ANTOLOGÍA (SISTEMAS NUMÉRICOS), POR CARLOS CEDILLO NAKAY Y
MÓNICA TALIA VIOLETA SIERRA PEÓN
INTRODUCCION
La presente antología fue desarrollada con el propósito de auxiliar a los alumnos
que se introducen en el estudio de los temas de Sistemas Combinacionales en el
de área de Comunicaciones y Electrónica
El tema abordado dentro de este campo son los Sistemas Numéricos, de los cuales
existen una gran variedad y en el presente trabajo
Se resume a los sistemas que tendrán mayor aplicación en su curso de Circuitos
Combinacionales.
Sistemas Numéricos
Se denomina sistema de numeración al conjunto de símbolos y reglas que se
utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades.
Un sistema de numeración se caracteriza fundamentalmente por su base, que es el
número de símbolos distintos que utiliza, y además es el coeficiente que determina
cuál es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe.
Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor
relativo que representa cada símbolo o cifra de una determinada cantidad depende
de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la
coma decimal.
Este sistema cuenta con conjuntos ordenados de símbolos llamados "dígitos", con
relaciones definidas para:
? Suma
? Resta
? Multiplicación
? División
La Base (r) del sistema representa el numero total de dígitos permitidos, ejemplo:
? r = 2 Sist. Binario, dígitos: 0,1
? r = 10 Sist. Decimal, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
? r = 16 Sist. Hexadecima1, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Notación Posicional
Suponga que pide a su banco local un préstamo por ciento veintitrés yens y treinta y
cinco centavos. El cheque que le dan indica la cantidad como Y/.123.35. Al escribir
este número, se ha utilizado la notación posicional. El cheque puede cobrarse con
un billete de cien yens, dos billetes de diez yens, tres billetes de un yen, tres
monedas de diez centavos y cinco monedas de un centavo. Por tanto, la posición de
cada dígito indica su peso o significado relativo.
En general, un número positivo N se puede escribir en notación posicional como
? Donde:
. = punto
r = base
n = # dígitos positivos
m = # dígitos negativos
Ejemplos:
* (123.45)10
* (1001.11)2
* (3A.2F)16
a-1 = dígito más significativo
a-m = dígito menos significativo
Observe que el intervalo de valores para los dígitos ai es r -1>= ai >= 0. Con esta
notación, la cantidad del préstamo bancario podría escribirse B/.(123.35)10. Los
paréntesis y el subíndice que denota la base pueden eliminarse sin perder
r ai
información siempre que la base se conozca por el contexto o se especifique de otra
forma.
Notación Polinomial
Podemos escribir la cantidad del préstamo de (123.35)10 balboas en forma
polinomial como
N = 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 + 3 x 0.1 + 5 x 0.01
N = 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 + 3 x 10-1 + 5 x 10-2
Observe que cada dígito está en una posición ponderada y que el peso de cada
posición es una potencia de la base 10. En general, cualquier número N con base r
se puede escribir como un polinomio de la forma
N= n-1i
i=-m
donde cada símbolo se define como en la ecuación 1.1. Para el préstamo del banco,
r = 10, a2=1, a1=2, a0=3, a-1=3, a-2=5 y ai=0, para i >= 3 y para i >= 3.
? Ejemplos:
(123.45)10 = 1 * 102 + 2 * 101 + 3 * l00 + 4 * 10-1 + 5 * 10-2
(1001.11)2 = 1 * 23+ 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2
(3A.2F)16 = 3 * 161 + A * 160 + 2 * 16-1 + F * 16-2
Donde: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15
Binary
0
1
10
11
100
101
110
11
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Conversión de un sistema de base r a base 10
? Utilizando la notación polinomial:
Ejemplos:
(10100)2 = 1 * 24+ 0 * 23+ 1 * 22+ 0 * 21+ 0 * 20 = (20)10
(AF3.15)16 = 10 * 162+ 15 * 161+ 3 * 160+ 1 * 16-1 + 5 * 16-2 =
(2803.08203125)10
Conversión de un sistema de base
r a base 10
? Utilizando la noción de los pesos
Sistemas
de uso común
Ejemplo en el sistema Binario (r = 2):
Peso
(2i): 8 4 2 1
Dígito (bi) = b3 b2 b1 b0
(1001)2 = 8 + 1 = (9)10
(0101)2 = 4 + 1 = (5)10
Conversión de un sistema de base
10 a base r
? Utilizando divisiones sucesivas por la base
Ejemplos:
(13)10 = (1101)2
13 2
1 6 2
0 3 2
1 1 2
(234)10 = (EA)16
234 16
10 14 16
A 14 0
E
1 0
Conversión de un sistema de base 10 a base r
? Usando la noción de los pesos:
Ejemplo para el sistema Binario (r = 2)
(38)10 = 32 + 4 + 2 = (100110)2
(59)10 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = (111011)2
Conversión entre las bases 2 y 16
? (1100 0011 1111 1101)2 = (C3FD)16
C
3
F
D
? (0001 1000)2= (18)16 (completando con 0’s)
? (4AB)16 = (0100 1010 1011)2
II Aritmética Binaria (SUMA)
II.1.- Suma Binaria
Las tablas 1.1a y b muestran las tablas de suma y multiplicación, respectivamente,
para el sistema numérico binario. Las tablas son muy pequeñas ya que sólo hay dos
dígitos, o bits, en el sistema. En consecuencia, la aritmética binaria es muy sencilla.
