Teoria del algebra

Encontrando fórmulas

A Continuación debes encontrar una fórmula que represente a todos los términos de la sucesión de números, esta fórmula debe ser válida para valores naturales, es decir si le damos valores a la fórmula, debe irnos entregando los términos de la sucesión. Ejemplo: la sucesión 2, 4, 6, 8, ….. tiene una fórmula que genera estos números, una manera de encontrarla es descomponer sus términos:

2 = 2 · 1 4 = 2 · 2 6 = 2 · 3 ……..

2 · n, donde n N. Esta es la fórmula que genera a esta sucesión. ¡Prueba dándole valores a "n" !

Ejercicio 1: Encuentra la fórmula para las siguientes sucesiones:

1) 22, 42, 62, 82, 102, ….. 2) 73, 93, 113, 133, ….. 3) -1, 1 , -1 , 1 , -1 , …… 4) 4, 10, 18, 28, …… 5) 0, 2, 5 ,9, ….. 6) 2, 4, 8, 16, 32 ,……..

Algebra y geometría: cálculo de perímetros

Recordemos el concepto de PERÍMETRO

Ejercicio 2: Calcula el perímetro de cada rectángulo encontrando su expresión algebraica.

Ejercicio 3: Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura:

Ejercicio 4: Encuentra la expresión algebraica que representa el perímetro de cada figura (todos sus ángulos son rectos):

Calcula el área de las figuras anteriores. (PISTA :Recuerda cómo se calculaba el área de un rectángulo. Descompone las figuras en rectángulos)

Ejercicio 5: Si la arista de un cubo mide 6a cm. Calcula:

a) La superficie del cubo b) El volumen del cubo

Valoración de expresiones algebraicas

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.

Veamos un ejemplo:

Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1

No olvidar:

Ejercicio6 : Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

Ejercicio 7: Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.Considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0 a) 5a2 – 2bc – 3d b) 7a2c – 8d3 c) 2a2 – b3 – c3 – d5 d) d4 – d3 – d2 + d – 1 e) 3(a – b) + 2(c – d) f) g) h) i)

Ejercicio 8: Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las variables respectivas.

a) ; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2 (d : distancia que recorre un móvil)

b) Ep = m·g·h ; si m = 0,8 hg , h = 15 m , g = 9,8 m/seg2 (Ep: energía potencial)

c) ; si a = 3,2 m (A : área de triángulo equilátero)

d) ; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R : resistencia eléctrica total en paralelo)

e) ; si k = 9·109 ; q1 = q2 = 4c y r = 10 m (F : fuerza atracción entre dos cargas)

Ejercicio 9:Evalúa la expresión x2 + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4, …, 40. ¿Qué característica tienen los números que resultan?

Ejercicio 10: En una caja negra hay "b" bolitas blancas y "a" bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios:

1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas

2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas

3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.

A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final.

Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a, respectivamente.

Ejercicio 11:Marca la alternativa correcta de cada pregunta. Escribe también el desarrollo.

1. ) ¿Cuál es la expresión que corresponde a: "los cuadrados de dos números enteros consecutivos"?

a)  b) c)

d) e)

2. ) Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x, será:

a)  b) c) d) e)

3. ) EL Club de fútbol local convierte m goles en su primer partido, m-5 en el segundo y m+10 en el tercero. ¿Cuántos goles convierte en el cuarto partido si en total hizo 4m goles?

a)  b) c) d) e)

4. ) En un gallinero hay P pollos. Se enfermó la mitad y luego la mitad del resto. Los pollos sanos son:

a)  b) c) d) e)0

5. ) Un alumno debe resolver ejercicios de algebra. De estos resultan correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo?

a)  b) c) d) e)

6. ) El " triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b" en lenguaje algebraico es:

a)  b) c) d) e)

7. ) Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es:

a) 12 b)14 c)16 d)18 e)20

8. ) ¿Por cuánto se debe multiplicar a para obtener b?

