Fórmulas de Muestras y Encuestas

• Estimar un parámetro determinado con el nivel de confianza deseado.

• Detectar una determinada diferencia, si realmente existe, entre los grupos de estudio con un mínimo de garantía.

• Reducir costes o aumentar la rapidez del estudio.

Por ejemplo, en un estudio de investigación epidemiológico la determinación de un tamaño adecuado de la muestra tendría como objetivo su factibilidad. Así:

• Si el número de sujetos es insuficiente habría que modificar los criterios de selección, solicitar la colaboración de otros centros o ampliar el período de reclutamiento. Los estudios con tamaños muestrales insuficientes, no son capaces de detectar diferencias entre grupos, llegando a la conclusión errónea de que no existe tal diferencia.

• Si el número de sujetos es excesivo, el estudio se encarece desde el punto de vista económico y humano. Además es poco ético al someter a más individuos a una intervención que puede ser menos eficaz o incluso perjudicial.

El tamaño de una muestra es el número de individuos que contiene.

Una fórmula muy extendida que orienta sobre el cálculo del tamaño de la muestra para datos globales es la siguiente:1

N: es el tamaño de la población o universo (número total de posibles encuestados).

Za: es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos. El nivel de confianza indica la probabilidad de que los resultados de nuestra investigación sean ciertos: un 95,5 % de confianza es lo mismo que decir que nos podemos equivocar con una probabilidad del 4,5%. Los valores de Za se obtienen de la tabla de la distribución normal estándar N(0,1).

Los valores de Za más utilizados y sus niveles de confianza son:

(Por tanto si pretendemos obtener un nivel de confianza del 95% necesitamos poner en la fórmula Za=1.96)

e: es el error muestral deseado, en tanto por ciento. El error muestral es la diferencia que puede haber entre el resultado que obtenemos preguntando a una muestra de la población y el que obtendríamos si preguntáramos al total de ella. Ejemplos:

Ejemplo 1: si los resultados de una encuesta dicen que 100 personas comprarían un producto y tenemos un error muestral del 5% comprarán entre 95 y 105 personas.

Ejemplo 2: si hacemos una encuesta de satisfacción a los empleados con un error muestral del 3% y el 60% de los encuestados se muestran satisfechos significa que entre el 57% y el 63% (60% +/- 3%) del total de los empleados de la empresa lo estarán.

Ejemplo 3: si los resultados de una encuesta electoral indicaran que un partido iba a obtener el 55% de los votos y el error estimado fuera del 3%, se estima que el porcentaje real de votos estará en el intervalo 52-58% (55% +/- 3%).

p: proporción de individuos que poseen en la población la característica de estudio. Este dato es generalmente desconocido y se suele suponer que p=q=0.5 que es la opción más segura.

q: proporción de individuos que no poseen esa característica, es decir, es 1-p.

n: tamaño de la muestra (número de encuestas que vamos a hacer).

Altos niveles de confianza y bajo margen de error no significan que la encuesta sea de mayor confianza o esté más libre de error necesariamente; antes es preciso minimizar la principal fuente de error que tiene lugar en la recogida de datos.

Otra fórmula para calcular el tamaño de la muestra es:

Donde: n = el tamaño de la muestra.

N = tamaño de la población.

Desviación estándar de la población, que generalmente cuando no se tiene su valor, suele utilizarse un valor constante de 0,5.

Za: Valor obtenido mediante niveles de confianza. Es un valor constante que, si no se tiene su valor, se lo toma en relación al 95% de confianza equivale a 1,96 (como más usual) o en relación al 99% de confianza equivale 2,58, valor que queda a criterio del encuestador.

e = Límite aceptable de error muestral que, generalmente cuando no se tiene su valor, suele utilizarse un valor que varía entre el 1% (0,01) y 9% (0,09), valor que queda a criterio del encuestador.

La fórmula anterior se obtiene de la fórmula para calcular la estimación del intervalo de confianza para la media:

De donde el error es:

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación se tiene:

Multiplicando fracciones:

Eliminando denominadores:

Eliminando paréntesis:

Transponiendo n a la izquierda:

Factor común n:

Despejando n:

Ordenando se obtiene la fórmula para calcular el tamaño de la muestra:

Ejemplo ilustrativo: Calcular el tamaño de la muestra de una población de 500 elementos con un nivel de confianza del 99%

Solución: Se tiene N=500, para el 99% de confianza Za=2.58, y como no se tienen los demás valores se usará s=0.5, y e=0.05.

