La lógica difusa y la construcción de conocimiento transdisciplinario útil en las matemáticas (página 2)

Partes: 1, 2

Lógica Difusa
Negación del principio de no contradicción (facilita la matización del conocimiento)
Control automático, Inteligencia Artificial, Psicología, Ciencias Sociales, Biología, Medicina, Economía, Finanzas y Gestión Empresarial.
Inicio: 1962, hasta 1970: 69 artículos, hasta 1975: 600, hasta 1979: 1500
INSPEC: 15631 (81-96), Math Review: 5660 (81-92)
Tecnología
GIAL, SIGEF, Comunidad Abierta

Lógica
Lógica
Matemática
Lógica
Dialéctica
Unión de los caminos de la Lógica
Lógica
Difusa
Lógica

Esquema del Escenario Actual (en evolución)
Filosofía, Teoría del Conocimiento,
Lógica Dialéctica
Ciencias
Particulares

…
…
Matemática
Aplicada
Matemática
Lógica
Matemática
Ciencias Exactas y Naturales
Humanidades
Ciencias Técnicas

Esquema de un Escenario Posible, Propósito Deseable
Filosofía, Teoría del Conocimiento

Matemática
Ciencias
Particulares
Modelos matemáticos aplicados a las ciencias particulares

Matemática Aplicada
…
…

Nodos cognitivos esenciales

Lógicas Multivalentes
Relaciones Difusas
Principio de Extensión
Método Científico por Excelencia
Ingeniería del Conocimiento
(Ingeniero del Conocimiento vs. Experto)

Lógica Bivalente

Predicado: p: X?{0,1}
Ejemplo: x es amigo de y
X: Conjunto de pares de personas de un colectivo humano

Propiedades de la lógica bivalente:

1. p ? ? p = 0 No contradicción (? (p ? ? p) )
2. p ? ? p= 1 Tercero Excluido ( p ? ? p)
3. p ? q = q ? p Conmutatividad
p ? q = q ? p
4. p ? ( q ? r )= (p ? q ) ? r Asociatividad
p ? ( q ? r )= (p ? q ) ? r
6. p ? 0 = 0 , p ? 1= 1
7. ? (p ? q) = ? p ? ? q Leyes de De Morgan
? (p ? q) = ? p ? ? q

8. ? (? p )= p Involución
9. p ? ( q ? r ) = (p ? q )? ( p ? r ) Distributividad
p ? ( q ? r ) = (p ? q ) ? ( p ? r )
10. p ? p = p, p ? p = p Idempotencia

11. p ? ( p ? q ) = p Absorción
p ? ( p ? q ) = p

Propiedades de la lógica bivalente:

Lógica Fuzzy: Lógicas Multivalentes con valores en el intervalo [0,1]

Predicados de la Lógica Fuzzy:
p: X? [0,1]
Ejemplo:
P(x,y)= x es amigo de y

Valor de Verdad Categoría
0 falso
0,1 casi falso
0,2 bastante falso
0,3 algo falso
0,4 más falso que verdadero
0,5 tan verdadero como falso
0,6 más verdadero que falso
0,7 algo verdadero
0,8 bastante verdadero
0,9 casi verdadero
1 verdadero

v(p ? q )= min(v(p),v(q))
v(p ? q )= max(v(p,v(q))
v(? p )=1-v(p)

Satisface todas las propiedades excepto
las dos primeras.
Falta de sensibilidad ante los cambios de los valores de verdad de los predicados básicos
Lógica Fuzzy

Lógica probabilística

v(p ?q)=v(p).v(q)

v(p?q)=v(p)+v(q)?v(p).v(q)

v(?p)=1?v(p)

Cumple las propiedades 2-7.
No idempotente
Lógica probabilística
v(p ?q)=v(p).v(q)

v(p?q)=v(p)+v(q)?v(p).v(q)

v(?p)=1?v(p)

Modificadores

Transdisciplinariedad
Organización
Psicología
Economía
Clásica
Administración
Sociología
Política
Disciplinas
Funcionales
Disciplinas
Categoriales
Economía
Experimental

