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Las leyes de Kepler a partir de la conservación de momento angular




Las leyes de Kepler a partir de la conservación de momento angularMonografias.com

La torca Monografias.comproducida por una fuerza central Monografias.comestá dada por la expresión:

Monografias.com(1)

En donde: Monografias.comes un vector de posición

Dado que geométricamente se satisface: Monografias.comII Monografias.com

1a Ley de Kepler. "Los planetas se mueven siguiendo trayectorias cerradas (elípticas) que están contenidas en un plano ( con el sol en uno de sus focos)"

Considerando la siguiente figura:

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En donde:

Monografias.comCorresponde a la fuerza gravitacional entre el sol y la tierra.

Monografias.comCorresponde a la distancia entre el centro del sol y la tierra.

Monografias.comCorresponde a la velocidad tangencial de la tierra en su trayectoria elíptica.

Dado que Monografias.comes radial a la trayectoria de la Tierra alrededor del sol, entonces de la expresión (1) se establece:

SiMonografias.comentonces Monografias.com

(Dado que se satisface: Monografias.com)

Por lo tanto la trayectoria cerrada que describe la tierra alrededor del sol corresponde a un plano.

2a Ley de Kepler. "Durante intervalos iguales de tiempo, una línea que une al sol al planeta (por ejemplo la Tierra) barre áreas iguales en cualquier parte de su trayectoria"

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La magnitud del momento angular en el punto A, esta dado por:

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La magnitud del momento angular en el punto B, esta dado por:

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Dado que las Orbitas son estables entonces:

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Es decir:

Monografias.com(2)

Para la superficie SA se obtiene:

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El área del triangulo ADC es equivalente a SA que esta dada por:

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En donde: Monografias.comsustituyendo este resultado la relación anterior de SA, resulta:

Monografias.com(3)

Ahora:

D F = D A sen ( (4)

Dado que: ( + (A = 180o, es decir: ( = 180o - (A, entonces se satisface:

sen ( = sen (A

Sustituyendo la expresión anterior en la relación (4), resulta:

D F = D A sen (A

Sustituyendo la relación anterior en la ecuación (4), se obtiene:

Monografias.com(5)

Considerando que: Monografias.com

Sustituyendo la relación anterior en la ecuación (5), resulta:

Monografias.com(6)

Dado que:

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Sustituyendo la relación anterior en la expresión (6), resulta:

Monografias.com(7)

En forma análoga si el cuerpo se encuentra en el punto B y se mueve en dirección al punto E, resulta:

Monografias.com(8)

De las condiciones expresadas en las ecuaciones (2), (7) y (8) se infiere:

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Por lo tanto:

SA = SB

3a Ley de Kepler. " El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al sol"

Para una velocidad angular constante (, la aceleración centrípeta ac a lo largo de su trayectoria cerrada, esta dada por:

Monografias.com(9)

Dado que:

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En donde:

T: corresponde al periodo.

Sustituyendo la relación anterior en la ecuación (9), se obtiene:

Monografias.com(10)

Por consideraciones de estabilidad dinámica se estable:

Monografias.com(11)

En donde:

Fg: corresponde a la fuerza gravitacional (central) que actúa entre el sol y el planeta.

Fc: corresponde a la fuerza centrípeta (central) ejercida por la trayectoria del planeta.

Dado que:

Monografias.com(12)

En donde:

mT: corresponde a la masa terrestre.

MS: corresponde a la masa del sol.

G: corresponde a la constante de gravitación universal.

R: corresponde a la distancia del sol y la tierra.

Ahora:

Monografias.com(13)

Sustituyendo (12) y (13) en (11), resulta:

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Es decir:

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Por lo tanto:

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En donde, ( es una constante de proporcionalidad.

BIBLIOGRAFÍA.

-Alonso M y Finn E Física Vol. I Mecánica Edit. Addison- Wesley Iberoamericana (1970)

- McGill D. y King W Mecánica para ingeniería y sus aplicaciones II Dinámica Edit Grupo editorial Iberoamericana (19991)

-Resnick R., Holliday D., Física vol. 1, CECSA, 1993


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