tomando

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    Si tomamos
    La transformada evaluada en los puntos de dicha circunferencia es la transformada de Fourier .

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    2 REGION DE CONVERGENCIA
    La convergencia de la transformada Z depende solamente de
    entonces:
    La región en donde se cumple la desigualdad es la región de convergencia.
    Los valores sobre la circunferencia definida como están dentro de la región de convergencia.
    La transformada Z es una función analítica en todos los puntos de la región de convergencia; de aquí que la transformada Z y todas sus derivadas con respecto a son funciones continuas en dicha región.

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    3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
    La transformada Z posee propiedades que facilitan la solución de ecuaciones en diferencias lineales usando simplemente manipulaciones algebraicas.
    SUPERPOSICIÓN
    Se compone de las características de:

    1)Homogeneidad:

    2)Aditividad:

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    si:
    la transformada Z es:
    b) CORRIMIENTO A LA DERECHA (RETRASO)
    La respuesta del sistema se define por:

    La transformada de la salida y(k) se define a su vez como:

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    Desarrollando:
    La representación en diagrama de bloques para la propiedad de corrimiento a la derecha se muestra abajo:

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    C) PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN
    Para el siguiente sistema:
    Su salida se define como una suma de convolución:
    Quedando:
    Factorizando:
    La transformada queda:

    Factorizando

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    D) PROPIEDAD DE “SUMACIÓN”

    Sean las secuencias
    y
    si entre ellas es posible establecer la relación:
    para
    queda
    con

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    E) PROPIEDAD DE MULTIPLICACIÓN POR
    Sean las secuencias
    y
    Si entre ellas se establece la siguiente relación:
    entonces la transformada se determina como sigue:
    para

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    F) PROPIEDAD DE DERIVACIÓN
    para
    Derivando
    Multiplicando por -z ,

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    G) TEOREMA DEL VALOR INICIAL
    Es posible determinar el término inicial, , de una secuencia , a partir de la transformada correspondiente.
    Si
    entonces
    H) TEOREMA DEL VALOR FINAL
    Para f(k) donde
    sea analítica para

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