Inecuaciones lineales. Interpretación geométrica
Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones:
El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0
El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0
El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0
A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación.
La recta x – y + 1 = 0 divide al plano en las siguientes tres regiones:
(Gp:)
(Gp:) ¿Cuál es la región factible
(Gp:)
(Gp:) del sistema
(Gp:) î
(Gp:) ï
(Gp:) í
(Gp:) ï
(Gp:) ì
(Gp:) x
(Gp:) ³
(Gp:) 0
(Gp:) y
(Gp:) ³
(Gp:) 0
(Gp:) x
(Gp:) £
(Gp:) 5
(Gp:) x
(Gp:) –
(Gp:) y
(Gp:) ³
(Gp:) 0
(Gp:)
(Gp:) ?
(Gp:)
(Gp:) x ? 0
y ? 0
Sistemas de inecuaciones lineales. Interpretación geométrica
Cuando deben satisfacerse simultáneamente más de una inecuación estamos ante un sistema de inecuaciones lineales.
El conjunto de soluciones del sistema se puede obtener por la intersección de las diferentes regiones factibles de las inecuaciones.
A dicha región se le llama región factible del sistema.
(Gp:) x = 5
(Gp:) x ? 5
(Gp:) x – y = 0
(Gp:) x – y ? 0
Programación lineal: Un problema de máximos
Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 kg de chocolote, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios a que vende las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50 €, respectivamente. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus ingresos?
La siguiente tabla resume los datos del problema:
Expresamos mediante inecuaciones la información descrita:
x = nº de cajas de tipo A
y = nº de cajas de tipo B
z = nº de € obtenidos por las ventas
Entonces hemos de maximizar z = 13x + 13,50y
Con las restricciones:
3x + 2y ? 500 (por el chocolate almacenado)
x + 1,5y ? 100 (por la almendra almacenada)
x + y ? 85 (por la fruta almacenada)
x ? 0
y ? 0
Programación lineal: Un problema de mínimos
Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo 4000 €. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, ¿cuántos días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana?
La siguiente tabla resume los datos del problema:
Expresamos mediante inecuaciones la información descrita:
x = nº de días de FM
y = nº de días de AM
z = coste en € por los días de emisión
Entonces hemos de minimizar z = 5000x + 4000y
Con las restricciones:
12x + 5y ? 120 (por la música rock)
6x + 8y ? 180 (por la música clásica)
5x + 10y ? 100 (por la información general)
x + y ? 7 (emitir al menos una semana)
x ? 0
y ? 0
Programación lineal: Elementos
La programación matemática es una técnica mediante la cual se permite calcular el valor óptimo (máximo o mínimo, según los casos) de una función objetivo cuyas variables están sujetas a un conjunto de restricciones.
Cuando la función objetivo y las restricciones son lineales, se dice que se está ante un problema de programación lineal.
Un problema de programación lineal consta, por tanto, de los siguientes elementos:
Un conjunto de variables reales x1, x2, …, xn denominadas variables de decisión.
Una función objetivo de primer grado cuyas variables son las variables de decisión y que se pretende optimizar (hallar su máximo o su mínimo). La función objetivo es en realidad la representación matemática del objetivo general de la situación mediante la cual se pretende tomar la mejor decisión.
Un conjunto de restricciones establecidas mediante relaciones lineales entre las variables del problema y que pueden ser de igualdad o de desigualdad.
Formulación matemática
Optimizar (maximizar o minimizar) z = ax + by sujeta a las siguientes restricciones
(Gp:) Función objetivo
Solución posible: cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas la restricciones. Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible.
Solución óptima: un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo.
Un problema de pr. lineal puede tener ninguna, una o infinitas soluciones óptimas.
La región factible puede ser acotada o no acotada.
Si la solución óptima es única, estará en un vértice.
Si hay infinitas soluciones óptimas, estarán en un lado de la región factible.
Resolución analítica
Se deben dar los siguientes pasos:
Se representa gráficamente la región factible.
Se obtienen las coordenadas de todos los vértices de dicha región factible.
Se evalúa la función objetivo en los vértices de la región factible.
Se elige la solución óptima del problema (el vértice que hace mayor o menor la función objetivo).
Al aplicar estos pasos se pueden dar las siguientes posibilidades:
La región factible es acotada.
El problema siempre tiene solución óptima. Puede haber:
Una única solución.
Infinitas soluciones. Dos vértices solución óptimas, el segmento de extremos esos vértices son también soluciones óptimas del problema.
La región factible no es acotada.
Se sigue el mismo criterio que en el caso anterior, pero existe la posibilidad de que no haya solución óptima.
Es preferible utilizar el método gráfico.
Método analítico o de los vértices: problema 1
En un primer paso representamos la región factible.
En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.
R(0, 100/1,5)
Q(55, 30)
P(85, 0)
Finalmente evaluamos la función objetivo z = 13x + 13,50y en cada vértice, para obtener el máximo.
z(P) = 13 · 85 + 13,50 . 0 = 1105 €
z(Q) = 13 · 55 + 13,50 . 30 = 1125 €
z(R) = 13 · 0 + 13,50 · 100/1,5 = 900 €
Método analítico o de los vértices: problema 2
En un primer paso representamos la región factible.
En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.
R(0, 10)
Q(7.37, 6.32)
P(10, 0)
Finalmente evaluamos la función objetivo z = 5000x + 4000y en cada vértice, para obtener el mínimo.
z(P) = 5000 · 10+4000 · 0 = 50000 €
z(Q) = 5000 · 7,37+4000 · 6,32 = 62130 €
z(R) = 5000 · 0+4000 · 10 = 40000 €
z(S) = 5000 · 0+4000 · 7 = 28000 €
z(T) = 5000 · 7+4000 · 10 = 35000 €
T(7, 0)
S(0, 7)
Resolución geométrica
Se deben dar los siguientes pasos:
Se representa gráficamente la región factible.
Si la función objetivo es z = ax + by, se representa gráficamente la recta inicial ax + by = 0 y se la considera movible de forma paralela a lo largo del eje OY.
Método gráfico o de la recta móvil: problema 1
Representamos la región factible.
Representamos el vector director de la función objetivo.
Trazamos rectas paralelas al vector director que pasen por los vértices: P, Q, R.
El óptimo del problema ha de estar en Q ya que la recta que pasa por él tiene mayor ordenada en el origen que las demás.
Es decir, es donde z = 13x + 13,50y
alcanza el mayor valor
Método gráfico: problema 2
Representamos la región factible.
Representamos el vector director de la función objetivo.
Trazamos rectas paralelas al vector director que pasen por los vértices: P, Q, R, S y T.
El óptimo del problema ha de estar en S ya que la recta que pasa por él tiene menor ordenada en el origen que las demás.
Es decir, es donde
z = 5000 x + 4000y
alcanza el menor valor
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