Transformadas de la Imagen
Suponiendo que la imagen tiene tamaño NxN, su transformada puede expresarse de la forma:
Donde:
T(u,v) es la transformada de f(x,y);
g(x,y,u,v) es el núcleo (o kernel) de la transformada directa;
u y v toman valores de 0 a N-1.
La transformada inversa se expresa como:
donde h(x,y,u,v) es el núcleo de la transformada inversa.
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Transformadas de la Imagen
El núcleo directo es separable si g(x,y,u,v)=g1(x,u) g2(y,v).
Entonces,
La transformada bidimensional se puede calcular realizando dos transformadas unidimensionales
Además el núcleo es simétrico si g1 y g2 son iguales.
Entonces,
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Transformadas de la Imagen
Expresión matricial:
Si el núcleo g(x,y,u,v) es separable y simétrico, la transformada se puede expresar en forma matricial. Sean F, G y T las matrices de elementos
Entonces, la transformada
puede escribirse de la forma
Para obtener la transformada inversa, se multiplica a derecha e izquierda por la matriz inversa de G y de su traspuesta:
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Transformadas de la Imagen
Algunos ejemplos de transformadas:
La transformada de Fourier.
La transformada discreta del coseno.
La transformada de Hadamard.
La transformada de Walsh.
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La transformada de Fourier
La transformada de Fourier de una función continua e integrable en una variable real x se define por
Observemos que la transformada de una función real es una función compleja. Es decir, F(u)=R(u)+I(u)i, donde R(u) e I(u) son la parte real e imaginaria de F(u), respectivamente.
La variable u recibe el nombre de variable de frecuencia.
El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier.
El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias ó densidad espectral de f(x).
Su ángulo P(u)=arctg(I(u)/R(u)) recibe el nombre de fase.
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La transformada de Fourier
La oscilación sobre un valor medio (A) puede representarse por una forma lineal (B) y ésta puede reproducirse como una suma de ondas.La onda C describe la forma B mucho peor que las cinco ondas del gráfico D que vemos sumadas en E.
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La transformada de Fourier
La inversa de su transformada se define como:
Análogamente, se define la transformada de Fourier de una función continua e integrable de 2 variables:
y su inversa como
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La transformada de Fourier discreta
Sea f(x,y) una imagen en niveles de grises, tal que x=0,1,…,N-1
e y=0,1,…,N-1; y f(x,y) toma valores discretos representando el nivel de gris del píxel (x,y) entonces, la transformada discreta de Fourier de la imagen consiste en una función F(u,v) tal que u=0,1,…,N-1 y v=0,1,…,N-1:
y su inversa como
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Propiedades de la transformada de Fourier
En este apartado, nos vamos a centrar en las propiedades de la transformada de Fourier discreta bidimensional (TFD).
Núcleo separable y simétrico
La ventaja que aporta esta propiedad es el hecho de poder obtener la transformada F(x,y) (o la inversa f(x,y)) en dos pasos, mediante la aplicación de la Transformada de Fourier 1-D (o su inversa):
donde
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En particular, esto significa que la matriz de la transformada se puede obtener mediante un producto de matrices T=AT FA
Propiedades de la transformada de Fourier
La linealidad
La transformada de Fourier y su inversa son transformaciones lineales, es decir, poseen la propiedad distributiva respecto de la suma.
La traslación
TF[f(x,y) ei2Pi(Ux+Vy)/N]=F(u-U, v-V) (se traslada el origen de la transformada a (U, V))
TF[f(x-X, y-Y)]=F(u, v) e -i2Pi(uX+vY)/N
Un caso particular de esta propiedad consiste en mover el origen de la transformada de Fourier de f(x,y) al centro de la matriz N X N que le corresponda, es decir al punto (N/2,N/2). Para ello, podemos hacer uso de que:
TF[f(x,y)(-1)x+y ] se hace corresponder con F(u-N/2,v-N/2).
También cabe resaltar, que un desplazamiento en la función f(x,y), no provocará un cambio en la magnitud de su transformada de Fourier. Véase esto matemáticamente en la siguiente expresión:
|F(u,v)e-i2Pi(uX+vY)/N|=|F(u,v)|
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Propiedades de la transformada de Fourier
La simetría y periocidad
Si f(x,y) es real, la transformada de Fourier satisface:
|F(u,v)|=|F(-u, -v)|
La transformada discreta de Fourier y su inversa son funciones periódicas de periodo N; es decir,
F(u,v)=F(u+N, v)= F(u, v+N)=F(u+N, v+N).
Consecuencia:
Si se desplaza el origen de la transformada al punto (N/2, N/2), para calcular la transformada de Fourier , F(u-N/2, v-N/2), en un periodo completo sólo necesitamos calcularla en los N/2 + 1 puntos primeros.
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Propiedades de la transformada de Fourier
La simetría y periocidad
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Propiedades de la transformada de Fourier
La rotación
Si rotamos la función f(x,y) un ángulo determinado, la transformada de Fourier también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada inversa también se verá rotada ese mismo ángulo.
