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Propiedades de los detectores de contorno 1
La detección de contornos es un paso típico, previo a muchos procesos de segmentación.
La visión humana emplea mucho la detección de contornos.
Hay dos tendencias:
Uso de derivadas.
Encaje de modelos.
Un buen detector de contorno debería verificar:
El contorno obtenido debe ser fino. (única respuesta).
El contorno debe aparece en su lugar correcto, no estar desplazado.
No debe mostrar respuestas en regiones uniformes. (Buena detección)
Los contornos implican cambios bruscos en los niveles de gris:
Esto es una señal de alta frecuencia. La derivada de la función de intensidad luminosa es alta, más cuanto más fuerte sea el contorno.
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Detectores de contorno derivativos
(Gp:) Derivada primera
(Gp:) Derivada segunda
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Propiedades de los detectores de contorno 2
Un filtro derivativo de orden p corresponde a una multiplicación por (ik)p en el espacio frecuencial (k=frecuencia).
Sin desplazamiento:
En los filtros de promediado implica que la función de transferencia es real y que la máscara de convolución es simétrica.
Para un filtro derivativo de primer orden la función de transferencia debe ser imaginaria y la máscara de convolución antisimétrica. (h-n = – hn ).
Para una máscara con nº pixels impar => pixel central=0.
Un filtro derivativo de 2º orden debe ser simétrico, como los de suavizamiento.
Supresión del valor medio, no deben responder a niveles continuos.
La suma de los coeficientes debe ser cero
La función de transferencia debe ser 0 para k=0.
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Propiedades de los detectores de contorno 3
Derivación no selectiva, amplifica más las escalas pequeñas que las grandes, la función de transferencia debería incrementarse con la frecuencia monótonamente.
Propiedades de simetría, para permitir el cálculo de la convolución de manera más eficiente.
También ayuda en el uso de la función de transferencia pues solo existen términos en senos (imaginarios).
Isotropía, no debe haber direcciones privilegiadas. Esta propiedad se puede analizar mejor estudiando las funciones de transferencia.
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Detectores de contorno basados en derivadas
Hay dos clases principales de detectores
Emplean derivadas de primer orden.
Emplean derivadas de 2º orden.
Se puede utilizar el vector gradiente que da información de la dirección de máxima variación de la magnitud.
El módulo del gradiente informa acerca de la fuerza del borde.
La dirección de contorno viene dada por:
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Aproximaciones al gradiente
Diferencias discretas de primer orden .
Calculo en dos dimensiones
Detección de filas
Detección de columnas
Combinación del gradiente
F(j,k)
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Operadores de gradiente
El gradiente se puede calcular por aproximación discreta:
También es posible calcular la laplaciana de manera discreta.
Este último operador no suele emplearse directamente, produce bordes dobles y es muy sensible al ruido. Sin embargo sus pasos por cero si son buenos indicadores de contornos.
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Detección con máscaras múltiples
Se toma una base de vectores y se proyecta sobre ella una vecindad de pixels.
En esencia se basa en realizar convoluciones con una serie de máscaras que forman una base.
Se calcula el módulo para cada proyección.
La respuesta mayor da ya el módulo y la dirección del gradiente.
3 de las 12 máscaras de Kirsch.
En esencia se correla la imagen con patrones en todas las direcciones posibles.
