Análisis de Fourier
Encontrar información “escondida” dentro de los datos:
– Limpiarla (ruido)
– Ubicar patrones
– Compactarla
– Reacomodarla
Técnicas empleadas
– Transformaciones de Fourier
– Filtrado Digital
– Convolución y Correlación
Aplicaciones:
Óptica
Astronomía
Geología
Análisis Químico
Materiales
Computación
Medicina
Acústica
Música
Video
Series de Fourier
Cualquier señal periódica continua se puede representar como una serie infinita de senos y cosenos de diferentes amplitudes cuyas frecuencias son harmónicas de la frecuencia de la señal. Esto es lo que se conoce como la serie de Fourier de la señal.
Una Función Periódica f(t) tiene la siguiente propiedad para todo valor de t.
f(t)=f(t+T)
A la constante mínima T para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función
Repitiendo la propiedad se puede obtener:
f(t)=f(t+nT), donde n=0,?1, ? 2, ?3,…
Serie Trigonométrica de Fourier
Las Funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+…
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+…
Donde w0=2p/T.
Es decir,
Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como
Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:
Con lo cual la expresión queda
(Gp:) an
(Gp:) bn
(Gp:) qn
Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como
Así,
y
Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t).
A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)
A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,…,b1,b2,…
Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
Functiones Ortogonales
Un conjunto de funciones {?k} es orthogonal en el intervalo a < t < b si se cumple que
Functiones senoidales ortogonales
?0=2?/T.
Multiplicando ambos miembros de la identidad por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:
Solución: La expresión para f(t) en –T/2