Teoría de errores

Introducción

En el campo de la ingeniería y ciencias, existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desafortunadamente, la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil el hallarla. Es estos casos es en donde los métodos numéricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un método numérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema.

1.2. Aproximación numérica y teoría de errores

Debemos conformarnos siempre, en la práctica de la ingeniería y de las ciencias, con una solución aproximada a un problema por las siguientes razones:

Los modelos matemáticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problema real. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenómeno.

Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. También pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como del instrumento de cálculo que se utilicen. Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente.

Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores, estos pueden clasificarse en: errores inherentes, errores de truncamiento, errores de redondeo…

1.2.1. Error

El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va :

e = Vr – Va

1.2.2. Error relativo

El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr (sí 

1.2.3. Error porcentual

El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%).

También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.

1.2.4. Errores inherentes

Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. También pueden deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional comoó 

1.2.5. Errores de truncamiento

Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita:

Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

1.2.6. Errores de redondeo

Los errores de redondeo, se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando. Por ejemplo al calcular el valor de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de calculo.

Existen dos tipos de errores de redondeo:

• Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

• Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:

– par números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

– para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

1.2.7 Error numérico total El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

1.2.8 Errores de equivocación Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres.

Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del problema.

Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.

1.3. Cifras Significativas El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza. Por ejemplo podemos calcular un número irracional con varias cifras, pero de ellas no todas, sobre todo las últimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas. Por otro lado, los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto decimal. Por ejemplo los siguientes números tienen todos 4 cifras significativas: 0.00001985, 0.0001985, 0.001985, 1985, 19.85.1 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa, es común emplear la notación científica.

1.4. Precisión y exactitud

Los errores asociados con los cálculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La mayoría de la gente piensa que estos términos son sinónimos, pero no es así. La precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad. La exactitud se refiere al grado de aproximación que se tiene de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa, es decir, que tan cerca estamos del valor buscado.

1.5. Tipos de redondeo

Al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere debemos de redondear. Para redondear se emplea usualmente:

Redondeo truncado Redondeo simétrico.

1.5.1. Redondeo truncado

El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 0.7777.

1.5.2. Redondeo simétrico

El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada esta entre 0 y 4. Por ejemplo sí redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 0.7778.

Por ejemplo: En la práctica puede no ser así. Sí Realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo. Se obtiene: 0.3333+0.6666=0.9999 (Redondeo truncado) 0.3333+0.6667=1.000 (Redondeo simétrico) Puede demostrarse que por lo general el redondeo simétrico lleva a resultados más

1.6. Resumen

Los métodos numéricos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los métodos analíticos tradicionales, o no sea sencillo aplicarlos. Estos métodos proporcionan una sucesión de valores que se aproxima a la solución del problema.

Al resolver un problema siempre tendremos presente errores: El error de redondeo, el error inherente y el error de truncamiento. El error de redondeo es prácticamente inevitable y puede invalidar por completo la solución de un problema. Puede minimizarse su efecto, ya sea reduciendo de alguna manera él numero de cálculos a realizar, ó reformulando la solución de un problema de tal forma que se evite las operaciones aritméticas que ocasionan mas error. La suposición común de que trabajamos con números reales al realizar cálculos, no es cierta. Puede acarrearnos serias discrepancias entre valores teóricos y valores calculados. La precisión y la exactitud no son sinónimos. Una nos indica que tan confiable es un valor, y la otra que tan cerca estamos de el.

¿Cuándo utilizaremos el error relativo y el error absoluto? Utilizaremos el error absoluto cuando queramos ver cuanto nos hemos desviado del valor real y utilizaremos el relativo cuando queramos comparar dos o varias medidas que pueden o no tener algo en común para ver cual de ellas tiene menor error en comparación con su valor real.

Lo explicaremos con un ejemplo:

Medimos una mesa con una regla que aprecia milímetros y con la misma regla medimos un campo de fútbol. El error absoluto es el mismo ( 1 mm), pero no es lo mismo equivocarse en un milímetro de una medida grande que en un milímetro en una pequeña.

En este caso el error relativo de la mesa sería mecho mayor que el error del campo del fútbol.

Tipo de errores

• EXPERIMENTALES: Proviene de los datos o equivocaciones aritméticas en el cálculo manual.

• DE TRUNCAMIENTO (CORTE): Representa la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.

• REDONDEO: Se debe a que una máquina sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos.

Existen dos maneras de representarlos:

• I. Punto fijo: Los números se representan con un número fijo de cifras decimales.

• Ej. 62.358, 0.013.

• II. Punto flotante: Los números se representan con un número fijo de dígitos significativos.

Dígito Significativo: De un número "C"; es cualquier dígito dado de este, excepto posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posición del punto decimal (entonces cualquier otro cero es un dígito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dígitos significativos.

• EXACTITUD: Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

• PRECISIÓN

• I. Número De cifras significativas que representan una cantidad.

• II. La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

• ERROR ABSOLUTO

Se da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado

Donde

• ERROR RELATIVO PORCENTUAL

Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más independiente de la escala usada, y esto es una propiedad más que deseable.

Ejemplo Planteamiento del problema: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cms respectivamente. Solución:

El error absoluto en la medición del puente es:

Y para el remache es

El error relativo porcentual en la medición del puente es

Y para el remache es

Aquí observamos que el error absoluto es el mismo en las dos mediciones y si no se tiene la magnitud de la cantidad que se esta midiendo no podríamos dar ninguna conclusión; pero al conocer esta magnitud podemos observar que en la medición del remache se genero un error muy grande.

