La ley de los grandes números

Puesto que el evento Z = z es la unión del par de eventos
disjuntos: (X = k) e (Y = z – k), tendremos:
Decimos que p3(x) es la convolución de p1(x) y p2(x):
p3(x) = p1(x) * p2(x)

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Convolución
La convolución es una operación conmutativa y asociativa.

Visto lo visto, es "fácil" demostrar por inducción cómo será
la suma de n variables aleatorias independientes:
teniendo en cuenta que:

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Veamos un ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado
dos veces. Sea el resultado del primer lanzamiento la variable
aleatoria X1 y del segundo, la variable aleatoria X2 , ambas
con la misma distribución de probabilidad que llamaremos
m(x). Calculemos la función de distribución de probabilidad
para S2 = X1 + X2.
(….)

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Si quisiéramos calcular S3 = X1 + X2 + X3 , tendríamos:
(…)
Este es el resultado
gráfico para la suma
S10 de 10 dados.

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Y estos son los resultados
gráficos para las sumas
S20 y S30 de 20 y 30 dados,
respectivamente.

Observemos que, a medida
que aumenta el número
de dados, tenemos una
curva que se aproxima
más y más a una campana
de Gauss, a una normal.

Veremos por qué más
adelante, cuando hablemos
del teorema central del
límite.

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Suma de variables aleatorias continuas
Si X e Y son dos variables aleatorias continuas e
independientes con funciones densidad de probabilidad
f(x) y g(x) respectivamente, la variable aleatoria Z = X + Y,
tendrá como densidad de probabilidad la convolución
de f y g:

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Suma de dos variables aleatorias uniformes
independientes
Dos distribuciones
uniformes U(0,1).
Obtenemos la
densidad de
probabilidad de la
suma de las dos
variables por
convolución de sus
densidades.

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Observa que, como X e Y varían entre 0 y 1, su suma Z variará entre 0 y 2.

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Convolución de dos densidades de probabilidad
uniformes U(0,1).

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Suma de dos variables aleatorias
exponenciales independientes
Dos densidades
de probabilidad
exponenciales
Exp(?).
Obtenemos la
densidad de
probabilidad de la
suma de las dos
variables por
convolución de sus
densidades.