x?Q ? ?ó
1.
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10.
11.
Los números reales, como base de un todo
Números reales
Introducción
Los números racionales
Los números irracionales
Los números reales. La recta real
Valor absoluto de un número real
Radicales. Propiedades
Notación científica
Logaritmos. Propiedades
Algebra
Sucesiónes numéricas
Números reales
Objetivos Mínimos
–
Distiguir los distintos tipos de números reales.
– Saber colocar los distintos tipos de números en la recta real.
Conocer con precisión el significado de los distintos tipos de intervalos numéricos y
semirrectas.
–
Comprender el concepto de valor absoluto de un número real.
– Conocer el concepto de raíz de un número real. Aplicar con precisión las propiedades de los
radicales.
–
Saber operar los números reales escritos en notación científica.
– Comprender el concepto de logaritmo de un número real y aplicar con soltura las
propiedades de los logaritmos.
Introducción.-
Los griegos (s V a.C.) creían que todo el universo se regía por los números naturales y sus
relaciones (fracciones numéricas).
Formaban una especie de secta místico-matemática, que tenía por símbolo la estrella de cinco
puntas (pentágono estrellado).
Cuando descubrieron que la relación que existe entre el lado del pentágono estrellado y el lado
del correspondiente pentágono convexo no se puede expresar como cociente de dos números
enteros, sufrieron una gran conmoción en sus creencias místico-matemáticas.
Les pareció tan contrario a la lógica este resultado que al número correspondiente le
denominaron irracional (contrario a la razón).
Actualmente los irracionales son tan “razonables” como los racionales, y ambos conjuntos
numéricos conforman el conjunto de los números reales.
1. Los números racionales.
Los números racionales se caracterizan porque pueden expresarse como cociente de dos
números enteros. Es decir:
a
b
(b ? 0)/ x ?
x?Q ? ?a,b?Z
También, los números racionales, se caracterizan por su expresión decimal:
?
Periódica
Decimal
?x es entero
?
?x tiene una Expresión
a2
?cuadrado?2 ? 2 ?operando?2b2 ? a2
? ?
2. Los números irracionales.
Ya conocemos, de los cursos de ESO, que hay números que no se pueden poner como
cociente de dos enteros, es decir, hay números no racionales.
Así, por ejemplo,
2 no se puede escribir como cociente de dos enteros:
Demostración (reducción al absurdo)
Supongamos que sí se puede y llegaremos a una contradicción.
b
a
b
elevando
2 ?
Como
b2 es un cuadrado perfecto, contiene el factor (2) un número par de veces. Por tanto
2b2 contendrá el factor (2) un número impar de veces, lo cual es imposible pues 2b2 ? a2 y
a2 es un cuadrado perfecto.
Los números no racionales se les llaman Irracionales.
Acabamos de ver que
2 es irracional y en general:
y
Si
n
p ?Z ? n p es Irracional
p?Z
Ejemplo.
Son irracionales: 3
6; 3; 5;4 12;3 127;3 ?9…
Sin embargo son racionales: 3
27; 9;3 ?8;4 81
De este modo, como vemos, podemos obtener un número no finito de números irracionales.
Ahora bien también conocemos de cursos anteriores otros números (con una denominación
específica por su importancia) que son también irracionales. Quizá el más famoso de éstos sea
el número:
?
que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro:
L
2r
? ?
Otro número irracional (importante) es el llamado
? (número áureo).
Observa que en el rectángulo ABCD si suprimimos
el cuadrado AMCN (rojo) obtenemos el rectángulo
MBND que es semejante al rectángulo ABCD.
Si la longitud de AB es l (l ? AB ) y el lado del
cuadrado AMCN es 1 ( AC ?1) entonces de la
semejanza de los rectángulos ABCD y MBND
tenemos:
?
? l 2 ?l ?1? 0
1
l ?1
l
1
BD
BM
AB
AC
Al resolver esta ecuación de segundo grado
tenemos como solución positiva:
?1,61803…..
5 ?1
2
l ?
5 ?1
2
Al número anterior se le denomina número áureo y se escribe ? ?
? ? l ?
?
1?
?
1?
an ? ?1? ? o sea: e ?lím?1? ?