La Administración Lógica distingue dos tipos de categorías de la Administración: Objetos y Proposiciones. Los primeros son instancias físicas o virtuales como el entorno, las organizaciones, los procesos, las unidades de negocios, las funciones, etc. Las proposiciones son enunciados que atribuyen o niegan ciertas características a un objeto (Afirmaciones) o las establecen como propósitos de la organización (Objetivos), ellas atribuyen, niegan o se proponen características de diferentes tipos, y en función de ello son llamadas Competencias, Valores, Conocimientos, Peligros, Vulnerabilidades, Riesgos, Amenazas, Fortalezas, Debilidades, etc. También pueden ser proposiciones mixtas o compuestas; por ejemplo una Estrategia es una proposición condicional, que afirma como manera de cumplir un objetivo el cumplimiento de otro.
Transdisciplinariedad a través de la Administración Lógica

Modelos para la Administración Lógica
Modelos Cognitivos
Modelos
Estructurales
Modelos de Cálculo
con Incertidumbre
Modelos Mixtos
Herramienta Fundamental:
Lógicas Multivalentes y Modificadores
Traducir el conocimiento empresarial presente como experiencia sistematizada en la literatura y los expertos
Posicionamiento Competitivo
Good Deal Index
Partner Convenience
Index

Modelos para la Administración Lógica
Modelos Cognitivos
Modelos
Estructurales
Modelos de Cálculo
con Incertidumbre
Modelos Mixtos
Herramienta Fundamental:
Relación Difusa
Reflejar a través de modelos matriciales la complejidad estructural de los procesos empresariales.
Análisis de la prioridad estratégica de los objetivos
Selección de recursos humanos con enfoque de gestión de competencias
Evaluación del desempeño
Evaluación de puestos de trabajo
Selección de alternativas de formación y estimulación
Selección de suministradores de servicios y suministros

Modelos para la Administración Lógica
Modelos Cognitivos
Modelos
Estructurales
Modelos de Cálculo
con Incertidumbre
Modelos Mixtos
Herramienta Fundamental:
Aritmética Difusa
Expresar en el cálculo de magnitudes las variaciones asociadas a la información obtenida de los expertos

Sistema Excelin

Modelos para la Administración Lógica
Modelos Cognitivos
Modelos
Estructurales
Modelos de Cálculo
con Incertidumbre
Modelos Mixtos
Combinan las herramientas anteriores para expresar la complejidad de los problemas empresariales
Selección de proyectos en base a su VAN difuso, de acuerdo a las magnitudes seguridad y oportunidad y la actitud hacia el riesgo
Evaluación Integral de proyectos en base a la Eficiencia, Efectividad y Calidad.

Posicionamiento Competitivo

Una empresa es competitiva en una línea de productos en un mercado dado, si su economía es sólida, su posición tecnológica es de avanzada y es muy fuerte en esa línea de productos en el mercado en cuestión.

c(x): La empresa es competitiva.
s(x): La empresa x tiene una economía sólida.
T(x): La empresa x tiene una posición tecnológica de avanzada.
l(x): La empresa x es fuerte en la línea de productos.
c(x)= s(x)? T(x) ? l 2(x) .

C
?
S
T
l
2

Una empresa es económicamente sólida si tiene un buen estado financiero y buenas ventas; si el estado financiero fuera algo malo, debe ser compensado con muy buenas ventas.

s(x): La empresa x es económicamente sólida.
f(x): x tiene buen estado financiero.
V(x): x tiene buenas ventas.
s(x)=(f (x)? V(x)) ? ((¬f (x))0,5? V 2)

C
?
S
T
l
2
f
V
?
V
2
¬f
0.5

Una empresa tiene una posición tecnológica de avanzada si su tecnología actual es buena; y además es dueña de patentes , o tiene productos en investigación-desarrollo (ID) o dedica cantidades importantes de dinero a esta actividad . Si su tecnología es algo atrasada, entonces debe tener muchas patentes o muchos productos en ID o dedicar cantidades muy importantes de dinero a esta actividad.

T(x): x tiene una posición tecnológica de avanzada
t(x): La tecnología actual de x es buena
p(x): x es dueña de patentes
i(x): x posee productos en investigación desarrollo
d(x): x dedica cantidades importantes de dinero a la investigación desarrollo.
T(x)= t(x) ? ( p(x)? i(x) ? d(x) ) ?
? ( (¬t )0.5(x)? (p 2(x)? i 2(x) ? d 2 (x) )

C
?
S
T
l
2
f
V
?
V
2
¬f
0.5
t
?
?
p
i
d
?
p
i
d
0.5
2
2
2
¬t
¬t
0.5
¬t
0.5

Una empresa es fuerte en una línea de productos si tiene una posición fuerte en el mercado, la línea de productos es variada y tiene independencia del proveedor

l(x): x tiene fortaleza en la línea de productos especificada.
m(x): x tiene fortaleza en el mercado
vl(x): x tiene una línea variada de productos
ip(x): x es independiente del proveedor
l(x)= m(x) ? vl(x) ? ip(x)

