– Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atención fijo.
– Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención varía de acuerdo a la cantidad de clientes.
– Cuando el tiempo de atención varía, este se trata como una variable aleatoria.
– La distribución exponencial es usada, en algunos casos, para modelar el tiempo de atención del cliente.
Distribución exponencial del tiempo de atención
(Gp:) f(X) = me-mX
donde m = es el número de clientes promedio
que pueden ser atendidos por período de tiempo.
(Gp:) Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”
P(X t) = 1 – e-mt
Ilustración esquemática de la distribución exponencial
Probabilidad de que la atención sea completada
dentro de “ t “ unidades de tiempo
X = t
f(X)
Medida del performance de los sistemas de colas
El performance puede ser medido concentrandose en:
– Los clientes en la cola
– Los clientes en el sistema
Los períodos transitorios y estáticos complican el análisis del tiempo de atención.
Un período transitorio ocurre al inicio de la operación.
– Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución.
Un período estacionario sigue al período transitorio.
– En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.
– De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención efectiva.
l< m l< m1 +m2+…+mk l< km
Para un servidor Para k servidores Para k servidores con tasa se serv. m
cada uno
Medida del performance en períodos estacionarios.
P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.
Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
L = número de clientes promedio en el sistema.
Lq = número de clientes promedio en la cola.
W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema.
Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola.
Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido.
r = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo que cada servidor es ocupado).
Formulas
– Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq.
– Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:
* Sistemas de colas simples
* Los clientes llegan según una tasa finita de llegada
* El sistema opera bajo las condiciones de períodos estacionarios.
L = l W Lq = l Wq L = Lq + l / m
Para el caso de una población infinita.
Clasificación de las colas.
– Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:
+ Proceso de llegada de clientes
+ Proceso de atención
+ Número de servidores
+ Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas)
+ Tamaño de la población
– Notación
+ M (Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de atención exponencial.
+D (Determinístico) = Tasa constante de llegada o de atención
+G (General) = Probabilidad general de llegada o de atención
Ejempo:
M / M / 6 / 10 / 20
Sistema de colas M/M/1
Características
– Proceso de llegada Poisson.
– El tiempo de atención se distribuye exponencialmente
– Existe un solo servidor
– Cola de capacidad infinita
– Población infinita.
Medidas del Performance para la cola M / M /1
P0 = 1- (l / m)
Pn = [1 – (l / m)] (l/ m)n
L = l / (m – l)
Lq = l 2 / [m(m – l)]
W = 1 / (m – l)
Wq = l / [m(m – l)]
Pw = l / m
r = l / m
La probabilidad de que
un cliente espere en
el sistema más de
“t” es P(X>t)= e-(m – l)t
Zapatería Mary’s
Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson.
El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.
La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.
SOLUCION
Datos de entrada
l = 1/ 12 clientes por minuto = 60/ 12 = 5 por hora.
m = 1/ 8 clientes por minuto = 60/ 8 = 7.5 por hora.
Calculo del performance
P0 = 1- (l / m) = 1 – (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 – (l / m)] (l/ m) = (0.3333)(0.6667)n
L = l / (m – l) = 2
Lq = l2/ [m(m – l)] = 1.3333
W = 1 / (m – l) = 0.4 horas = 24 minutos
Wq = l / [m(m – l)] = 0.26667 horas = 16 minutos
(Gp:) Pw = l / m = 0.6667
(Gp:) r = l / m = 0.6667
(Gp:) m
l
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Medidas de performance
Sistema de cola M/M/k
Características
– Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una esperanza l.
– El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.
– Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de m clientes.
– Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas filas.
Medidas de performance
Para n< = k
Para n > k
Las medidas del performance L, Lq, Wq,, pueden ser obtenidas
por las formulas.
OFICINA POSTAL TOWN
La oficina postal Town atiende público los Sábados entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.
Datos
– En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal durante este período. La oficina tiene tres dependientes.
– Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.
– La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.
La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:
La evaluación del nivel de servicio prestado.
El efecto de reducir el personal en un dependiente.
SOLUCION
Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
Datos de entrada
l = 100 clientes por hora.
m = 40 clientes por hora (60 / 1.5).
Existe un período estacionario (l < km )?
l = 100 < km = 3(40) = 120.
Sistemas de colas M/G/1
Supuestos
– Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con esperanza l.
– El tiempo de atención tiene una distribución general con esperanza m.
– Existe un solo servidor.
– Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de infinitas filas.
Formula para L de Pollaczek – Khintchine.
– Nota : No es necesario conocer la distribución particular del tiempo de atención. Solo la esperanza y la desviación estándar
son necesarias.
TALLER DE REPARACIONES TED
Ted repara televisores y videograbadores.
Datos
– El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas.
– La desviación estándar del tiempo de reparación es de 45 minutos.
– Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribución Poisson.
– Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.
– El compra todos los repuestos necesarios.
+ En promedio, el tiempo de reparación esperado debería ser de 2 horas.
+ La desviación estándar esperada debería ser de 40 minutos.