11;0.11;0.1;?13;?0.3; ;? ;
;43;43.2;?0.001;103;10?3; 2; 9;3 ?8;? 5
Cuando la relación entre los lados del rectángulo ABCD es
5 ?1
2
l
1
AB
AC
o sea si
AB
AC
?? , se dice que el rectángulo ABCD es un rectángulo áureo.
Otro número irracional importante es el llamado número (e), en honor al insigne matemático (L.
Euler).
Es quizá el número más importante en matemáticas superiores, aparece en numerosos
procesos de crecimiento (bacteriano, de una masa forestal,…), aparece también en los
procesos físicos de la desintegración radiactiva, en la descripción de la curva catenaria (curva
que describe una cadena), y en otras muchas curvas como la que describe la distribución del
carácter “talla” de una población estadística (llamada distribución Normal).
En el tema de sucesiones veremos que el número (e) se obtiene como límite de la sucesión:
n n
? n? n?? ? n?
El valor decimal aproximado de este número es:
e ? 2.718281……
Los números irracionales se caracterizan por su expresión decimal diciendo que son
decimales infinitos no periódicos.
Así podríamos determinar infinitos números irracionales. Por ejemplo:
a)3.12112111211112…….
b)1.12345678910111213141516……
?
?
3. Los números reales. La recta real
Al conjunto formado por los números racionales e irracionales se le denomina conjunto de los
números reales y se designa por ? .
Podemos pues recordar en un diagrama, la relación entre los distintos tipos de números que
hemos estudiado a lo largo de estos cursos:
? ? ? 50
? ?
? ?Enteros(Z)?
?:? ? ? 7
? ? 2 ?5
? ?Fraccionarios :1.25, , ,……….
3 7
?Irracinales(I): 2, 5,3 6,?,e,??nºáureo?……………………
Actividades.- observa la siguiente lista de números reales y coloca cada uno en el
recuadro correspondiente (observa que puede estar un mismo número en más de un
recuadro):
5 3 6
?
? 3 5 84
La palabra: “ARITMÉTICA” se usa para definir la Ciencia que estudia los números y las
operaciones entre ellos. Es una palabra que deriva de la griega “ARITMOS” que significa
Número.
La palabra “CÁLCULO” es el conjunto de procedimientos matemáticos encaminados a resolver
un problema. Es una palabra que deriva del latín pues los romanos utilizaban piedras pequeñas
para realizar sus cuentas, a estas piedras se les denomina en latín “CALCULUS”.
La importancia del conocimiento de los números se pone de manifiesto en frases como la dicha
por Filolao (pitagórico s. V a.C.)
Todo lo que se puede conocer tiene un número. Sin el número no conocemos ni
comprendemos nada.
Representación de los números Reales sobre la recta.-
Sabemos que los números racionales se sitúan en la recta de tal manera que en cada tramo de
la misma, por pequeño que éste sea, hay infinitos.
Ahora bien, aunque parezca extraño, una vez colocado los racionales en la recta quedan
infinitos “huecos” que son ocupados por los irracionales.
Entre todos ellos llenamos la recta, es decir, cada punto de la recta se corresponde con un
número real; de ahí el nombre de Recta Real.
Para colocar los números reales sobre la recta se procede así:
? Se coloca el cero en un punto cualquiera de la recta.
? Se coloca el uno, en un punto arbitrario, a la derecha del cero.
? Ahora se coloca cualquier número natural de uno en uno, ordenados de menor a
mayor, a la misma distancia que entre cero y uno.
?
Los enteros negativos se colocan a la izquierda del cero, empezando por -1 y de uno
en uno, a la misma distancia que entre cero y uno.
? Los infinitos huecos que quedan entre los enteros, serán ocupados por los racionales e
irracionales, que se podrán colocar de modo exacto (usando métodos geométricos) o,
aprovechando la expresión decimal de los mismos, de modo aproximado (que es el más
habitual).
Ejemplo.-Representa en la recta real los números:
5; 0,666….;
3,75;
a) de forma exacta:?2;
b) de forma aproximada:? ?1,618……..
Sol.-
a) Expresamos en fracción los números decimales:
2
3
15
4
; 0,666 ?
3,75 ?
b)
Interval
os y Semirrectas.-
Para designar algunos tramos de la Recta Real, existe una nomenclatura que debemos
aprender y trabajar con soltura.
