Teoría de Conjuntos

Definiciones básicas

Conjunto.- A Georg Cantor se le atribuye la paternidad de la teoría de conjuntos. Intuitivamente un conjunto es una colección de objetos, los objetos que forman un conjunto se llaman elementos del conjunto. Sin embargo, en Matemática el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de éste, por lo que la palabra conjunto debe aceptarse lógicamente como un término no definido.

Notación.- Todo conjunto se escribe entre llaves y se le denota mediante letras mayúsculas, sus elementos se separan mediante comas.

Ejemplo: El conjunto de las vocales a, e, i, o, u se puede escribir así:

Relación de pertenencia.- Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se emplea el símbolo Si un elemento no pertenece a un conjunto se emplea el símbolo

Ejemplo:

Observación:

1) Dos conjuntos son iguales si y solamente si tienen los mismos elementos

2) Equivalentemente, si dos conjuntos son distintos, debe haber un elemento que pertenece a uno de ellos pero no al otro

3) Dado que un conjunto queda determinado por los objetos que contiene, el orden en la lista y las repeticiones (no se acostumbra a repetir los elementos) no cuentan

Ejemplo:

Relación de inclusión.- Un conjunto está incluido en otro conjunto, si y solo si, cuando todo elemento de un conjunto también pertenece al otro conjunto.

Ejemplo:

Observación:

Todo conjunto está incluido en sí mismo, es decir, todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Cardinalidad de un conjunto.- Para comprender el concepto de cardinalidad es necesario hacernos las siguientes preguntas: ¿Qué significa la frase: "En esta aula hay 22 personas"?, ¿Qué significa el "número de elementos de un conjunto"?. De alguna forma tenemos la sensación de andar en círculos: contar significa dar el número de elementos, pero el número de elementos se obtiene contando. Detrás del contar hay una noción más básica, esta es la equinumerosidad, intuitivamente, tener la misma cantidad de elementos. Para saber si dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, no se necesita siquiera conocer el concepto de número. La siguiente historia imaginaria es bien conocida.

Un pastor prehistórico tiene un rebaño de ovejas. Obviamente este individuo no sabe "contar" y sabe nada de aritmética. Cada mañana cuando saca su rebaño a pastar pone en un canasto una piedra por cada oveja que sale. Al regresar en la noche, saca una piedra por cada oveja que entra al corral. Si sobran piedras habrá perdido al menos una oveja descarriada y deberá ir a buscarla, si faltan piedras, parió una oveja y habrá fiesta. Vemos que sin saber nada de matemática nuestro primitivo pastor puede manejar un problema de conteo. A veces es más importante saber si dos conjuntos son equinumerosos, que saber su número de elementos.

Dos conjuntos son equinumerosos o equipotentes si a cada elemento de cada conjunto le corresponde un único elemento del otro, sin que sobren elementos en ningún de ellos. Se obtiene así la noción intuitiva de tener la misma cantidad de elementos.

El cardinal o la cardinalidad de un conjunto A es el número de elementos que tiene el conjunto y suele simbolizarse como

Ejemplo:

Determinación de conjuntos.- Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

Por extensión.- Un conjunto está determinado por extensión cuando se describe el conjunto nombrando cada uno de sus elementos.

Ejemplos:

Se lee así: D igual al conjunto de todos los números x elementos de los números reales tales que menos tres (-3) es menor a x, y, x a su vez es menor o igual que siete (7).

Clases de conjuntos

a) Por el número de elementos

Conjunto vacío o conjunto nulo.- Es un conjunto que no tiene elementos. Se simboliza por o

Ejemplo:

Conjunto finito.- Es aquel que tiene limitado número de elementos

Ejemplo:

Conjunto infinito.- Es aquel que tiene ilimitado número de elementos

Ejemplo:

Conjunto universal.- Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de un situación particular, generalmente se le representa por la letra U

Ejemplo:

El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los números complejos

b) Por la comparación entre conjuntos

Conjuntos comparables.-

Observe que A está incluido en B, por lo tanto A y B son comparables

Conjuntos iguales.-

Conjuntos disjuntos o excluyentes.-

Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes

Ejemplo:

Como se puede observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son conjuntos disjuntos.

Conjunto de conjuntos.- Es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos

Ejemplo:

Conjunto potencia.- Es aquel conjunto que está formado por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos de un conjunto dado.

Tarea

1) Consulte la biografía de Georg Cantor y realice un organizador gráfico de la misma

2) Realice un organizador gráfico de las definiciones básicas de la Teoría de Conjuntos

3) Realice un organizador gráfico de las clases de conjuntos

4) Encuentre 7 palabras ocultas en la siguiente sopa de letras relacionada con conjuntos

Operaciones con conjuntos

En los siguientes diagramas de Venn, la región sombreada es la solución a cada operación dada.

Unión o reunión

Intersección

Diferencia

Diferencia simétrica

Complemento

TAREA

Respuesta: Verdadero

2) Dado los conjuntos A, B y C del ejercicio anterior. Realizar las siguientes operaciones con sus respectivos gráficos.

Respuesta:

;

Respuesta:

4) Dados los siguientes diagramas de Venn, llene la siguiente tabla

5) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. Elabore un diagrama de Venn y calcule la cardinalidad del conjunto de bolas enumeradas con un número par y primo.

1

6) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. Elabore un diagrama de Venn y calcule la cardinalidad del conjunto de bolas enumeradas con un número impar o con un número múltiplo de 4?

7

7) De 36 estudiantes de un curso, 21 no tienen dificultades de aprendizaje en Matemática, 27 no las tienen en lenguaje y 4 tienen dificultades únicamente en lenguaje. ¿Cuántos estudiantes tienen dificultades de aprendizaje únicamente en Matemática

10

8) En una clase, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística, 20 prefieren Matemática y Estadística, y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Elabore un diagrama de Venn y calcule el número de alumnos de la clase que tengan preferencia por Matemática o Estadística o ambas asignaturas.

45

9) En un grupo de 50 personas, 6 tienen como preferencia solamente el color amarrillo, 10 prefieren solamente el color blanco, 6 prefieren el color amarrillo y blanco, 10 prefieren el color blanco y café, 12 prefieren el color amarrillo y café, 4 prefieren los 3 colores y 10 no tienen preferencia por ninguno de los tres colores. Elabore un diagrama de Venn y calcule el número de personas que tienen preferencia por lo menos uno de los tres colores

40

10) En un grupo de 50 personas, 6 tienen como preferencia solamente el
color amarrillo, 10 prefieren solamente el color blanco, 4 prefieren solamente
el color café, 6 prefieren el color amarrillo y blanco, 10 prefieren
el color blanco y café, 12 prefieren el color amarrillo y café,
y 10 no tienen preferencia por ninguno de los tres colores. Elabore un diagrama
de Venn y calcule el número de personas que tengan preferencia por los
3 colores4

Referencias bibliográficas

Suárez, Mario. (2014). Probabilidades y Estadística empleando las TIC. Ibarra, Ecuador: Imprenta GRAFICOLOR

Suárez, Mario. (2015). Teoría de Conjuntos. Recuperado de http://es.scribd.com/doc/281247737/Teoria-de-Conjuntos#logout

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujés