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Series de Fourier. Sensibilización (página 2)




Enviado por Pablo Turmero



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Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Para entender las causas que originan esta distorsión es necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal.

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Las vibraciones en una membrana o un tambor o las oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda .

Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier.
Imágenes en 3D de un glóbulo rojo invadido por el parásito de la malaria. (Foto: YongKeun Park, Michael Feld y Subra Suresh)
Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno
http://www.falstad.com/membrane/
Sensibilización:
Otra razón para estudiar a Fourier

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Hacia las Series de Fourier ( justifications matemáticas)
Continua por partes
La teoría de Series de Fourier trabaja con desarrollos en series trigonométricas.
Primero revisaremos algunas propiedades de las funciones, particularmente importantes para este estudio: la continuidad por partes, la periodicidad y la simetría par e impar.
Un función es continua por partes en [a, b] si f es continua en cada punto [a, b], excepto posiblemente para un número finito de puntos donde f tiene una discontinuidad de salto . Tales funciones son integrables en cualquier intervalo finito donde sean continuas por partes.
Periodicidad
Una función es periódica con periodo T si para toda x en el dominio de f . Si se cumple lo anterior, tambien se cumple f(t)=f(t+2*T)=f(t+3T) etc. El menor valor positivo se llama el período fundamental.
Las funciones trigonométricas sen x y cos x son ejemplos de funciónes periódicas, con período fundamental 2p y tan x es períodica con período fundamental p.

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Función Par
Una función par es aquella que satisface para toda x en el dominio de f . Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al eje y.
Una función impar es aquélla que satisface para toda x en el dominio de f . Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al origen.
Función Impar
Ejemplos
Ejemplos

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El producto de dos funciones pares es una función par.
El producto de dos funciones impares es una función par.
El producto de una función par y una impar es impar
La suma ( resta ) de dos funciones pares es una función par.
La suma ( resta ) de dos funciones impares es una función impar.
Si f es una función par, entonces
Si f es una función impar entonces
Propiedades

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Determina si la funciones siguientes son de la forma par o impar, o ninguna de ellas.
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Producto interno de Funciones
Funciones ortogonales
El producto interno de dos funciones en un intervalo [a,b]
es el numero obtenido al evaluar la integral
Se dice que dos funciones son ortogonales en un intervalo [a,b] si el producto interno entre ellas es cero, es decir si:
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Determina si las funciones dadas son ortogonales en el intervalo indicado.
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EN GENERAL, EL CONJUNTO
FORMA UN CONJUNTO ORTOGONAL, ES DECIR…
LOS PRODUCTOS INTERNOS ENTRE ELLOS SON SIEMPRE
CERO EN EL INTERVALO [-P,P]
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A continuación algunos lineamientos:

Norma cuadrada
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Dos funciones complejas son ortogonales en el intervalo [t1, t2] si
Dos funciones complejas son mutuamente ortogonales en el intervalo [t1, t2] si
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Se dice que el conjunto de funciones está normalizado si
Si el conjunto de funciones es ortogonal y esta normalizado se llama conjunto ortonormal
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Una función arbitraria se puede representar en una serie de funciones ortogonales como
en donde los coeficientes pueden determinarse como

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en donde los coeficientes pueden determinarse como sigue: Sea:
Por tanto:

O bien:

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Cálculo del error que se tiene al aproximar con una sumatoria de N términos en lugar de una serie infinita
De donde el error cuadrático :

O bien:

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desarrollando se llega a
De donde el error cuadrático para un conjunto ortogonal completo :

Es la representación en una serie generalizada de Series de Fourier

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Cierta función rectangular esta definida
Se desea aproximar esta función de energía finita empleando un conjunto de funciones definidas por
Solución: El conjunto es un conjunto ortonormal en

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Por lo tanto
En donde

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Por lo tanto
En donde el error cuadrático integral puede calcularse a partir de

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Por lo tanto
Alrededor del 95% de la energía esta contenida en los primeros cuatro términos

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SERIE DE FOURIER ( Equivalencia en la representación en serie trigonométrica de f(t) )
Definición 1. Sea f una función continua por partes en el intervalo [-T,T].
La serie de Fourier de f es la serie trigonométrica
Donde y están dadas por las fórmulas:
Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente

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EJEMPLO 1
Calcular la serie de Fourier de
Solución
En este caso, T=p. Obtenemos los coeficientes con las fórmulas anteriores.