4. Valor absoluto de un número real.
El valor absoluto de un número real nos da su distancia al cero.
La definición matemática es:
?a si a ? 0
??a si a ? 0
5. Radicales. Propiedades.
Hasta ahora conocemos bien las raíces cuadradas (de índice dos).
A partir de ahora debemos conocer bien las raíces de cualquier índice y tendremos que trabajar
con ellas mediante su expresión decimal (exacto o aproximado), o sin efectuar la raíz
(conociendo las propiedades).
? ?a ? ? ? a
1
? a ? a
? ?amn ? ? ? am.nn ? am
5 ;
a ;
a ? a efectivamente:
a ? a
? a?
Llamamos raíz n-ésima de un número a, y se escribe
n
a
a un número “b” que cumple la
siguiente condición:
n
a ? b si bn ? a
“a” recibe el nombre de radicando y “n” de índice de la raíz.
Si
Si
a ? 0; n a
a ?0 ; n a
existe cualquiera que sea el valor de “n”.
existe solamente en el caso de “n” impar.
Las raíces se pueden expresar como potencias. Efectivamente:
a)
n
n
1
a ? a
, pues,
n
n
n
n
? ?
1
b)
n
m
n
am ? a
, pues,
n
? ?
Ejemplo.- Expresa en forma de potencia las raíces siguientes:
3;
;
27;
8;
5;
4;
3
2
3
3
3
a6
a3
2
1
Sol.-
4 ? 4
, efectivamente pues
4
2
2
2
1
2
1
? 21 ? 2
? 2
??22?
Propiedades de los Radicales.-
Los radicales tienen una serie de propiedades que debes conocer para trabajar con ellos con
soltura. Todas estas propiedades son consecuencia inmediata de las propiedades de las
potencias (compruébalo tú, al lado)
1.
p n
n.p
n
p
p
1
n.p
n.p
? a
y
n
n
1
a ? a
2.
n
a.b ? n a.n b
3.
n
n
n
a
b
a
b
?
4.
p
n
? n a p
5.
n m
a ? n.m a
Hay otras dos propiedades importantes de los radicales que usarás con mucha frecuencia:
6. Los radicales distintos solamente se pueden sumar obteniendo (previamente) su expresión
decimal aproximada.
?
52
5? 3
1.3 5
5
52.3 5 53
1.?5? 3?
?5? 3??5? 3?
5
? 3?
52 ?
2 ? 5 ?1,41?2,24 ? 3,65
¡Ojo!
2 ? 5 ? 7
Observa como se pueden sumar radicales idénticos:
5 ? 2 5 ? 3 5
7. Generalmente conviene operar las fracciones sin raíces en los denominadores, para ello hay
que multiplicar denominador y numerador por la expresión adecuada ( esta operación recibe el
nombre de Racionalización)
Ejemplo.
3
3
3
? ?
a) 3
b)
1
1
2
5? 3
22
?
5? 3
25?3
?
5
5? 3
?
3
?
6. Notación científica.
Diremos que un número está escrito en notación científica cuando:
? Tiene una parte entera formada por una sola cifra que no es cero.
? El resto de las cifras significativas forman la parte decimal
? Una potencia de base 10 que nos da el orden de magnitud del número.
Si “n” es un exponente positivo, el número N es “grande”.
Si “n” es un exponente negativo, el número N es “pequeño”.
Para operar números en notación científica utilizaremos la calculadora en modo científico (SCI).
Ahora bien puede resultar conveniente operarlos mentalmente para practicar las operaciones
con potencias.
Ejemplo.-
a)(5,24.106).(6,3.108) ? (5,24.6,3).106?8 ? 33,012.1014 ? 3,3012.1015
b)5,83.109 ?6,932.1012 ? (5,83?6932).109 ? 6937,83.109 ? 6,93783.1012
Calcula tú, en notación científica, las siguientes operaciones indicadas:
a)(7,832.10?5).(1,84.1013) ?
b)2,35.108 ?1,43.107 ?
Para designar órdenes de magnitud grande o pequeña existen algunos prefijos que debemos
conocer:
?e ?? ln?e ?? 3
Fíjate especialmente en los órdenes siguientes:
Giga (mil millones):
109
6
Mega (un millón): 10
Micro (una millonésima): 10
?6
Nano (una milmillonésima): 10
?9
habitualmente
Los demás órdenes de magnitud ya los conocemos por usarlos
en el manejo del SMD.
