Generación de números seudo-aleatorios (página 2)

Partes: 1, 2

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Ejercicio 2
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Suponiendo que se utilice el generador de números seudo-aleatorios.
y que la semilla se escoge eligiendo al azar un entero entre 1 y 26 – 1 inclusive, determine el promedio de la longitud del periodo y su desviación estándar.

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Varianza:

Desviación Estándar:
Varianza y Desviación Estándar para una muestra de datos.

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1. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos:
2 4 3 5 2 2 0 1

R = Rango 5; Varianza 2.5536 y Desviación Estándar 1.5980

2. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos:
-2 -4 -3 -5 -2 -2 0 -1
R = Rango 5; Varianza 2.5536 y Desviación Estándar 1.5980

3. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos:
6 12 9 15 6 6 0 3
R = Rango 15; Varianza 22.9821 y Desviación Estándar 4.7940
Ejercicio

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Frecuentemente se utilizan generadores de números seudo-aleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de

xn+1 = (81 ·xn + 121) mod 255

es utilizado por

yn+1 = (625 · xn+1 + 48) mod 63

para producir el número yn+1 que es el que se reporta.
Usando la semilla x0 = 23 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y1 y y2).
Ejercicio

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Frecuentemente se utilizan generadores de números seudo-aleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de

xn+1 = (45 ·xn + 71) mod 127

es utilizado por

yn+1 = (125 · xn+1 + 11) mod 63

para producir el número yn+1 que es el que se reporta.
Usando la semilla x0 = 49 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y1 y y2).
Otro ejercicio

Probando generadores de números aleatorios
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Es importante asegurarse de que el generador usado produzca una secuencia suficientemente aleatoria. Para esto se somete el generador a pruebas estadísticas. Si no pasa una prueba, podemos asumir que el generador es malo. Pasar una prueba es una condición necesaria pero no suficiente. Un generador puede pasar una prueba y luego no pasarla si se usa otra semilla u otro segmento del ciclo.

20
¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno?
PRUEBAS GRÁFICAS
Gráfica de Serie de Tiempo.
Tablas de frecuencias e histogramas

PRUEBA ESTADÍSTICA
Prueba Ji-cuadrada

Usar el ejemplo: xn+1 = (75 ·xn) mod 231 – 1
Con semilla = 1, los primeros 200 números generados.

Gráfica de Serie de Tiempo
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Es importante observar que NO exista ningún patrón o tendencia.
xn+1 = (75 ·xn) mod 231 – 1
Con semilla = 1, los primeros 200 números generados

22
¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno?
¿Cuál de estas series de números parecen venir de un buen generador?

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Tabla de frecuencias e histograma

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(Gp:) 0, x < 0
F(x) = x, 0 ? x ? 1
1, x< 1
(Gp:) 1
(Gp:) F(x)
(Gp:) 1

(Gp:)
1, 0 ? x ? 1
f(x) =

0, en otro caso
(Gp:) 1
(Gp:) f(x)
(Gp:) 1

(Gp:) Función de densidad de probabilidad
(Gp:) Función de probabilidad acumulada: P(X< = x)

x
x
Números aleatorios entre 0 y 1

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* La probabilidad de observar un valor en un particular intervalo es independiente del valor previo observado.
 * Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido.
 * Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos de igual longitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n. (N número de observaciones totales).

El objetivo de cualquier esquema de generación (generador), es producir una secuencia de números entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribución uniforme y de independencia.

Números aleatorios entre 0 y 1

Prueba estadística Ji-cuadrada
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Esta es la prueba más comúnmente usada. En general, puede ser usada para cualquier distribución.

A partir de un histograma, se comparan las frecuencias observadas con las frecuencias obtenidas de la distribución específica (frecuencias esperadas).

Prueba estadística Ji-cuadrada
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Hipótesis nula. Ho: no hay diferencia entre frecuencias observadas y esperadas.
Hipótesis alternativa. Ha o H1 : existe una diferencia entre frecuencias observadas y esperadas.

Estadístico de prueba:

Si el ajuste es exacto, c02 es cero, pero por aleatoriedad no lo será. Se puede demostrar que tiene distribución ji-cuadrado con k-1 grados de libertad.

Distribución Ji-cuadrada
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Ejercicio:
Determine el 95º percentil de la distribución ji-cuadrada con 6 grados de libertad.

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Región de Rechazo:

Los grados de libertad son iguales a: número de filas – 1

Prueba estadística Ji-cuadrada
En esta prueba se debe cuidar que las frecuencias esperados sean mayores o iguales a 5.

Prueba estadística Ji-cuadradaEjercicio 3
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Generador:
xn+1 = (75 ·xn) mod 231 – 1

Con semilla = 1, los primeros 200 números generados.

Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme.
Usar nivel de significancia = a = 0.05
Ho: Los valores provienen de una distribución uniforme.
Ha: Los valores NO provienen de una distribución uniforme.

Prueba estadística Ji-cuadradaEjercicio 3
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Estadístico de prueba

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Región de Rechazo:

Prueba estadística Ji-cuadradaEjercicio 3
2.8 no es mayor que 16.919, por lo que el estadístico de prueba NO cae en la región de rechazo.
Conclusión: Ho NO se rechaza.
Los valores generados sí parecen venir de una distribución uniforme

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Ejercicio 4
Generador:
xn+1 = (57 ·xn) mod 215 – 1

Con semilla = 1, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1.

Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme.
Usar 10 intervalos.
Usar nivel de significancia = a = 0.05.

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Ejercicio 5
Usando el método del cuadrado medio y semilla = 5896, se generaron los primeros 80 números aleatorios.

Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores provienen de una distribución uniforme.

Usar 8 intervalos y un nivel de significancia = a = 0.05.

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Ejercicio 6
Generador:
xn+1 = (57 ·xn) mod 215 – 1

Con semilla = 14, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1.

Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme.
Usar 8 intervalos.
Usar nivel de significancia = a = 0.05.

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Generación de variables aleatorias discretas
Suponga que un determinado fenómeno aleatorio tiene la siguiente distribución de probabilidad:
0 ? R ? 0.3 entonces x = 18 grs.
0.3 < R ? 0.7 entonces x = 19 grs.
0.7 < R ? 1 entonces x = 20 grs.
Para esto, se necesitan números aleatorios R entre 0 y 1.

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Usar el generador:
xn+1 = (57 ·xn) mod 215 – 1 Con semilla = 1.

Generar 100 valores de la distribución:

Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución de probabilidad anterior (a = 0.05).
Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza.

Ejercicio 7

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=NORMINV(RAND(),500,50)
aleatorio entre 0 y 1
(puedes usar tu propio generador)
media
desv. std.
Números aleatorios con distribución normal
En Excel.

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Ejercicio 8
Usar el generador:
xn+1 = (59 ·xn) mod 217 – 1 Con semilla = matrícula menor del equipo.

Generar 500 valores de la distribución uniforme continua entre 0 y 1 con el generador.

Usar esos valores para generar 500 números aleatorios de la distribución normal con media 100 y desviación estándar 16 (distribución del puntaje de IQ).

Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución normal (a = 0.01).
En la tabla de frecuencias, calcular a mano 3 frecuencias esperadas (mostrar procedimiento usando editor de ecuaciones). Escribir conclusión (sí o no se trata de un buen generador de números normales).

Construir el histograma de frecuencias observadas y el histograma de frecuencias esperadas.

Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza. Indicar qué semillas se usaron y cuál fue el valor del estadístico en cada caso.