Ted desea conocer los efectos de usar nuevos
equipos para:
1. Mejorar el tiempo promedio de reparación
de los artefactos;
2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar
un cliente hasta que su artefacto sea reparado.
SOLUCION
Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención no es exponencial pues s 1/m).
Datos
Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)
l = 1/ 2.5 = 0.4 clientes por hora.
m = 1/ 2.25 = 0.4444 clientes por hora.
s = 45/ 60 = 0.75 horas.
Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos)
m = 1/2 = 0.5 clientes por hora.
s = 40/ 60 = 0.6667 horas.
Sistemas de colas M/M/k/F
Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto tamaño límite.
Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, aunquede todas formas la cola debe ser limitada.
Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe estimar un límite para la fila en el modelo.
Características del sistema M/M/k/F
– La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson con una esperanza l.
– Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención se distribuye exponencialmente, con esperanza m.
– El número máximo de clientes que puede estar presente en el sistema en un tiempo dado es “F”.
– Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.
Tasa de llegada efectiva.
– Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.
– La probabilidad de que el sistema se complete es PF.
– La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema (le).
(Gp:) le = l(1 – PF)
COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN
Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman ordenan su servicio.
Datos
– Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas.
– Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio
– En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.
Cuando una línea telefónica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el cliente debe esperar en línea hasta que la secretaria este disponible.
Cuando todas las líneas están ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia.
El proceso de llegada de clientes tiene una distribución Poisson, y el proceso de atención se distribuye exponencialmente.
La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:
– La menor cantidad de líneas necesarias.
– A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.
La gerencia esta interesada en la siguiente información:
El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.
EL número promedio de clientes que están es espera.
El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos.
El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.
SOLUCION
Se trata de un sistema M / M / 1 / 3
Datos de entrada
l = 10 por hora.
m = 20 por hora (1/ 3 por minuto).
WINQSB entrega:
P0 = 0.533, P1 = 0.133, P3 = 0.06
6.7% de los clientes encuentran las líneas ocupadas.
Esto es alrededor de la meta del 2%.
sistema M / M / 1 / 4
P0 = 0.516, P1 = 0.258, P2 = 0.129, P3 = 0.065, P4 = 0.032
3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadas
Aún se puede alcanzar la meta del 2%
sistema M / M / 1 / 5
P0 = 0.508, P1 = 0.254, P2 = 0.127, P3 = 0.063, P4 = 0.032
P5 = 0.016
1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadas
La meta del 2% puede ser alcanzada.
Otros resultados de WINQSB
(Gp:) Con 5 líneas telefónicas
4 clientes pueden esperar
en línea
Sistemas de colas M/M/1//m
En este sistema el número de clientes potenciales es finito y relativamente pequeño.
Como resultado, el número de clientes que se encuentran en el sistema corresponde a la tasa de llegada de clientes.
Características
– Un solo servidor
– Tiempo de atención exponencial y proceso de llegada Poisson.
– El tamaño de la población es de m clientes (m finito).
CASAS PACESETTER
Casas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatro proyectos.
Datos
– Una obstrucción en las obras ocurre en promedio cada 20 días de trabajo en cada sitio.
– Esto toma 2 días en promedio para resolver el problema.
– Cada problema es resuelto por le V.P. para construcción
¿Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra operativo?
-Con 2 días para resolver el problema (situación actual)
-Con 1.875 días para resolver el problema (situación nueva).
SOLUCION
Se trata de un sistema M/M/1//4
Los cuatro sitios son los cuatro clientes
El V.P. para construcción puede ser considerado como el servidor.
Datos de entrada
l = 0.05 (1/ 20)
m = 0.5 (1/ 2 usiando el actual V.P).
m = 0.533 (1/1.875 usando el nuevo V.P).
Resultados obtenidos por WINQSB
Análisis económico de los sistemas de colas
Las medidas de performance anteriores son usadas para determinar los costos mínimos del sistema de colas.
El procedimiento requiere estimar los costos tales como:
– Costo de horas de trabajo por servidor
– Costo del grado de satisfacción del cliente que espera en la cola.
-Costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido.
SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS
Wilson Foods tiene un línea 800 para responder las consultas de sus clientes
Datos
– En promedio se reciben 225 llamadas por hora.
– Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.
– Un cliente debe esperar en línea a lo más 3 minutos.
-A un representante que atiende a un cliente se le paga $16 por hora.
-Wilson paga a la compañía telefónica $0.18 por minuto cuando el cliente espera en línea o esta siendo atendido.
– El costo del grado de satisfacción de un cliente que espera en línea es de $20 por minuto.
-El costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido es de $0.05.
Que cantidad de representantes
para la atención de los clientes
deben ser usados para minimizar
el costo de las horas de operación?