C
?
S
T
l
2
f
V
?
V
2
¬f
0.5
t
?
?
p
i
d
?
p
i
d
0.5
2
2
2
¬t
¬t
0.5
¬t
0.5
?
m
vl
ip

Proposiciones que caracterizan el proceso de regateo
1. Un negociador tiene capacidad de regateo si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Tiene alternativas ventajosas y posibles si no se obtiene un acuerdo, o en su lugar el aporte de la institución que representa es muy importante.

El aporte de la institución que representa al negocio en discusión es importante.

2. Cualquier incremento en el aporte de una de las partes al negocio, o el acrecentamiento del beneficio que reportarían sus alternativas al mismo produce un incremento en su capacidad de regateo.
Proposiciones que caracterizan
el proceso de regateo (cont.)

4. Un acuerdo es posible si y solo si todas las partes son importantes para el negocio y el beneficio que cada cual recibe es también importante para él.

3. El beneficio que obtiene cada parte es igual a la cantidad que puede obtener sin la cooperación de las partes restantes más otra aproximadamente proporcional a su capacidad de regateo.
Proposiciones que caracterizan
el proceso de regateo (cont.)

Consulta a expertos

12 expertos de un total inicial de 17
Encuesta sobre el valor de verdad de cada uno de los cuatro presupuestos obtenidos utilizando una escala de categorías.

Definición e interpretación de un juego n-personal
v: P(N) R
N: conjunto de jugadores (negociadores o partes de la negociación)
P(N): Conjunto de todos los subconjuntos de jugadores (marcos de negociación)
v: función superaditiva ( Sus imágenes son los beneficios colectivos en cada marco negociador)

La solución de un juego v es la matriz
de elementos X ( i,C) que satisfacen la siguiente ecuación:

donde
X (i,C) es el beneficio correspondiente al jugador i en el conjunto C (proposición 3)
r (i,C) es el valor de verdad de que el jugador i tiene capacidad de regateo en el conjunto C (proposiciones 1,2,4)

Capacidad de Regateo

p(i,C): i es importante para el negocio en el marco C
p(i,C)=o(v(C),v(C-{i})
a(i,C): i tiene alternativas ventajosas y posibles si no se obtiene un acuerdo en C

Posibilidad de acuerdo
S(i,B,C): La alternativa B aventaja a la alternativa C
f(B): Es posible un acuerdo en B

Forma de la ecuación que define el concepto difuso de solución
donde:
X: Matriz de los beneficios de cada jugador en cada marco
? : parámetro con valores positivos
Método iterativo de solución de la ecuación

Resultado de las corridas experimentales

Experimento de validación del modelo
Situaciones de regateo sobre la base de tres ejemplos clásicos de la literatura.
14 equipos.
Se seleccionó el valor del parámetro que más se ajustara a los resultados experimentales.
Prueba de rango con signo de Wilcoxon a las listas de resultados del modelo para el parámetro seleccionado y de los resultados experimentales.

Aplicación
Evaluación de un acuerdo de negociación de una empresa cubana de servicios portuarios con varias empresas de un país del primer mundo.
Análisis de la negociación de una empresa farmacéutica cubana con varias empresas extranjeras para la introducción de un producto en un importante mercado latinoamericano.

Empresa cubana de
servicios portuarios
( A )
Empresas extranjeras
de un país
del primer mundo
(B, C, D)

Flujo AB 15306 19132 23916 29895 37368
Flujo AC 15306 18367 22041 26449 31739
Flujo AD 15306 17602 20242 23279 26770

VAN AB 100450
VAN AC 91769
VAN AD 83811
v({A}) = v({B}) = v({C }) = v({D}) = 0 ,
v({A;C})=91769 v({A;B}) = 100450 v({A;D})=83811
v({B;C}) = v({B;D}) = v({C;D}) = v({B;C;D}) = 0,
v({A;B;C}) = v({A;B} = 100450,
v({A;B;D}) = v({A;B} ) = 100450
v({A;C;D}) = v({A;C)} = 91769,
v({A;B;C;D}) = v({A;B}) = 100450.

