Circularidad
Comparar primer ejemplo con:
(y análogamente para el segundo ejemplo)
Estas versiones (iterativas) originan ejecuciones infinitas pero no por ello desbordan la memoria
int P(){ while(1==1)}
Otro ejemplo
int Fact(int n){ if (n == 0) return 1 else return ( n * Fact(n-1)); }
¿Que calcula esta función?
Otro ejemplo (continuación)
Cada ejecución de Fact(n) para n NATURAL es finita
En este ejemplo, para valores no demasiado grandes de n, Fact(n) puede ser demasiado grande ("integer overflow ")
15! = 1,3 x 1012
Existirá un rango de valores de tipo NATURAL para los cuales la función anterior computa efectivamente los correspondientes factoriales.
Comparar con versión iterativa
int Fact (int n){ int i, f; f = 1; for( i= 2;i< n;i++) f := f * i; return f; }
Comparar con versión iterativa (continuación)
La versión recurrente es más simple
análoga a una definición matemática
La versión iterativa es más eficiente (no usa pila)
Se acomoda mejor al esquema de máquinas de estados
En particular, podría darse que: La versión recurrente terminara por desbordar la pila en casos en que la versión iterativa terminaría normalmente
Primeras Conclusiones
Usamos subprogramas recurrentes
Operando sobre nuevos datos
Produciendo además otros efectos
Esto le da sentido a la circularidad
Nos aseguramos que en algún momento "pare" de ejecutar
Primeras Conclusiones
Por ejemplo, podemos decir que la función Fact está definida en términos de sí misma.
Esto sugeriría una circularidad de la definición pero en realidad es una afirmación no demasiado precisa.
En realidad, para cada n, Fact(n) no está definido circularmente (pe. en términos de sí mismo) sino en términos de Fact(n-1) o bien (si n = 0) directamente (pe. sin usar Fact)
Primeras Conclusiones
El cómputo de Fact(n) se realiza:
directamente (n = 0)
reduciéndolo a Fact en un número más chico (mas cercano a 0)
Esto garantiza que toda ejecución de Fact(n) es finita y que por lo tanto Fact(n) esta bien definida para todo n (a menos del problema de "INTEGER OVERFLOW" o eventualmente "STACK OVERFLOW", en otros casos)
Primeras Conclusiones
El uso de recurrencia permite escribir programas cuyas computaciones son de largo variable
Primeras Conclusiones
recurrencia/iteración
¿Existe redundancia al tener ambos conceptos?
De hecho, pueden considerarse lenguajes:
sin iteración
sin asignación (ver FACT recurrente, alcanza con el concepto de función que retorna un valor)
sin variables de estado
Primeras Conclusiones
Esto es la base de los llamados
LENGUAJES DECLARATIVOS
Lenguajes Declarativos
Funcionales – son particularmente interesantes
Lógicos
Primeras Conclusiones
Los lenguajes con variables de estado, asignación e iteración son llamados lenguajes IMPERATIVOS
La mayoría de los lenguajes imperativos modernos admite recurrencia
El uso de recurrencia permite desarrollar soluciones simples y elegantes, en muchos casos en que las correspondientes soluciones iterativas son demasiado complejas
También se da lo inverso (pe. Fact)
Orígenes
En Matemática, los números naturales
usualmente se asumen como bien conocidos
se escriben en notación decimal
(También en MODULA-2, PASCAL, C, . )
En lógica, los naturales se definen explícitamente
Orígenes
La idea es abstraerse de cualquier sistema de numeración posicional
Un sistema de numeración es de hecho un sistema de representación de números
El sistema en base b usa b símbolos
Ej: dígitos : dn dn-1 …. d0
de tal forma que el número representado es:
dn * bn + ….. + d0 * b0 (un polinomio)
Orígenes
Tratamos de abstraernos de todas estas representaciones.
