Contenido
Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia
Estabilidad interna de los sistemas lineales
Lyapunov y la estabilidad de sistemas lineales
Estabilidad externa de los sistemas lineales
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Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia
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La matriz de transicion
Por definicion la matriz de transicion es
Entonces, utiliza la matriz
Por lo tanto, cada elemento de la matriz de transicion contendra el polinomio caracteristico en el denominador
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Ejemplo
Considere la matriz A del sistema masa-resorte -amortiguador:
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Entonces,
polinomio caracteristico de A
La matriz de transicion
Volviendo con la matriz de transicion, se tiene entonces,
En donde cada elemento de la matriz Adj{sI – A} es de orden menor o igual a n-1 y el escalar det{sI – A} es de orden n.
Por lo tanto, cada elemento de esta matriz puede escribirse,
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Expansion en fracciones parciales
Elementos de la matriz de transicion
Al obtener el laplace inverso los elementos de la matriz de transicion toman la forma
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Los valores s1, s2, …, son también por definición los valores propios ?i de A. Se puede concluir que:
Los valores propios son también conocidos como los modos caracteristicos del sistema
La matriz de transición de A tiene exponenciales cuyos exponentes están formados por los valores
propios de A
Descomposicion en los componentes modales
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Ejemplo: Respuesta impulsiva de un sistema LTI,
La señal de salida es muy complicada
La solucion se puede descomponer en sus componentes modales
con ?’s distintos
Valores propios de la matriz de transicion
Sea ?i un valor propio de A y vi su respectivo vector propio. Entonces,
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(Gp:) Es decir, la matriz de transición tiene por vectores propios a vi y por valores propios
Demostrar!
Una trayectoria particular
Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a
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Es decir, sólo el modo ?i es excitado y la respuesta tiene la dirección de vi y con una magnitud dada por e?it
Una trayectoria particular
Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a
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Si los valores propios son complejos y conjugados, éstos tendrán asociados vectores propios complejos y conjugados. En este caso, la condición inicial deberá tomarse como:
Comportamiento de los modos
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(Gp:) Parte real
negativa
(Gp:) Parte real cero
Simples o repetidos
con ma = mg
(Gp:) Parte real
positiva
(Gp:) Re(l)
(Gp:) Im(l )
Valor propio correspondiente
Los modos en el plano complejo
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(Gp:) Estable
(Gp:) Inestable
(Gp:) Im{l}
(Gp:) Re{l}
(Gp:) Marginalmenteestable
(Gp:) Semi-plano izquierdo (LHP)
(Gp:) Semi-plano derecho (RHP)
Valores propios distintos
Valores propios repetidos
Para r raices repetidas del valor de l, k = 0,…, r –1
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