Title: Algo de Historia
Body: Es imposible conocer de forma simultánea la frecuencia exacta y el momento exacto en que ocurre esta frecuencia en una señal. Para poder conocer la frecuencia, la señal se debe dilatar en el tiempo, o viceversa.
Cualquier señal de duración corta debe tener un complejo espectro de frecuencias formado por una gran variedad de ondas sinusoidales,
Cualquier señal formada por una combinación simple de unas pocas ondas sinusoidales debe tener una apariencia compleja en el dominio del tiempo
En otras palabras, no podemos esperar reproducir el sonido de un tambor, con una orquesta de diapasones.
Title: Algo de Historia
Body: Ante este problema, se buscó una solución que permitiera trabajar con una señal tanto a baja como a alta resolución, en diferentes ámbitos, llegando a la conclusión, de que era algo que no se iba a lograr con fourier
Quizás al dividir una señal en componentes que no fueran ondas sinusoidales puras sería posible condensar la información tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia?
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: Alfred Haar, introdujo en 1909 las funciones que actualmente se denominan "wavelets de Haar" que consisten en un breve impulso positivo seguido de uno negativo, producen picos y no suavidad
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: En la década de 1930, John Littlewood y R.E.A.C. Paley desarrollaron un método de agrupación de frecuencias por octavas, creando de esta forma una señal con una frecuencia bien localizada (su espectro se encuentra dentro de una octava) y también relativamente bien localizada en el tiempo
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: 1946, Dennis Gabor, presentó la transformación de Gabor, análoga a la transformación de Fourier, que separa una onda en "paquetes de tiempo-frecuencia" o "estados coherentes" que tienen la mayor localización simultánea posible tanto en tiempo como en frecuencia.
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: En las décadas de 1970 y 1980, las comunidades de procesamiento de señales y procesamiento de imágenes presentaron sus propias versiones del análisis de wavelets con nombres tales como "codificación de subbandas", "filtros de duplicación de cuadratura" y "algoritmo piramidal".
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: Todas estas técnicas tenían características similares. Descomponían o transformaban señales en partes que se podían localizar en cualquier intervalo de tiempo y que también se podían dilatar o contraer para analizar la señal a distintas escalas de resolución.
En 1984, la teoría de las wavelets adoptó finalmente su carácter propio
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: Morlet buscaba una mejor forma de buscar petroleo desarrolló su propia forma de analizar las señales sísmicas para crear componentes que estuvieran localizados en el espacio, a los que denominó "wavelets de forma constante"
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: Se pueden construir familias de wavelets adoptando una forma diferente, denominada wavelet madre, y dilatándola, comprimiéndola o desplazándola en el tiempo.
La wavelet madre afecta enormemente a las propiedades de compresión y precisión de la aproximación
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: Meyer, despues de descubrir diversas formas de wavelets ,descubrió una con la propiedad de ortogonalidad que hacía que manipular y trabajar con la transformación de wavelets resultara tan fácil como con una transformación de Fourier.
Mallat, en colaboración con Meyer, demostró que las wavelets están implícitas en el procesos del análisis multiresolución.
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: Gracias al trabajo de Mallat, en el campo del procesamiento de imágenes, las wavelets se convirtieron en algo mucho más sencillo. Ya se podía hacer un análisis de wavelets sin necesidad de conocer la fórmula de una wavelet madre
Title: La Carrera de las Wavelets
Body: Ingrid Daubechies, descubrió una clase completamente nueva de wavelets, que no sólo eran ortogonales (como las de Meyer) sino que también se podían implementar mediante sencillas ideas de filtrado digital, de hecho, mediante cortos filtros digitales.
Los procesadores de señales disponían ahora de una herramienta de ensueño: una manera de descomponer datos digitales en contribuciones de diversas escalas.
Title: Ahora si, Wavelets!
Body: Gráficos de varios tipos distintos de wavelets. (a) Wavelet de Haar, (b) Wavelet de Daubechies, (c) Wavelet de Morlet.
Title: Ahora si, Wavelets!
Body: (a) Las imágenes superiores muestran la señal original, que presenta saltos y tramos suaves
(b) una versión con ruido de la señal, de la que se desearía "eliminar el ruido"
(c) En la parte inferior, el resultado de la eliminación de ruido mediante las wavelets de Haar produce una línea irregular
(d) en contraste, si se utilizan las wavelets de Daubechies producen una curva más suave
Title: Una Explicación más detallada
Body: El problema que plantea el análisis de una señal con Fourier se resume en la nula resolución en el dominio del tiempo, a pesar a su resolución perfecta en el dominio de la frecuencia.