Pe. buscar una "más general" que podamos tomar como la definición (lo esencial) del concepto de número natural
Esto nos lleva a considerar el sistema de numeración más simple posible
SISTEMA UNARIO
SISTEMA UNARIO
Sistema unario de numeración:
hay un sólo dígito : |
representamos los números como secuencias de ese dígito:
|| 2 ||||| 5
es conveniente tener una representación para el 0 (cero)
Esto nos lleva a la definición de los números naturales
Naturales
Es el caso de Definición Inductiva de un conjunto. Damos reglas para construir todos los elementos del conjunto:
Regla 1 – 0 es un natural
Regla 2 – Si n es un natural entonces Sucesor(n) es otro natural
Regla 3 – Esos son todos los naturales
0 y Sucesor son llamados (operadores) CONSTRUCTORES del conjunto N
Naturales
La Regla 3 permite justificar el PRINCIPIO de DEMOSTRACIÓN por INDUCCIÓN MATEMÁTICA NATURAL
Sea P una propiedad de números naturales o sea: P(n) es una proposición enunciado (matemático)
INDUCCIÓN MATEMÁTICA NATURAL
Ejemplos
n es par, n > 2
Si n es primo entonces no es par
Entonces es un principio (esquema) de demostraciones de enunciados de la forma:
P(n) vale para todo n.
(Obviamente no es un método para probar "P(n) vale para todo n" cualquiera sea P, sino para hacer evidente que "P(n) vale para todo n" para ciertas P)
INDUCCIÓN MATEMÁTICA NATURAL
Si (1) P(0) vale. ("caso base")
y (2) asumiendo que P(n) vale. Y podemos demostrar que P(S (n)) vale. ("paso inductivo")
entonces :P(n) vale para todo natural n
INDUCCIÓN MATEMÁTICA NATURAL
Idea: "Juego de fichas de dominó"
Para tirar todas:
tirar la primera
la distancia entre dos sucesivas debe ser tal que asegure que si cae la previa, entonces ella tira a la siguiente.
INDUCCIÓN MATEMÁTICA NATURAL
La misma idea sirve para definir funciones sobre los naturales:
f : N -> X
"tirar" -> asociarle su imagen en f, Definir f(n)
f(0) = x0 (no depende de f) ("caso base")
f(S(n)) = c (n,f(n))
(donde la función c no depende de f)
Si la función está definida en 0 y podemos definirla en S(n) usando que está definida en n) entonces queda definida para todo n (RECURRENCIA PRIMITIVA)
Ejemplos
fac: N -> N
fac 0 = 1
fac (S(n)) = (S(n)) * fac(n)
Ej: fac 3 = 3 * fac 2 = 3 * 2 * fac 1 = 3 * 2 * 1 * fac 0 = 3 * 2 * 1 * 1 = 6
Método mecánico de cálculo (simple sustitución)
Otro modelo de cómputo (programa) mecánico (funciones recurrentes (recursivas))
Ejemplos (continuación)
+: N x N -> N
m + 0 = m
m + (S n) = S (m + n)
*: N x N -> N
m * 0 = 0
m * (S n) = (m * n) + m
INDUCCIÓN MATEMÁTICA NATURAL
En C usamos notación decimal en lugar de la unaria.
Las ecuaciones de la definición de fac se expresan:
int fact(n){
if ( n == 0 )
return 1;
else
return n * fact(n-1);
}
Otro ejemplo en C (más complejo)
Fib: N -> N (los números de Fibonacci)
Fib(0) = 1 Fib(1) = 1
Fib(n+2) = Fib(n) + Fib(n+1)
(dos llamadas en distintos puntos)
(no es un caso de recurrencia primitiva)
Principio de Inducción Completa
Si podemos probar P(n) asumiendo P(z) para todo z < n entonces vale P(n) para todo n.
En términos de las fichas de domino: Si una cualquiera se cae toda vez que todas sus predecesoras se caen entonces todas se caen.
Notar que toda aplicación de este principio requiere probar la propiedad para 0. (¿Por qué?)
