11
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Recinto de integración para el cálculo
de esa probabilidad
12
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
x=y
13
1 Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
x=y
14
2 Distribuciones marginales
Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importante
distinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribución
de probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de
cada variable se le denomina distribución marginal.
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta
las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son:
Son funciones de probabilidad
Se puede calcular su esperanza,
varianza, etc.
15
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1×10-5
3 4.1×10-5 1.84×10-3
2 1.54×10-5 1.38×10-3 3.11×10-2
1 2.56×10-6 3.46×10-4 1.56×10-2 0.2333
0
1.6×10-7 2.88×10-5 1.94×10-3 7.83×10-2 0.6561
X
Y
La función de probabilidad
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
16
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561
X
Y
La función de probabilidad
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
17
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1×10-5
3 4.1×10-5 1.84×10-3
2 1.54×10-5 1.38×10-3 3.11×10-2
1 2.56×10-6 3.46×10-4 1.56×10-2 0.2333
0
1.6×10-7 2.88×10-5 1.94×10-3 7.83×10-2 0.6561
X
Y
La función de probabilidad
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
18
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
4 0.00004
3 0.00188
2 0.03250
1 0.24925
0
0.71637
X
Y
La función de probabilidad
marginales se obtendrían
sumando en ambas
direcciones
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
2 Distribuciones marginales
19
2 Distribuciones marginales
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta
las funciones de densidad marginales de ambas variables son:
Son funciones de densidad
Se puede calcular su esperanza,
varianza, etc.
20
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor
se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el
servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por
2 Distribuciones marginales
21
Ejemplo
Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjunta
en el recinto adecuado
Calcular la función de densidad marginal
de Y y calcular esa probabilidad
2 Distribuciones marginales
22
Ejemplo
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjunta
en el recinto adecuado
Y
2 Distribuciones marginales
23
Ejemplo
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Podemos resolverlo de dos formas:
Calcular la función de densidad marginal
de Y y calcular esa probabilidad
Y
0
2 Distribuciones marginales
24
Ejemplo
Y
1000
2000
3000
Podemos resolverlo de dos formas:
Calcular la función de densidad marginal
de Y y calcular esa probabilidad
Y
0
2 Distribuciones marginales
25
2 Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento
de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian
con los valores de la otra variable
Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
Mide el tamaño
de uno con
respecto al otro
26
2 Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimiento
de una de las variables puede afectar las probabilidades que se asocian
con los valores de la otra variable
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta
la funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x0:
Para un valor genérico de x
Podemos calcular su esperanza,
varianza, etc.
27
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0
si X=3, Y=0 ó 1
Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y
2 Distribuciones condicionadas
28
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de información
digital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o no
aceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.
Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptables
Y = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1
Número esperado de bits sospechosos cuando en número de aceptables es 3
2 Distribuciones condicionadas
29
2 Distribuciones condicionadas
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjunta
la función de densidad de Y condicionada a X
Es función de densidad
Se puede calcular su esperanza,
varianza, etc.
30
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor
se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el
servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por
¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza
como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado el
servidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos?
2 Distribuciones condicionadas
31
Ejemplo
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Y
0
2 Distribuciones condicionadas
32
Ejemplo
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Y
0
2 Distribuciones condicionadas
33
3 Independencia entre variables aleatorias
En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede
no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores
de la otra variable
Independientes
Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):
34
3 Independencia entre variables aleatorias
Variables Discretas
Diremos que dos variables son independientes si:
35
3 Independencia entre variables aleatorias
Variables Continua
Diremos que dos variables son independientes si:
36
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidor
se conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el
servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por
3 Independencia entre variables aleatorias
Para todos los valores de x
¿son X e Y independientes?
37
4 Características de un vector aleatorio
Esperanza
Dadas n v.a. definimos el vector n-dimensional
La función de probabilidad/densidad del vector es la función de
probabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector.
Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son
las medias o esperanzas de cada componente.
38
4 Características de un vector aleatorio
Covarianza
Primero comenzamos por definir la covarianza entre dos variables:
Es una medida de la relación lineal entre dos variables
Propiedades
Si son independientes ya que
Si sean independientes
Si hacemos un cambio de origen y escala:
39
4 Características de un vector aleatorio
Covarianza
¿Cómo lo calculamos?
Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variables
aleatorias:
40
4 Características de un vector aleatorio
´Covarianza positiva Covarianza cero
Covarianza negativa Covarianza cero
Hay relación
pero no
lineal
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