Como solución a este problema, se planteo el análisis de Fourier por ventanas o STFT Transformada de Fourier Corta
Title: Una Explicación más detallada – Transformada de Fourier
Body: a. Señal
b. Contenido Espectral obtenido con la transformada de Fourier
Title: Una Explicación más detallada Transformada de Fourier
En este caso, la transformada muestra un espectro correcto pero con la amplitud disminuida a la mitad, debido a que cada componente solo se encuentra la mitad del tiempo y no se puede saber en que momento estuvo cual componente de frecuencia
Title: Una Explicación más detallada Transformada de Fourier – Ventaneado
Ahora se tratará la misma señal pero aplicando el “ventaneado”
Usaremos una ventana angosta con alfa=20
Title: Una Explicación más detallada Transformada de Fourier – Ventaneado
Ahora se tratara de aumentar la resolución en frecuencia
Usaremos una ventana amplia con alfa=250
Title: Una Explicación más detallada Wavelets
Body: La transformada wavelet constituye una técnica para el análisis del comportamiento local de una señal. Al igual que la STFT, esta transformada utiliza una función ventana que encuadra una señal dentro de un intervalo y focaliza el análisis sólo en ese segmento de la señal.
La transformada continua wavelet intenta expresar una señal x(t)continua en el tiempo, mediante una expansión de términos o coeficientes proporcionales al producto interno entre la señal y diferentes versiones escaladas y trasladadas de una función prototipo Y(t) más conocida como wavelet madre
Title: Una Explicación más detallada Wavelets
Transformada continua wavelet
a controla el ancho o soporte efectivo de la función , y la variable b da la ubicación en el dominio del tiempo de Y
Title: Una Explicación más detallada Wavelets
Body: ?(0)=0, significa que el valor medio de f=0 por lo que f debe tener valores positivos y negativos, de modo que f debe ser una onda, además como esta definida por a y b en un intervalo de tiempo, la onda es compacta. f decae cuando w=0, y puede ser considerada como un filtro pasabanda
Title: Una Explicación más detallada Wavelets – Variables de escala a y traslación b
Body: Mediante la variable de escala nosotros podemos comprimir (!a! < 1) o dilatar (!a! > 1) la función (t), lo que dará el grado de resolución con el cual se está analizando la señal. Por definición la Transformada Continua Wavelet es mas una representación tiempo – escala que una representación tiempo – frecuencia.
para escalas pequeñas la CWT nos entrega una buena resolución en el dominio del tiempo mientras que
para escalas grandes la CWT nos entrega una buena resolución en el dominio de la frecuencia.
Title: Una Explicación más detallada Wavelets
Body: La diferencia principal entre la CWT y la STFT, es que la primera ocupa ventanas de corta duración para altas frecuencias y ventanas de larga duración para bajas frecuencias mientras que la STFT ocupa una sola ventana con la misma duración tanto para altas frecuencias como para bajas frecuencias.
Title: Una Explicación más detallada Wavelets
Title: Una Explicación más detallada Wavelets
Body: Los valores de a y b deben ser discretizados, por lo que es necesario hallar una transformada discreta
Title: Una Explicación más detallada Wavelets
Title: Ejemplo de compresión
Body: Las wavelets NO comprimen por si mismas, pero son las componentes de la imagen.
Tenemos una imagen de grises con los valores (1,3,7,9,8,8,6,2) donde 0 es blanco y 15 es negro, de modo que podria describir un objeto gris sobre un fondo claro
Podemos calcular el promedio de pixeles adyacentes obteniendo (2,8,8,4), que mantendria el concepto de la imagen suavizado, de esta forma se realizaría compresión, obteniendo (2,2,8,8,8,8,4,4) que sería un degradé de la imagen original.
Si queremos tener una mayor resolución, debemos tener mas información, en este caso (-1,-1,0,2) con lo que obtendriamos la imagen original. Si hacemos esto no obtenemos compresión alguna, pero ya descompusimos la imagen en un “fondo” de baja resolución y otra parte de mayor resolución, de modo que en una imagen real, donde las zonas son suaves, la información del detalle, será en su mayoría 0
Title: Compresión – Wavelets
Body: Una propiedad fascinante de las wavelets es que eligen automáticamente las mismas características que nuestros ojos. Los coeficientes de las wavelets que quedan aún tras la cuantización corresponden a píxeles que son muy distintos a sus vecinos, en el borde de los objetos de una imagen. Por tanto, las wavelets recrean una imagen principalmente trazando bordes, que es exactamente lo que hacen los humanos cuando esbozan un dibujo.
Title: Pertinencia Wavelets-Fourier
Body: Una señal de la forma de una onda de diente de sierra. La intensidad de la señal sube continuamente con el tiempo, y entonces baja abruptamente antes de comenzar otra rampa de nuevo. Esta forma simple puede ser representada como una suma de wavelets. Las wavelets de escala gruesa duran a grandes rasgos la duración de la rampa, la parte suave de subida de la onda, mientras que las wavelets de escala fina capturan el salto en la mitad. Ambas transformadas de Fourier y de wavelet nos muestran una descomposición de la señal en bloques de construcción únicos (sinusoides y wavelets). Donde difieren es en su eficiencia para un trabajo en concreto. La señal de diente de sierra, muestreada a 256 observaciones por segundo, es compactamente representada por 16 wavelets. Por otro lado, un análisis de Fourier de la misma señal de diente de sierra necesitaría 256 sinusoides completas debido a la dificultad de la técnica para representar la discontinuidad en la mitad de la señal (Bruce, 1996).
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