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Detección de contornos con operadores de gradiente 1
Imagen original con borde
en escalón
0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 0
0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 0
0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 0
0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 0
0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 0
0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 0
0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 0
20
Detección de contornos con operadores de gradiente 2
(Gp:) 0 0 20 20 0 0 0 20 20 0 0
0 0 30 30 0 0 0 30 30 0 0
0 0 30 30 0 0 0 30 30 0 0
0 0 30 30 0 0 0 30 30 0 0
0 0 30 30 0 0 0 30 30 0 0
0 0 30 30 0 0 0 30 30 0 0
0 0 20 20 0 0 0 20 20 0 0
(Gp:) 1 0 -1
2 0 -2
1 0 -1
(Gp:) Sobel
(Gp:) 0.1667 0.6667 0.1667
0.6667 -3.3333 0.6667
0.1667 0.6667 0.1667
(Gp:) Laplaciana
(Gp:) 0 0 8 18 9 9 9 18 8 0 0
0 0 10 9 0 0 0 9 10 0 0
0 0 10 9 0 0 0 9 10 0 0
0 0 10 9 0 0 0 9 10 0 0
0 0 10 9 0 0 0 9 10 0 0
0 0 10 9 0 0 0 9 10 0 0
0 0 8 18 9 9 9 18 8 0 0
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Imagen de prueba, bordes en rampa
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Detección de contornos en rampa
(Gp:) 0 0 0 12 24 24 24 24 12 0 0 0
0 0 0 16 32 32 32 32 16 0 0 0
0 0 0 16 32 32 32 32 16 0 0 0
0 0 0 16 32 32 32 32 16 0 0 0
0 0 0 16 32 32 32 32 16 0 0 0
0 0 0 16 32 32 32 32 16 0 0 0
0 0 0 16 32 32 32 32 16 0 0 0
0 0 0 12 24 24 24 24 12 0 0 0
(Gp:) Con operador de Sobel
(Gp:) 0 0 0 3 3 8 11 15 23 19 19 19
0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0
0 0 0 3 3 8 11 15 23 19 19 19
(Gp:) Con operador de Laplace
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Detección de contornos con filtros de Sobel
(Gp:) Imagen original
Imagen filtrada
(Gp:) Contornos horizontales
Contornos verticales
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Detectores de gradientes
Máscaras comunes para el cálculo de gradientes.
(Gp:) Gradiente de fila
(Gp:) Gradiente de columna
(Gp:) Gradiente de fila
(Gp:) Gradiente de columna
Hf(i,j)
Hc(i,j)
| · | +| · |
F(i,j)
> umbral en (i0,j0) ?
|G(i,j)|
Si, es punto de borde
No, no es punto de borde
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Combinación de suavizado y gradiente
Para que el operador gradiente sea menos vulnerable al ruido puede suavizarse la imagen previamente.
HG es un operador cualquiera de gradiente y HS lo es de suavizado.
Un operador que combina gradiente y suavizado de manera más eficaz es DroG (“Derivative of Gaussian”).
26
DroG
Dado que gradiente y convolución son operadores lineales:
El operador DroG se define, teniendo en cuenta el carácter separable de la gaussiana:
Es preciso discretizar esta fórmula, dependerá del valor de ?.
27
Detección con Laplaciana de la Gaussiana.
Este tipo de detección se realiza en varios pasos:
Convolución de la imagen con una máscara de Gauss G(x,i).
Convolución del resultado con una máscara de Laplace.
Detección de los pasos por cero de la imagen resultado.
Tiene varias propiedades que simplifican su uso:
Los operadores son conmutativos, por lo que para una varianza dada puede derivarse un filtro único llamado LOG.
Es separable en 4 convoluciones unidimensionales (reduce las operaciones del orden n2 a 4n).
28
El operador LOG
El operador Laplaciana es muy sensible al ruido, por lo que se combina con la Gaussiana.
El operador LoG presenta simetría radial y se parece a un sombrero mejicano.
La combinación de un filtro pasa-baja (gaussina) y pasa-alta (Laplaciana) da lugar a un filtro pasa banda controlado por ?.
Su calculo se puede separar.
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El operador DOG
Una alternativa a la expresión anterior es aproximar el cálculo de LOG por una Diferencia de Gaussianas (DOG) para desviaciones típicas ?1 < ?2
Marr y Hildreth demostraron que la proporción ?2 / ?1=1.6 es la que mejor se aproxima al operador LOG.
Al igual que sucede con la Laplaciana los cruces por cero obtenidos tras aplicar el LOG suelen producir contornos cerrados.
Tras aplicar LOG (DOG) se requiere detectar los cruces por cero.
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Detector de Marr y Hildreth
Establecieron que los cambios de intensidad en imágenes reales ocurren sobre un amplio rango de escalas o resoluciones. Un único filtro no pude ser óptimo para todas ellas.
Proponen un suavizado previo a distintas escalas o niveles.
Después detectan los cambios de intensidad en cada nivel.
A la hora de suavizar una imagen se considerará:
Debe reducir el rango de escalas en el que se producirán cambio de intensidad. Su actuación debe estar localizada en frecuencia.
Las discontinuidades se originan por distintos motivos. En el dominio espacial todos estos cambios pueden producirse a distintas escalas espaciales.