En las mediciones científicas es usualmente el error relativo el que resulta relevante. La información acerca del error absoluto suele ser poco útil si no se conoce la magnitud de la cantidad que se esta midiendo; por esta razón es importante el error normalizado que se define como sigue:

• ERROR NORMALIZADO PORCENTUAL

En situaciones reales a veces es difícil contar con el valor verdadero, para dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimacion posible al valor verdadero; es decir. Para la aproximación misma.

Corrección

Valor verdadero

Aproximación + Corrección Cota de error para a es un número

es decir

A menudo cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada.

• TOLERANCIA

Donde n es el número de cifras significativas En el momento en que se realizan las aproximaciones y se cumpla que .

si se conoce el valor real

si no se conoce el valor real Se garantizan " n " cifras significativas.

Series de Taylor

EJEMPLO 1

• Encuentre el polinomio de grado 2, que cumple entonces si seguimos la observación anterior, llegamos a:

Vemos

Es fácil ver que cumple las condiciones iniciales. Al hacer el mismo análisis para un polinomio de grado llegamos a:

En general, esto sigue para cualquier polinomio, la ventaja de esto es que a partir de cierta derivada el crecimiento es cero.

Pensemos en el caso, que no sea un polinomio, por ejemplo es fácil justificar que esta función NO es un polinomio, ahora como a partir de ningún crecimiento se vuelve cero, este proceso lo debemos extender hasta "infinito" así:

Donde Haciendo esto para tenemos:

Y así

Sustituyendo obtenemos

Denotemos esta serie por así:

¿La pregunta natural es

Para analizar este caso veamos otro ejemplo

EJEMPLO 2

• Sea se puede verificar que

Y así

Sustituyendo en obtenemos que:

¿La pregunta es?

Para esto consideramos algunos valores particulares

Por lo anterior, para el valor argumentos geométricos muestran que y

ahora si vemos es claro que

sin embargo a esta suma se le puede dar algún sentido ya que tiene como sumas parciales y y es el promedio de estas dos y por ultimo para

Es claro que y

NO están definidas, pero se comportan de manera similar

sin embargo para no tiene nada que ver y

La explicación sencilla radica en el signo

De lo anterior podemos concluir que se cumple para ciertos valores de x, ahora la cuestión es

¿para cuáles? Analicemos que paso con la función , esta función tiene problemas de domino en

sin embargo recordemos que estamos centrados en

así:

0 1

Estamos aquí Problema Al ir hasta el problema, tomaremos un intervalo con centro en cero y cuyo extremo sea el problema 1. Así tenemos el intervalo Como vimos antes, en este intervalo en los extremos no se sabe y por fuera son diferentes, para hacer esto formal, debemos ver la convergencia de la serie, esto se ve con el CRITERIO DEL COCIENTE así:

Así: Y por tanto , es decir

para los valores de en los cuales se tiene la convergencia absoluta y uniforme de Volviendo a la función , al aplicar CRITERIO DEL COCIENTE:

Tenemos que para cualquier la serie converge así:

Teorema de taylor

Como buscamos desarrollar numéricamente, las Series de Taylor no son de ayuda, ya que no podemos realizar "sumas" infinitas, para esto tenemos que aproximarlas, es decir tenemos que troncar las Series de Taylor y así para , tenemos

Sin embargo, si no es un polinomio, es posible que

de todas maneras es una aproximación puntual de este así:

Donde es un error que se comete.

(El cual obviamente nunca vamos a conocer) Y es dado por: con

entre y

Ese valor no lo conozco y así tampoco, pero podemos acotarlo, es decir encontrar alguna función tal que

Y así: Con lo cual podemos fijar un máximo error y así determinar el

donde se debe troncar la serie para obtener una buena aproximación.

Ejemplo Dada la serie de Taylor de

con centro en cero, hallar la aproximación de Con cinco cifras significativas.

Solución:

Lo primero que hallamos es el criterio de error, el cual asegura que el resultado sea correcto con al menos cinco cifras significativas; donde n=5:

Es decir se evaluara la serie de Taylor hasta que el error normalizado se menor que 0,0005%.

Realizando el desarrollo de la serie de Taylor obtenemos:

Donde la primera aproximación es

Segunda aproximación es

Tercera aproximación es

En la siguiente tabla se colocaran los resultados; buscando que el error normalizado porcentual sea menor que la tolerancia; también colocaremos el error relativo porcentual partiendo del hecho que el valor real de

Iteración Aproximación

1 1 39.3 0.648721…

2 1.5 9.2 33.3 0.14872 3 1.626 1.44 7.69 0.023725…

4 1.645833333 0.175 1.27 0.00289166…

5 1.648437500 0.172 0.158 0.0002875 6 1.648697917 0.00145 0.0158

Ejemplo:

Se requiere una aproximación de con un error no mayor Para solucionarlo podemos tomar varias funciones; lo que cambiaria seria el valor de la x, podemos tomar las siguientes funciones:

Para la solución tomaremos la siguiente función:

Para X ? (-1, 1) Como no es posible aproximar

Porque? Calcular es decir

Analicemos el error

Para un intervalo de

Acotamos con respecto a El que tenemos que acotar

es decir debemos parar la serie en ya que entre mas alejado estén y mas grande debe ser el valor de

Ejercicios:

• 1) encuentre con error no mayor de

• 2) Encuentre con un error no mayor a

• 3) Donde se debe troncar la Serie de Taylor de

• para que la aproximación de tenga un error no mayor a

• 4) Donde se debe troncar la Serie de Taylor de

• para que la aproximación de tenga un error no mayor a concluya.

Ejemplo Dada hallar una aproximación de

->

->

_>

Así

Así

TEORÍA DE ERRORES "NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"

® www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.