SOLUCION
Costo total del modelo
(Gp:) Costo total por horas de
trabajo de “k”
representantes para la
atención de clientes
(Gp:) CT(K) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L – Lq)
Total horas para sueldo
Costo total de las
llamadas telefónicas
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que permanecen en línea
Costo total del grado de satisfacción
de los clientes que son atendidos
(Gp:) CT(K) = Cwk + (Ct + gs)L + (gw – gs)Lq
Datos de entrada
Cw= $16
Ct = $10.80 por hora [0.18(60)]
gw= $12 por hora [0.20(60)]
gs = $0.05 por hora [0.05(60)]
Costo total del promedio de horas
TC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 – 3)Lq
= 16K + 13.8L + 9Lq
Asumiendo una distribución de llegada de los clientes Poisson y una distribución exponencial del tiempo de atención, se tiene un sistema M/M/K
l = 225 llamadas por hora.
m = 40 por hora (60/ 1.5).
El valor mínimo posible para k es 6 de forma de asegurar que exista un período estacionario (l< Km).
WINQSB puede ser usado para generar los resultados de L, Lq, y Wq.
En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.
Conclusión: se deben emplear 8 rep para la atención de clientes
Sistemas de colas Tandem
En un sistema de colas Tandem un cliente debe visitar diversos servidores antes de completar el servicio requerido
Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega de acuerdo al proceso Poisson y el tiempo de atención se distribuye exponencialmente en cada estación.
Tiempo promedio total en el sistema =
suma de todos los tiempo promedios en las estaciones
individuales
COMPAÑÍA DE SONIDO BIG BOYS
Big Boys vende productos de audio.
El proceso de venta es el siguiente:
– Un cliente realiza su orden con el vendedor.
– El cliente se dirige a la caja para v¡cancelar su pedido.
– Después de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para obtener su producto.
Datos de la venta de un Sábado normal
– Personal
+ 8 vendedores contando el jefe
+ 3 cajeras
+ 2 trabajadores de empaque.
– Tiempo promedio de atención
+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un cliente es de 10 minutos.
+ El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de 3 minutos.
+ El tiempo promedio en el área de empaque es de 2 minutos.
-Distribución
+ El tiempo de atención en cada estación se distribuye exponencialmente.
+ La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40 clientes por hora.
Solomante 75% de
los clientes que llegan
hacen una compra
Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,
que un cliente que viene a comprar
demora en el local?
SOLUCION
Estas son las tres estaciones del sistema de colas Tandem
M / M / 8
M / M / 3
M / M / 2
l = 40
l = 30
l = 30
W1 = 14 minutos
W2 = 3.47 minutos
2.67 minutos
Total = 20.14 minutos.
Balance de líneas de ensamble
Una línea de ensamble puede ser vista como una cola Tande, porque los productos deben visitar diversas estaciones de trabajo de una secuencia dada.
En una línea de ensamble balanceada el tiempo ocupado en cada una de las diferentes estaciones de trabajo es el mismo.
El objetivo es maximizar la producción
COMPAÑÍA DE MAQUINAS Mc MURRAY
Mc Murray fabrica cortadoras de césped y barredoras de nieve.
La operación de ensamble de una cortadora consta de 4 estaciones de trabajo.
El tiempo máximo en cada estación de trabajo es de 4 minutos. De este modo, el número máximo de cortadoras que pueden ser producidas es de 15 por hora.
La gerencia desea incrementar la productividad mejorando el balance de las líneas de ensamble.
Datos
La operación completa toma 12 minutos
La estación 2 es una
SOLUCION
Existen diversas opciones de balance para las líneas de ensamble.
– Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de los 3 minutos asignados a cada estación de trabajo.
– Asignar trabajadores ala estación de trabajo de manera tal de balancear la salidas de la estación
– Asignar múltiples estaciones de trabajo para ejecutar cada una de las operaciones.
-Usar técnicas de optimización, para minimizar la cantidad de tiempo ocioso de las estaciones de trabajo.
– Usar heurísticas tales como “Técnica de clasificación de posiciones según el peso” para encontrar el menor número de estaciones de trabajo necesarias para satisfacer las especificaciones del ciclo de tiempo.
Técnica de clasificación de posiciones según el peso.
1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las tareas de las cuales esta es un predecesor.
2. Clasifique las tareas en orden descendiente según el tiempo total.
3. Considere la estación de trabajo 1 como la estación actual.
4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la clasificación si cumplen con las siguientes condiciones:
+ La tarea no ha sido asignada anteriormente.
+ El tiempo de la estación actual no excede el tiempo deseado para el ciclo.
5. Si la segunda condición del paso 4 no se cumple, designe una nueva estación como la estación actual, y asigne tareas a esta.
6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido asignadas a alguna estación de trabajo.
Mc Murray – Continuación
La demanda por las cortadoras de césped ha subido, y como consecuencia el ciclo de tiempo programado debe ser menor que los 3 minutos programados.
Mc Murray desea balancear la línea usando la menor cantidad de estaciones de trabajo.
Datos
Tareas que se requieren para fabricar una cortadora de césped
SOLUCION
Pasos 1 y 2
Tareas seleccionadas según clasificación
Paso 3 y 4
Ciclo de tiempo actual = 170.
Este se debe reducir a 160,
moviendo “K” de la estac. 4
a la estación 5.
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