IBA de cada empresa en cada marco
(en fracción del total)

AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABC D
A 0,502 0,506 0,509 0 0 0 0,677 0,656 0,661 0 0,66
B 0,497 0 0 0 0 0 0,173 0,196 0 0 0,129
C 0 0,493 0 0 0 0 0,149 0 0,181 0 0,105
D 0 0 0,490 0 0 0 0 0,147 0,157 0 0,105

Posibilidades de acuerdo en cada marco

AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABC D
0,519 0,450 0,393 0,062 0,062 0,062 0,072 0,077 0,065 0,015 0,018

Conveniencia de cada marco negociador
para cada empresa

AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD
A 0,384 0,324 0,276 0 0 0 0,059 0,063 0,051 0 0,014
B 0,383 0 0 0,031 0,031 0 0,042 0,046 0 0,007 0,010
C 0 0,322 0 0,031 0 0,031 0,041 0 0,037 0,007 0,010
D 0 0 0,273 0 0,031 0,031 0 0,044 0,037 0,007 0,010

Conclusiones sobre la cuenta de participación:

Se realizó la negociación para el establecimiento de la cuenta de participación en el marco más apropiado (A-B)
El acuerdo alcanzado de repartir las ganancias a partes iguales se corresponde con la situación objetiva prevaleciente en el negocio.

Empresa Farmacéutica cubana (1)
Grupo inversionista
latinoamericano (2)
Compañías
farmacéuticas de
países
desarrollados
(3 y 4)

v({1})=49 097, v({2})=v({3})=v({4})=0,
v({1;2})=4 165 400, v({1;3})=49 097,
v({1;4})=49097, v({2;3})=9535400,v({2;4})=9535400,
v({3;4})=0, v({1;2;3})=10066000,v({1;2;4})=10066000, v({1;3;4})=49097, v({2;3;4})=9535400,
v({1;2;3;4})=10066000

La función v de beneficios conjuntos en cada marco fue obtenida de manera análoga al caso anterior a través de los valores actuales netos de los flujos estimados; es la siguiente:

IBA de cada empresa en cada uno de los marcos negociadores (en fracción del total)

{1;2} {1;3}{1;4} {2;3} {2;4}{3;4} {1;2;3} {1;2;4}{1;3;4}{2;3;4}{1;2;3;4}
1 0,484 1 1 0 0 0 0,153 0,153 1 0 0,124
2 0,515 0 0 0,503 0,503 0 0,531 0,531 0 0,687 0,663
3 0 0 0 0,496 0 0 0,315 0 0 0,156 0,106
4 0 0 0 0 0,496 0 0 0,315 0 0,156 0,106

Posibilidades de acuerdo en cada marco

{1;2} {1;3} {1;4} {2;3} {2;4} {3;4} {1;2;3 }{1;2;4} {1;3;4}{2;3;4}{1;2;3;4}
0,172 0,062 0,062 0,476 0,476 0,062 0,111 0,111 0,015 0,062 0,017

Conveniencia de cada marco negociador
para cada empresa

{1;2} {1;3} {1;4} {2;3} {2;4} {3;4} {1;2;3 } {1;2;4}{1;3;4}{2;3;4}{1;2;3;4}
1 0,102 0,031 0,031 0 0 0 0,063 0,063 0,007 0 0,009
2 0,104 0 0 0,346 0,346 0 0,083 0,083 0 0,050 0,014
3 0 0,031 0 0,345 0 0,031 0,072 0 0,007 0,035 0,009
4 0 0 0,031 0 0,345 0,031 0 0,072 0,007 0,035 0,009

{1,2}: marco negociador más conveniente para 1

v({{1;2}})= 4 165 400, v({{3}})=v({{4}})=0, v({{1;2};{3}}=10 066 000,
v({{1;2};{4}})=10 066 000,
v({1;2};{3};{4}})=10 066 000

Coalición formada por la empresa
cubana y la brasileña ({1,2})
Empresa 3 ({3})
Empresa 4 ({4})

IBA de cada coalición en cada marco (en fracción del total)

{{1;2};{3}} {{1;2};{4}} {{3};{4}} {{1;2};{3};{4}}
{1,2} 0,7756 0,7756 0 0,8545
{3} 0,2244 0 0 0,0728
{4} 0 0,2244 0 0,0728

Posibilidades de obtención de un acuerdo en cada marco

{{1;2};{3}} {{1;2};{4}} {{3};{4}} {{1;2};{3};{4}}
0,31274 0,31274 0,0625 0,049724

Conveniencia de cada marco negociador para cada coalición

{{1;2};{3}} {{1;2};{4}} {{3};{4}} {{1;2};{3};{4}}
{1;2} 0,21108 0,21108 0 0,035429
{3} 0,18981 0 0,03125 0,026586
{4} 0 0,18981 0,03125 0,026586

Conclusiones sobre la negociación
La empresa cubana debe tratar de negociar primero con la empresa latinoamericana; cualquier acuerdo con una participación cercana al 49% o superior es bueno desde el punto de vista de sus intereses.