a)  b) c) d) e)

9. ) Después de subir x kilogramos, Lorena pesó 50 kilogramos. ¿Cuál era su peso anterior?

a) x kg. b)50 kg c) d) e)

10. ) Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica tenía 10 años?

a) x años b)10 años c) d)e)

Término algebraico

Te has confundido al tratar de distinguir cuántos términos tiene una expresión algebraica, no te preocupes trataremos de facilitarte este proceso, que es fundamental dominar, para que posteriormente puedas realizar las operaciones algebraicas, siguiendo sus reglas. Recuerda que un término algebraico es cada uno de los monomios de un polinomio, ecuación o expresión algebraica. 5m3, xy, ¾, c monomio (un sólo término) -3a2 + 5b – 1/2ab + 2.1a polinomio (dos o más monomios o términos) 2a + b = 40 ecuación Observa que todo término está formado por tres elementos que son:

• un signo, que puede ser positivo o negativo

• un coeficiente, es el número que está inmediato al signo, puede ser natural, decimal o fraccionario (cuando no esta escrito es 1)

• una parte literal, que pueden ser una o más letras, con o sin exponente (cuando no está escrito el exponente es 1).

Espero que ahora ya puedas identificar en una expresión algebraica cuantos términos la conforman, si es así, estás listo para el siguiente paso que son las operaciones algebraicas, en las que te ayudaremos a resolverlas en otra ficha. Practica con algunos ejercicios y también te invito ampliar el tema en:

• Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004

• Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez, Oscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo."Matemáticas 2". Editorial Santillana. México. 2008. pp.48-63

• Guillermina Waldegg, Roberto Villaseñor, Víctor García, Delia Montes. "Matemáticas en Contexto 2". Grupo Editorial Esfinge. México. 2007. pp.20-25

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Conceptos básicos que debes saber   Sellama: 

Término.Un Término separamos de otro, con los signos más o menos:

Un Término consta de dos partes: coeficiente y factor literal.

Coeficiente: Es el número que va delante de las letras (si no lleva ninguna cifra,  recuerda que lleva el 1).

Factor Literal: Es la compuesta por letras con sus exponentes, si los tienen.

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman.

Polinomios.

 Operaciones con monomios

1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn= (a + b)x n Ejemplo:  2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:  2x2y3+ 3x2y3z Ejemplo:  2x2y3+ 3x2y3z

2. Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:  5 · (2x2y3z) = 10x2y3 z

3. Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base.

axn· bxm= (a · b)xn + m Ejemplo:  (5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

1. Tienen la misma parte literal

2. El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.

axn: bxm= (a : b)xn – m Ejemplo: 

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo: 

5. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

(axn)m = am· xn · m Ejemplos:  (2×3)3 = 23 · (x3)3= 8×9 (-3×2)3 = (-3)3 · (x2)3= -27×6  

Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2+ .. + a1 1 + a0 Siendo:

an, an-1 … a1, aonúmeros, llamados coeficientes n un número natural x la variable o indeterminada anes el coeficiente principal aoes el término independiente.

Grado de un Polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

Tipos de polinomios

1. Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2 + 0x + 0

2. Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2×2 + 3xy

3. Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2×3 + 3×2 - 3

4. Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2×3 + 3×2 + 5x – 3  

5. Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2×3 + 5x – 3

6. Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado o inversamente.

P(x) = 2×3 + 5x – 3

• 7. Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

P(x) = 2×3 + 5x – 3 Q(x) = 5×3 - 2x – 7

8. Polinomios semejantes

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2×3 + 5x – 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 – 3 = 2 + 5 – 3 = 4

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2×3+ 5x – 3 ; x = 1 P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 – 3 = 2 + 5 – 3 = 4

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2×3 + 5x – 3 Q(x) = 5x – 3 + 2×3

Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2×3 + 5x – 3 Q(x) = 5×3 - 2x – 7 Teoria del algebra "NO A

LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"® www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.