Reemplazando valores en la fórmula se obtiene:

Lo cual se aproxima a 286

Fórmula para obtener muestras.

Formula: Z2*N*P(1-P)/(SE2*N-1)+Z2*P*(1-P)

La tabla anterior, es una herramienta de proceso aproximado para determinar porcentaje poblacional encuestado o participativo en una zona determinada que se pretende estudiar, parte de esta fórmula es desconcentrada de Las estadísticas de población de INEGI, Encuesta de Cohesión Social para la Prevención de la Violencia y la Delincuencia 2014 (ECOPRED). Tabulados básicos. Se puede observar la tendencia de resultados a obtener que en su mayoría será menor de la muestra base, para después dar una conclusión de los resultados.

Tabular toda la información obtenida de las encuestas realizadas a los estudiantes de la Materia de ADS de la

Universidad Don Bosco.

ESPECÍFICOS:

· Dar a conocer la deficiencia que se podría estar dando en la materia.

· Aprehender la forma correcta de manejar la información en una investigación.

La técnica: que se utilizó para llevar a cabo el presente estudio fue la encuesta.

El Instrumento: que se empleó, fue un cuestionario dirigido a los alumnos que reciben el curso de ADS.

Procedimiento.

Se proyectó la encuesta a cada uno de los sujetos de la clase, pero se redujo pero se redujo la cantidad de encuestas porque no todas fueron entregadas por parte de los alumnos.

Análisis de Resultados y Prueba de Hipótesis.

Para la tabulación de los datos se utilizó un cuadro haciendo un análisis individual por cada pregunta y una representación gráfica de los mismos, su cuantificación se realizó con el estadístico porcentaje cuya formula es:

% = Tanto por ciento que se encuentra en el total del estudio.

F = Número de veces que se repite el dato.

100 = Constante de la muestra

N = Total de Datos.

Fx100

% =_____________

N

Pregunta 1:

En general, ¿se encuentra satisfecho con la clase de ADS?

Objetivo:

Obtener una primera idea general de cómo el es6tudiante se siente con respecto a la clase de ADS.

RESPUESTA Cantidad Porcentaje

Mucho 11 58%

Regular 7 37%

Nada Satisfecho 1 5%

Total 19 100%

Estadísticas

Por mucho tiempo, la palabra estadística se refería a información numérica sobre los estados o territorios políticos. La palabra viene del  latín "statisticus" que significa "del estado". Las estadísticas como las conocemos hoy día tomaron  en desarrollarse varios siglos y muchas mentes privilegiadas. John Graunt (1620-1674), un inglés que estudiaba los expedientes de los nacimientos y muertes descubrió que nacían más niños que niñas, pero también encontró que por estar los hombres más expuestos a accidentes ocupacionales , a enfermedades y la guerra, el número de hombres y mujeres en la edad de casarse era más o menos la misma.

        Graunt fue el primero en publicar sobre el análisis estadístico y su trabajo llevó al desarrollo de las ciencias actuariales utilizadas por las compañías de seguros.

¿Qué es estadística?

 La estadística es una colección de métodos para planificar y realizar  experimentos, obtener datos y luego analizar, interpretar, y formular una conclusión basada en esos datos. Es la ciencia encargada de recopilar, organizar, analizar e interpretar información numérica  o cualitativa, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas.

        La estadística se puede definir como la ciencia que recopila, organiza, analiza e interpreta la información numérica o cualitativa, mejor conocida como datos, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas.

     La estadística descriptiva es la ciencia que recopila , organiza e interpreta la información numérica ó cualitativa. Los periódicos, revistas, radio y televisión usan la estadística descriptiva para informar y persuadirnos acerca de ciertas acciones a tomar y en la formación de opiniones.

    La estadística inferencial es la ciencia que interpreta información de manera que pueda llevar a conclusiones válidas. Los gobiernos y las organizaciones utilizan la estadística para tomar decisiones que afectan directamente  nuestras vidas.

Tarea:

Contesta las siguientes preguntas:

1.¿Dónde en nuestras vidas encontramos las estadísticas? 2. ¿Cómo me pueden afectar? 3. ¿Cómo se utiliza la estadísticas en la industria? 4. ¿Cómo se utiliza en el mercadeo de productos?   ¿Qué es un elemento?

 Un elemento es cada unidad utilizada para un estudio estadístico. Por ejemplo,el conjunto de  los datos 3, 5, 5, 3, 7, 2, 4, 1 contiene 8 elementos.              Una muestra es un subconjunto de una población. Las muestras representativas de una  población son útiles ya que facilitan el manejo de los datos. Una muestra es representativa de la población si al escogerla cada elemento tiene  la misma probabilidad de salir o de ser escogido.  