Principio de Inducción Completa
Caso general de definición recurrente de funciones f : N -> X
Casos Base (no aparece f en las bi) f(n0) = b0 … f(nk) = bk
Casos Recurrentes (las ei pueden depender de f) f(nk+1) = e1 … f(nk+r) = er
Principio de Inducción Completa
Para que f esté definida como función debe probarse, para todo n:
EXISTENCIA Y UNICIDAD de f(n)
para cada n debe haber una ecuación (caso) que se aplique (exhaustividad)
Las llamadas recurrentes deben ser de la forma:
f(n) = c(f(m1), …… , f(mp)) (donde c no depende de f y está bien definida)
donde mi < n para cada mi
Principio de Inducción Completa
Se justifica por INDUCCION COMPLETA (notar que < es "bien fundado")
Metodológicamente pensar los casos de n:
Base
Reducción a un predecesor (o algunos predecesores)
Listas (ejemplo)
Vamos a definir el conjunto de las listas secuenciales finitas de naturales.
Inductivamente:
[] es una Lista de Naturales
SI n : Natural y L : ListaNaturales ENTONCES n.L : ListaNaturales
Esas son todas las listas
Donde . es la concatenación de listas.
Ejemplos de Listas
[]
1.[] ([1])
2.1.[] ([2,1])
notación resumida: x1.x2……xn.[]
se representa: [x1,x2,…,xn]
Listas (continuación)
Tomamos en consecuencia:
Principio de INDUCCIÓN PRIMITIVA ESTRUCTURAL:
si P([]) y para todos n y S podemos probar P(n.S) asumiendo P(s)
entonces P(S) vale para toda S : NLista
Tenemos también el esquema de definición de
funciones sobre NListas por RECURRENCIA
PRIMITIVA ESTRUCTURAL:
f : NLista -> x
f([]) = x0
f(x.S) = c(x, S, f(s))
Listas (continuación)
Todo lo anterior se generaliza trivialmente a listas de elementos de cualquier tipo:
AListas donde A es cualquier tipo (el tipo de los elementos de la lista)
Notar que NLista es un conjunto infinito (comparar con tipos de vectores, que son conjuntos de secuencias de un largo dado) !!!
Ejemplos de funciones sobre listas definidas por recurrencia primitiva
largo: ALista -> N
largo([]) = 0
largo(x.S) = 1 + largo(S)
snoc: A x Alista -> Alista
snoc(x,[]) = [x]
snoc(x,y.S) = y.(snoc(x,S))
¿Que hace la función snoc?
¿Que hace la función snoc?
La función snoc inserta al elemento x al final de la lista S
Descomposición de listas
Problema
Escribir una función Pal : NLista -> Bool tal que Pal(S) = true sii S es palíndromo (capicúa)
Descomposición de listas (cont.)
Una manera de resolverla:
Pal([]) = true Pal([x]) = true Pal(S) = (Primero(S) = Ultimo(S)) & (Pal(Medio(S)) (para S con al menos 2 elementos)
donde las funciones Primero, Ultimo y Medio se definirán separadamente
La función Medio
La función Medio no puede definirse para toda lista.
De hecho:
Medio : {S : ALista / S tiene al menos dos elementos} -> Alista
Podemos decir: Medio : ALista -> Lista
con la precondición: el argumento debe tener al menos dos elementos
La función Medio
Ejemplos similares puenden darse con naturales:
mcd : N x N -> N (máximo común divisor)
Precondición : los argumentos no pueden ser ambos nulos
La función Medio
Medio([x,y]) = [] Medio(x.y.S) = y.Medio(y.S) (S no vacía)
Notar los casos considerados. El espacio (dominio) son las listas de al menos dos elementos. Se cumplen exhaustividad y exclusión
En el caso de recurrencia, la llamada recurrente respeta la precondición de la función.
La función Medio
Fundamental: si se usa una función sin respetar la precondición, no se puede tener ninguna garantía acerca del resultado.
Ver que la definición es correcta:
Dado S = [z1, … , zn, zn+1]:
Medio(y.S) = [z1, … , zn]
Porque: Medio(x.y.S) = Medio ([x,y,z1, … , zn,zn+1]) = [y,z1, … , zn] = y.Medio(y.S) tal como está definido
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