7. Logaritmos. Propiedades.
Definimos “y”, logaritmo dun número “x” en base “a”, y escribimos
y ? loga x
como el
a y ? x .Resumiendo (de
número “y” al que hay que elevar “a” para obtener “x”, o sea:
modo analítico):
y ? loga x ? ay ? x
Ejemplo.-
log3?27?? 3?33 ? 27; log3?3??1?31 ? 3; log3?81?? 4 ?34 ?81
log10?100?? 2 ?102 ?100; log10?1000?? 3?103 ?1000; log10?0??1?100 ?1
El logaritmo en el que la base es diez se llama “decimal” y resulta ser el más utilizado en
matemáticas(aparece en el teclado de la calculadora como:log )
El logaritmo en el que la base es el número irracional(e) se denomina “neperiano” (en honor al
matemático que los inventó apellidado Neper), y resultan ser enormemente importantes en
3 3
matemáticas superiores.
En la calculadora aparece en la tecla:ln Así:loge
PROPIEDADES
Los logaritmos de los números verifican unas propiedades interesantes desde el punto de vista
práctico:
? Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Es decir:
Si
x1 ? x2 ? loga?x1?? loga?x2?
?
?
El logaritmo de la base vale 1, es decir:
loga?a??1
El logaritmo de 1 es cero cualquiera que sea la base, es decir:
loga?1?? 0
La demostración de las dos últimas propiedades es evidente a partir de la definición de
logaritmo, y las propiedades de las potencias de los números.
?
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de
los factores. Es decir:
? y2 ? a y1?y2 y por tanto:
?
?
loga? ? 1 ? ? ? loga a y1?y2 ? y1 ? y2 ? loga?x1??loga?x2?
? x?? logn?x?
loga?x1.x2?? loga?x1??loga?x2?
Demostración.
Si loga?x1?? y1 ? a y1 ? x1 y si loga?x2?? y2 ? a y2 ? x2
y y2
loga?x1.x2?? loga?a y1?y2?? y1 ? y2 ? loga?x1??loga?x2?
?
El logaritmo de un cociente de dos números es igual a la resta del logaritmo del
numerador menos el logaritmo del denominador.
? x ?
? x2 ?
Demostración.
Si loga?x1?? y1 ? a y1 ? x1 y si loga?x2?? y2 ? a y2 ? x2
En consecuencia:
a y1
a
x1
x2
?
? x ?
? x2 ?
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la
base de la potencia.
loga?xn?? n.loga?x?
Demostración.
n veces
n
producto.
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la
?
raíz.
n a
loga
Demostración.
n
1
Basta tener en cuenta que: n x ? x
y aplicar la propiedad del logaritmo de una potencia.
?
Cambio de base. El logaritmo en base
a
de un número real
x
se puede obtener a
logb x
logb a
partir de logaritmos en otra base b mediante:
loga x ?
Demostración.
Si loga?x?? y ? a y ? x; logb?x?? z ?bz ? x ; logb?a?? t ?bt ? a
Sustituyendo en la igualdad:
a y ? x las otras dos tenemos:
z
t
y
logb x
logb a
? loga x ?
? bz ? bt.y ? bz ? t.y ? z ? y ?
a y ? x ??bt?
Ejemplo.-
Calcula usando la calculadora y el cambio de base (cuando sea necesario).
log50.04 ?
log5 300 ?
log8 0.004 ?
log2128 ?
log7 532 ?
log2 740 ?
log5125 ?
log21?
log3100 ?
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Algebra
1.
2.
3.
Polinomios. Fracciones algebraicas
Ecuaciones y sistemas.
Inecuaciones y sistemas.
Objetivos Mínimos
–
Conocer la definición de polinomio en una indeterminada.
Operaciones con polinomios (suma, resta ,producto y cociente).
Regla de Ruffini y teorema del resto.
Raíces de un polinomio, divisibilidad y factorización de polinomios.
Definición de fracción algebraica. Operaciones con fracciones algebraicas.
– Repaso general de todo tipo de ecuaciones estudiadas en la ESO.
Aplicar las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
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