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Propiedades de la transformada de Fourier
Representación del logaritmo del espectro
El espectro de Fourier suele tener un rango mucho mayor que los usuales para mostrar una imagen. Una técnica usual para evitar esto es considerar el logaritmo del espectro usando la fórmula
D(u,v)=C(log(1+|F(u,v)|))
donde C es una constante adecuada de reescalado de la imagen, que se aplica para obtener valores dentro de la paleta de colores disponible.
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Propiedades de la transformada de Fourier
Valor promedio
Una definición ampliamente utilizada del valor promedio de una función discreta de dos dimensiones es:
Propiedad:
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Aplicación del logaritmo del espectro de Fourier
Analizador de texturas
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Aplicación del logaritmo del espectro de Fourier
Analizador de texturas
Texturas de campos
Texturas de charcas
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Aplicación del logaritmo del espectro de Fourier
Analizador de texturas
Texturas de ciudad
Texturas de agua
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Para practicar:
Applet de Java
http://www.dai.ed.ac.uk/HIPR2/fourier.htm
http://www.ee.siue.edu/~cvip/
http://rsbweb.nih.gov/ij/applet/
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La transformada rápida de Fourier
Un algoritmo que calcule la transformada de Fourier unidimensional tiene de complejidad O(N2). Existe un algoritmo "rápido" que calcula dicha transformada en O(N log N) operaciones (donde N=2k).
Para conseguir tal reducción, hemos de darnos cuenta que si escribimos N=2M entonces
para u=0,1,2,…,M-1, donde
y
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Además se cumple que
siendo u=0,1,2,…,M-1.
Por tanto, para conocer la transformada de Fourier F(u) para todo u, sólo tenemos que calcular Fp(u) y Fi(u) para u=0,1,2,…,N/2-1. Si volvemos a aplicar el mismo razonamiento para M=2L, sólo tendremos que calcular el valor de Fp(u) y de Fi(u) para u=0,1,2,…,N/4 – 1, y así sucesivamente.
Una situación análoga se tiene para la transformada inversa de Fourier.
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La transformada rápida de Fourier
La transformada rápida de Fourier
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La transformada rápida de Fourier
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Considérese la Transformada Discreta de Fourier (DFT):
con
Sea:
Transformada rápida:
La transformada rápida de Fourier
Para practicar:
http://www.dai.ed.ac.uk/HIPR2/
http://www.ee.siue.edu/~cvip/
http://rsbweb.nih.gov/ij/
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La transformada de Hadamard
La transformada de Fourier se basa en términos trigonométricos.
La transformada de Hadamard consiste en un desarrollo en serie de funciones básicas cuyos valores son +1 o -1.
La transformada de Hadamard, H(u,v), de una imagen f(x,y) de dimensiones N x N donde N=2k viene dada por la fórmula
donde u=0,1,…,N-1 y v=0,1,…,N-1 y bj(z) es el j-ésimo bit (de derecha a izquierda) de la representación binaria de z.
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La transformada de Hadamard
La transformada inversa de Hadarmad es idéntica a la anterior, intercambiando las funciones H y f:
La ventaja que tiene esta transformada es que cualquier algoritmo que calcule la transformada directa de Hadamard, puede emplearse sin modificaciones para calcular la transformada inversa.
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La transformada de Hadamard
Los núcleos de la transformada de Hadamard también son simétricos y separables.
donde
Por tanto para calcular la transformada de Hadamard bidimensional, se calcula dos veces consecutivas la transformada de Hadamard unidimensional:
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La transformada de Hadamard
Llamemos g(x,u) al núcleo de esta transformada. Es muy fácil calcular la matriz del núcleo para cualquier N=2k de forma inductiva.
La matriz de Hadamard, de menor k, es
Inductivamente:
La matriz de transformación A tal que H=AFA, donde F es la imagen original, viene dada por A=(1/(N1/2))HN.
Por ser A-1=A, la formulación de la transformada inversa es idéntica a lo anterior.
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La transformada de Hadamard
Ejercicio:
Calcular los valores de g(z,w) para N=4.
Comprobar que la matriz G que representa la función g(z,w) es simétrica con filas y columnas ortogonales.
Diseñar un algoritmo que calcula la transformada de Hadamard de una imagen usando la matriz anterior.
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La transformada ordenada de Hadamard
A menudo es importante expresar la función base de Hadamard ordenada, de forma que la secuencia aumente con u. Para ello, una ligera variación en la transformada de Hadamard produce la transformada ordenada de Hadamard que tiene por fórmula:
donde
El núcleo g(x,y,u,v) de esta transformada también es separable y simétrico:
La inversa de la transformada ordenada de Hadamard tiene la misma fórmula.
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La transformada ordenada de Hadamard
Ejercicio: Calcular el núcleo de la transformada ordenada de Hadamard bidimensional para N=4.
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Cada bloque consiste en 4×4 elementos, correspondientes a g(x,y,u,v), fijando u y v y variando x e y entre 0 y 3.
El origen de cada bloque es la esquina superior izquierda. El blanco y el negro representan +1 y -1 respectivamente.
Debido a la similitud entre la transformada de Hadamard y la transformada Walsh, a menudo encontramos en la literatura el término transformada Walsh-Hadamard para referirse a cualquiera de las dos.
ELIMINANDO REDUNDANCIA PSICOVISUAL
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