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Detección de contornos con laplaciana de la gaussiana (LOG)
(Gp:) Imagen original
(Gp:) Filtrada con varianza 2.3
(Gp:) Filtrada con varianza 1.5
(Gp:) Filtrada con varianza 0.8
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Detector de Canny
Está basado en un desarrollo analítico de optimización partiendo de un modelo continuo unidimensional de un escalón.
La función h buscada debe satisfacer los criterios:
Buena detección maximizando la relación señal ruido
Buena localización
Respuesta única
En señales bidimensionales discretas el operador de Canny se aproxima mediante la derivada de la Gaussina en la dirección perpendicular al borde.
Calcular módulo y gradiente de la imagen suavizada aplicando DroG
En la dirección del gradiente eliminar los puntos que no sean máximos locales (equivale a buscar pasos por 0)
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Segmentación de la imagen
Es el proceso que divide la imagen en regiones u objetos cuyos píxeles poseen atributos similares (niveles de gris, textura etc.)
Se pueden clasificar en :
Técnicas basadas en la detección de fronteras
Técnicas de umbralización.
Técnicas basadas en el agrupamiento de píxeles..
En las dos últimas categorías se estima que:
Píxeles de una misma región deben ser similares.
Píxeles de regiones distintas deben ser no-similares.
Las regiones resultantes deben tener cierto significado para el procesamiento posterior.
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Enlazado de bordes y detección de límites
Idealmente, tras pasar un detector de contornos, se obtendrían líneas continuas de alta intensidad sobre un fondo oscuro pero:
El ruido introduce puntos espureos.
Una iluminación no uniforme falsea los contornos.
Hay contornos que pueden aparecer debilitados.
Se deben aplicar algoritmos de seguimiento de contornos, algunos métodos son:
Procesamiento local.
Procesamiento global con la transformada de Hough.
Procesamiento global con técnicas de la teoría de grafos.
35
Procesamiento local.
Se analizan las características de los pixels en una pequeña vecindad (3*3 o 5*5) respecto a cada (x,y) susceptible de pertenecer a un contorno. Luego se enlazan.
Las propiedades que se suelen analizar son:
Intensidad (módulo) del gradiente.
Dirección del gradiente.
T,A umbrales
Un punto en una vecindad de (x,y) estará enlazado con el mismo si satisface los criterios anteriores.
El proceso se repite para cada punto de la imagen actualizandose un registro.
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Procesamiento global con la transformada de Hough 1.
Busca enlazar puntos que se encuentran en una curva específica.
Búsqueda de rectas en un subconjunto de n puntos.
La ecuación de una recta se puede expresar como:
Se hace un cambio de espacio paramétrico.
(Gp:) y
(Gp:) x
(Gp:) (xi,yi)
(Gp:) b
(Gp:) (xj,yj)
(Gp:) b
(Gp:) a
(Gp:) (a’,b’)
(Gp:) yi
(Gp:) yj
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Procesamiento global con la transformada de Hough 2.
Se subdivide el nuevo espacio en células acumuladoras. Inicialmente
todas las celdas a cero. Para cada (xk,yk) del plano imagen se prueba con cada ai de los acumuladores y se busca el b correspondiente según la expresión de la recta vista antes. Se redondea al b más próximo y se incrementa el acumulador ai,bj.
Las rectas corresponderán a los acumuladores más altos.
El algoritmo resulta computacionalmente más eficiente expresando la recta en coordenadas polares.
Existen versiones generalizadas para detectar otras figuras geométricas (círculos, elipses etc.)
(Gp:) bmin
(Gp:) bmax
(Gp:) 0
(Gp:) 0
(Gp:) amin
(Gp:) amax
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Ejemplo de transformada de Hough
Imagen con recta vertical en el centro
Espacio de acumuladores
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Procesamiento global por medio de la teoría de grafos
Es un proceso más complicado pero con buenos resultados aún con imágenes ruidosas.
Se establece un grafo, formado por un conjunto N de nodos y un conjunto de pares desordenados de elementos de N (arcos).
Los arcos se dirigen de nodo ni al nj, entonces nj se dice sucesor de ni.
Se asocia un coste c(ni,nj) con cada arco.
Una sucesión de nodos acarrea un coste.
Se debe establecer un tipo de vecindad.
Se decide cual es la función de coste que interesa.
Se expande el grafo desde un nodo fuente hasta llegar a un nodo meta.
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