Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos y discretos
Este tipo de sistemas son conocidos como SLIT o LTI(ingles).
Muchos fenómenos físicos pueden modelarse mediante estos sistemas.
El análisis matemático del comportamiento de estos sistemas puede desarrollarse a través de procedimientos directos.
x[n] puede escribirse como una suma de impulsos desplazados
Dada una señal discreta x[n]
SLIT discretos.
Las señales discretas pueden representarse por medio de una secuencia de impulsos, aplicando la propiedad:
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos
El sistema además de ser lineal también es invariante en el tiempo entonces:
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo discretos
Este resultado se conoce como la suma de convolución suma de superposición
También representada como:
Un sistema SLIT discreto puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso unitario.
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos
De una manera parecida al caso discreto, se puede encontrar una caracterización para los SLIT en término de su respuesta al impulso unitario.
La salida y(t) puede verse como una combinación lineal de respuestas a las señales impulso
Y como mi sistema es invariante en el tiempo se tiene que:
Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo continuos
Este resultado se conoce como la integral de convolución
También representada como:
Un sistema SLIT continuo puede caracterizarse totalmente con la respuesta al impulso.
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad distributiva
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad asociativa
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedad conmutativa
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
SLIT con y sin memoria.
Sistema SIN memoria: Es aquel cuya salida para cada valor de la variable independiente en un tiempo dado depende solamente de la entrada en ese mismo momento.
En el caso discreto esto se cumple si:
Por lo que la suma de convolución se reduce a:
Donde K= h[0]
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Causalidad para los SLIT
Si su salida en cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la entrada en el momento presente y en el pasado. (No-anticipativo).
La respuesta impulso de un SLIT causal discreto, basándose en la definición debe ser de la forma:
para n < 0 que a su vez implica:
Invertibilidad de los SLIT
Si el sistema es invertible, posee un sistema inverso, de tal forma que si el sistema es un SLIT se cumple que:
Figura 38. SLIT invertible y su sistema inverso
Es decir, para el caso continuo:
De forma análoga se puede concluir una expresión para el caso discreto.
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Propiedades de los Sistemas Lineales e invariantes en el tiempo
Estabilidad para los SLIT
Aquel que a entrada limitadas en amplitud produce salidas limitadas en amplitud
Puede encontrarse ver Oppenheim pag 113 que el sistema es estable si la respuesta al impulso unitario es absolutamente sumable
Referencias
Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 2
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 1
Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ
Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ
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