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EJEMPLO 1 (continuación)
Solución
Por lo tanto,

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EJEMPLO 2
Calcular la serie de Fourier de
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Solución: Usted podrá llegar a esta representación, puede utilizar el tutorial, si lo hace en la calculadora, puede acceder al proceso de solución en la pagina del curso.

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EJEMPLO 3
Calcular la serie de Fourier de
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EJEMPLO 4
Calcular la serie de Fourier de
Solución
De nuevo, T=p. Observe que f es una función impar. Como el producto de una función impar y una función par es impar, f(x) cos nx también es una función impar. Así,
Además, f(x) sen nx es el producto de dos funciones impar y por tanto es una función par, de modo que
Así

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EJEMPLO 5
Calcular la serie de Fourier de
Solución
En este caso T=1. Como f es una función par, f(x)sen npx es una función impar.
Por consiguiente,
Como f(x) cos npx es una par, tenemos
Por lo tanto

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RECORDEMOS LAS PROPIEDADES DE FUNCIONES PARES E IMPARES
SUPONGAMOS QUE f (x) espar
ENTONCES
Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente
YA QUE EL PRODUCTO DE PARES ES PAR
YA QUE EL PRODUCTO
DE PAR POR IMPAR ES IMPAR

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SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER
Definición 2. Sea f(x) continua por partes en el intervalo [0,T]. La serie de cosenos de Fourier de f(x) en [0,T] es
Donde
La serie de Fourier de senos de Fourier de f(x) en [0,T] es
Donde

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EJEMPLO 1
Calcular la serie de Fourier de
Solución
Usamos las fórmulas anteriores con T=p, para obtener

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EJEMPLO 1 (continuación)
Solución
Así que al hacer n=2k+1, tenemos que la serie de senos de Fourier para f(x) es
La función f(x) es continua y f ´(x) es continua por partes en (0,p), de modo que el teorema de la convergencia puntual de las series de Fourier implica que
Para toda x en [0,p]

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SERIE DE FOURIER COMPLEJA
Sea f una función de variable real, periódica con periodo fundamental p. Supongamos que f es integrable en [-p/2,p/2]. La serie de Fourier en este intervalo es
Con . Se reescriben las ecuaciones como
En la serie sea y para cada entero positivo

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Entonces la serie llega a ser
SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación)
Ahora consideramos los coeficientes. Primero,
Y, para n=1,2,…
Y, para n=1,2,…

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SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación 2)
Ponemos estos resultados en la serie para obtener
Hemos encontrado esta expresión rearreglando los términos en la serie de Fourier de una función periódica f .

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(Gp:) TEOREMA
(Gp:) Sea f periódica con un periodo fundamental p. Sea f suave a pedazos en [-p/2, p/2].
Entonces, en cada x la serie de Fourier converge a

El espectro de amplitud de la serie de Fourier compleja de una función periódica es la gráfica de los puntos , en donde es la magnitud del complejo .

Algunas veces este espectro de amplitud es llamado también espectro de frecuencia.

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EJEMPLO
Sea para para todo x. Entonces f es periódica con periodo fundamental 8.
Aquí p=8 y . Recordemos que en las fórmulas para los coeficientes se puede realizar la integración sobre cualquier intervalo de longitud 8. Aquí es conveniente usar [0,8] en lugar de [-4,4] debido a como está definida f(x). Entonces.
Si usamos el intervalo [-4,4], entonces podríamos calcular
Ahora,
La serie de Fourier compleja es
Esta serie converge a f(x) para 0< x < 8, 8< x < 16, 16 < x < 24…. .8< x < 0, -16 < x < -8
Para trazar el espectro de amplitud, calculamos . Como el espectro de amplitud es un trazo de los puntos

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