Respuestas de circuitos a señales forzantes sinusoidales
Sea un circuito como el siguiente:
Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal
(Gp:) Vf
(Gp:) L
(Gp:) R
Se desea determinar sólo la respuesta forzada
o de estado estable (obtenida a largo plazo).
i
Magnitud
Fase
La ecuación que caracteriza al circuito es:
Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal
Se sabe que la solución particular o forzada tendrá la forma:
Resolviendo para el sistema, se tiene finalmente:
Por lo tanto:
Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal
En consecuencia:
En general, la corriente tendrá magnitud y fase distinta de la fuente de voltaje original
En un circuito de CA, una corriente o un voltaje sinusoidal, a una frecuencia ? dada, se caracterizan por su amplitud y ángulo de fase. Por lo tanto, una corriente dada por:
El concepto de fasor
podría también ser representada en la forma:
Esta forma de escribir la corriente se conoce como representación fasorial.
(Gp:) : fasor
La representación permite convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Resistor
En una rama resistiva como la de la figura:
(Gp:) R
(Gp:) +
(Gp:) –
(Gp:) v
(Gp:) i
(Gp:) R
(Gp:) +
(Gp:) –
Ahora se verá cómo están relacionadas fasorialmente la corriente y la tensión en circuitos con componentes R-L-C.
Se comprueba que:
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Resistor (cont.)
Por lo tanto, la corriente y la tensión están en fase en una resistencia.
Ejemplo:
Así:
(Gp:) V
(Gp:) I
Gráficamente:
Considerando el inductor de la siguiente figura:
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Inductancia
(Gp:) L
(Gp:) +
(Gp:) –
(Gp:) i
Para
, se verifica:
Teniendo en cuenta que j=e j90º, “en un inductor, el voltaje adelanta a la corriente en exactamente 90º ”.
(Gp:) V
(Gp:) I
(Gp:) Gráfica
fasorial
Considerando el condensador de la siguiente figura:
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Capacitancia
En este caso se tendrá:
(Gp:) C
(Gp:) +
(Gp:) –
(Gp:) v
“En un condensador, la corriente adelanta al voltaje en exactamente 90º ”.
(Gp:) V
(Gp:) I
(Gp:) Gráfica
fasorial
Elemento Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Resumen
Resistor
Inductor
Condensador
Uso de la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos.
Motivación para usar la Transf. de Laplace (TL)
La solución de la ecuación homogenea y particular se obtiene en una sola operación.
La Transformada de Laplace (TL) convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en “s”, la que se puede resolver mediante reglas algebraicas simples basadas en raíces de polinomios. La solución se obtiene mediante la Transformada Inversa de Laplace (TIL).
Definición
Dada una función real f(t) que satisface la condición:
para un valor real finito de ?, la TL de f(t) se define como:
(Gp:) y se escribe como: F(s) = TL de f(t) = L[f(t)]
con s = ? + j? .
(Gp:) LA TL ES UNAOPERACIÓNLINEAL
Teoremas importantes
Sea k una constante y F(s) la TL de f (t), entonces:
L [ k f (t) ] = k F (s)
1) Multiplicación por una constante
2) Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente,entonces:
L [ f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)
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