Población vs. Muestra

 Población es la totalidad de los elementos del grupo particular que se estudia. Como por ejemplo, una empresa que está llevando a cabo un estudio a todos los 350 empleados de la empresa. Esto es población ya que se estudiará cada elemento de la población; en este caso la población es todos los empleados de la empresa,sus 350 empleados. Muestra es una parte de la población seleccionada de forma que puedan hacerse inferencias de ella con respecto a la población completa. Por ejemplo, la empresa del ejemplo anterior escogerá 100 empleados de los 350 para hacerles un estudio. Esto es una muestra ya que el total de empleados es 350, se escogió a 100 para hacerse inferencias del resto.

    Medidas de Tendencia Central

 Las medidas de tendencia central son la  media, la mediana y la moda.   La media es la suma de los valores de los elementos  dividida por la cantidad de éstos. Es conocida también como promedio, o media aritmética.  

Fórmula de la media:  

Media Poblacional = &µ = X                                           N   sumatoria &µ = media N = número de elementos X = valores o datos

Esta fórmula se lee:

"mu es igual a la sumatoria de x dividido entre N"  

                                        _ Media Muestral:      x  = x                                           n Ejemplo:  Calcule la media de los siguientes  números:

 10 , 11 , 12 , 12 , 13  

1. Sumar las cantidades      < 10 + 11 + 12 + 12 + 13 = 58> 2. Dividir la suma por la cantidad de elementos    < 58/5> 3. El resultado es la media   < 11.6>

Por lo tanto, la media de los 5 números  es 11.6. Note que la media resulta un número que está entre el rango de elementos; en este caso, 11.6 está entre 10,11,12 y 13.    

La mediana es el valor del elemento intermedio cuando todos los elementos se ordenan.

Fórmula de la mediana:

Mediana =  X[n/2 +1/2]            La parte de [n/2 + 1/2] representa la posición.  

Donde X es la posición de los números y n  es el número de elementos.

Ejemplo:  Buscar la mediana de los siguientes números:

 2   4   1   3  5   6   3

Primero, hay que ordenarlos:

 1       2       3       3       4       5       6   X1   X2     X3      X4     X5    X6     X7        ( Las posiciones de los números)  

Mediana =  X[7/2 + ½]

  X[3.5 + .5]         < Se cambió el ½ a .5>

  X4                < La mediana está en la posición 4>

Por lo tanto, la mediana es  3.  

Ejemplo: Buscar la mediana del ejemplo anterior de la media.

Números del ejemplo anterior:  10,12,13,12,11

1. Hay que ordenarlos, en este caso  de forma ascendente; aunque también puede ser descendente.

10 , 11 , 12 , 12 , 13

2. Buscar el elemento intermedio.  

10 , 11 , 12 , 12 , 13  

El elemento del medio es 12.  

Por lo tanto, la mediana es 12. Nota:  Si el número de elementos es impar, la mediana es el número del elemento intermedio. Si el número de elementos es par, se hace el cómputo mostrado en el ejemplo siguiente:

Buscar la mediana de:

  15 , 13 , 11 , 14 , 16 , 10 , 12 , 18

Como el número de elementos es par, hay que utilizar los dos números intermedios.  

10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16, 18    ( ordenados)                          13 y 14  Ahora, para buscar la mediana:

 1. Sumar ambos números.          < 13 + 14 = 27>  2. Dividirlo entre 2.          < 27/2 = 13.5>  3. El resultado es la mediana.       < 13.5>    

La moda es el valor que se presenta el mayor número de veces.

Ejemplo 1: Buscar la moda de:

  5     12    9    5    8    7    1

Como la moda es el número que más se repite, la moda es 5.  

Ejemplo 2: Buscar la moda de:

14    16    18    16    15    12    14    14    16    18   20   16   16

El 14 se repite 3  veces. El 18 se repite 2  veces. El 16 se repite 5 veces.

Por lo tanto, la moda es 16.   Ejemplo 3:  Buscar la moda de :

   23    35    45    33    47    31     29     22

Como ningún número se repite, no  tiene moda.

Bibliografía

http://galeon.com/rcruz0423/docs/encuesta.pdf

CREMC © 2000 – 2001  Derechos Reservados.     Última Edición: Marzo 9, 2001

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Facultad de Ingeniería – Universidad Rafael Landívar Boletín Electrónico No. 02

Autor:

Miguel. A. Silva

Macedonia De Lau.

Julio C.