Posteriormente es conveniente negociar formando una coalición con la empresa latinoamericana, un acuerdo con una de las empresas del primer mundo; cualquier acuerdo obtenido en ese marco donde la coalición obtenga cerca del 75% de participación o más, es favorable para ella.

Lógicas
Multivalentes
Lógicas
Sensibles
Lógicas
Idempotentes
Operadores
Conjuntivos
Interactivos
Disyuntivos
Pensamiento Deductivo
Toma de Decisiones
Lógica Difusa
Relaciones
Reglas, Operadores
Control Automático

Lógica Difusa Compensatoria
Lógica Multivalente Sensible e Idempotente, que usa operadores interactivos como conectivas e incluye el enfoque relacional en su desarrollo axiomático.
Mejora el comportamiento axiomático desde el punto de vista deductivo y satisface axiomas similares a la normativa de la Toma de Decisiones, permitiendo la compensación y el uso de umbrales y vetos
Generaliza de una manera peculiar y completa la Lógica Bivalente y ha sido utilizada para la solución coherente de muchos problemas de decisión en el seno de la llamada Administración Lógica

Las Conectivas de las Lógicas Multivalentes han cumplido hasta ahora:
En la Lógica Compensatoria:

Conjuncion de la
Logica Compensatoria

Media Geométrica

Compensatory Conjunction

Negación

Disyunción de la
Lógica Compensatoria

Dual de la media geométrica

Compensatory Disjunction

Negación de la Asociatividad
Propiedades de nivel

Implicaciones

Implicación Natural

i(x,y)=d(n(x),y)

Implicaciones

Generalizada de Zadeh

i(x,y)=d(n(x),c(x,y))

Cuantificador Universal

Natural Zadeh
Ax 1 0.5859 0.5685
Ax 2 0.5122 0.5073
Ax 3 0.5556 0.5669
Ax 4 0.5859 0.5661
Ax 5 0.8533 0.5859
Ax 6 0.5026 0.5038
Ax 7 0.5315 0.5137
Ax 8 0.5981 0.5981
Compatibilidad con el
Calculo Proposicional Bivalente

Inferencia
Inferencia
Lógica
Inferencia
Estadística
Inferencia
Compuesta
Inferencia Compuesta: Permite hacer hipótesis partiendo del ‘Background Knowledge del problema, estimar su veracidad a partir de una muestra y moverse en el espacio de los parámetros del modelo para incrementar la veracidad

Hipótesis

1. Si el tiempo t transcurrido a partir de un momento t0 dado, es breve, el PIB en t0 es alto, la paridad peso dólar en t0 es buena, y la inflación también, entonces la inflación en el momento t0 +t será buena. (Condición suficiente para la bondad de la inflación futura)

2. Si el tiempo t transcurrido a partir de un momento t0 dado, es breve, el PIB en t0 es alto, la paridad peso dólar en t0 es buena, y la inflación también, entonces la paridad peso dólar en el momento t0 +t será buena. (Condición suficiente para bondad de la paridad peso-dolar).

3. Si el tiempo t transcurrido a partir de un momento t0 dado, es breve, el PIB en t0 es alto, la paridad peso dólar en t0 es buena, y la inflación también, entonces el PIB en el momento t0 +t será alto. (Condición suficiente para la bondad de la inflación futura)

Sea c una variable que se obtiene operando a y b, c=a*b
uc(z): Z? [0,1] se define como
uc(z)= v(“De los pares de valores (x,y) que cumplen que z=x*y algunos cumplen que x e y son respectivamente los valores de las variables a y b´´)

Principio de Extensión

Lógica
Lógica
Matemática
Lógica
Dialéctica
Unión de los caminos de la Lógica
Lógica
Difusa
Lógica

Esquema de un Escenario Posible, Propósito Deseable
Filosofía, Teoría del Conocimiento

Matemática
Ciencias
Particulares
Modelos matemáticos aplicados a las ciencias particulares

Matemática Aplicada
…
…