Observe que la suma 1 + 1 produce un bit se suma de 0 y un bit de acarreo de 1. El
acarreo debe sumarse a la siguiente columna de bits para realizar la suma en el
patrón normal, de derecha a izquierda.
Tabla de Sumar:
Ejemplos:
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 + 0 1 0 1 1 1 +
1 0 1 0 1 0 0
1 1 11 0 0
II.2 Aritmética Binaria (RESTA)
Resta Binaria
La resta se puede visualizar como el inverso de la suma. Las reglas para la resta
binaria se derivan directamente de la tabla de suma binaria y son:
1-0=1
1-1=0
0-0=0
0 – 1 = 1 tomando prestado 1, o 10 – 1 = 1
La última regla muestra que si se resta un bit 1 de un bit 0, hay que tomar prestado
un 1 de la siguiente columna más significativa. Los préstamos se propagan hacia la
izquierda de columna en columna, como se ilustra a continuación.
Ejemplo 1.2
Restar los dos números binarios (1001101)2 y (10111)2
Tabla de Restar:
Ejemplos:
10
– 0
10 – 1 = 1 0 1 10 0 0 10
0 0
–
100 – 1 = 11 1 0 0 1 1 0 1
1 1 0
1000 – 1 = 111 1 0 1 1 1 –
0 1 1 0 1
1 0
10
0 0 10 0 1 1 10
11 0 10 0 0
01 1 01 0 1-
0 1
1 0 0 1
1
II.3 Aritmética Binaria (Multiplicación)
Multiplicación Binaria
La multiplicación binaria se realiza en forma similar a la multiplicación decimal,
excepto que las operaciones de multiplicación binaria son mucho más sencilla. No
obstante, se debe tener mucho cuidado al sumar los productos parciales, como se
ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.3
Multiplicar (10111)2 por (1010)2
Observe que hay un producto parcial por cada bit del multiplicador. Este
procedimiento puede realizarse con mayor eficiencia si sólo recorremos una
columna a la izquierda, en vez de anotar un producto parcial con ceros para un bit 0
del multiplicador. Este ejemplo nos sirve para ver lo sencillo de este procedimiento.
Tabla de Multiplicar:
Ejemplos:
* 0 1
0 0 0
1 0 0
10111
1010 *
00000 +
10111
00000
10111
11100110
100111
1010 *
00000 1er.pp.
00000 +
00000 2do.pp.
10111 +
101110 3er.pp.
00000 +
0101110 4to.pp.
10111 +
11100110 Resultado
II.4 Aritmética Binaria (División)
División Binaria
La división binaria se realiza utilizando el mismo procedimiento de prueba y error de
la división decimal. Sin embargo, la división binaria es más sencilla pues sólo hay
que intentar con dos valores. Se restan del dividendo copias de los términos del
divisor, de lo cual se obtienen residuos intermedios positivos. El siguiente ejemplo
ilustra la división binaria.
Ejemplo 1.4
Dividir (1110111)2 entre (1001)2
S
Rep.de la magnitud
1110111
1001
1101
Cociente
– 1001
01011
-1001
001011
-1001
0010
Resto
III Representación de números binarios con signo
n
En este sistema de representación, el bit que está situado más a la izquierda
representa el signo, y su valor será 0 para el signo + y 1 para el signo -. El resto de
bits (n-1) representan el módulo del número. Suponemos en principio que los
números no poseen parte decimal, por lo que la coma se supone implícita a la
derecha.
Por ejemplo, supongamos que disponemos de 8 bits, y queremos representar los
números 10 y –10. Veamos cuales son sus representaciones.
representa al número 10,
representa al número –10.
Se denomina rango de representación en un método determinado al conjunto de
número representables en el mismo. Para módulo y signo el rango de
representación es, si se disponen de n bits:
Para el caso de n = 8 bits, el rango de representación va desde –127 a 127.
La ventaja que presenta este sistema frente a otros es la de poseer rango simétrico
(igual cantidad de números positivos que negativos), mientras que su mayor
inconveniente es el de poseer dos representaciones para el número 0. El cual se
representa tanto con un signo positivo (0) como con uno negativo (1) y el resto de
los bits en 0.
Existe:
? Rep. Signo – Magnitud
? Rep En Complemento
III. 1 Representación de números binarios con signo – magnitud
En esta notación el bit de más de la izquierda en la palabra (bit más significativo
[BMS]) representa el signo. Usualmente, 0 denota + (cantidad positiva) y 1 denota –
(cantidad negativa). El resto de los bits representa magnitud.
Un número en representación signo –magnitud puede escribirse como:
N = (san-1….. a1a0)2sm
Donde:
s =signo (0 = positivo y 1 = negativo)
n = # de bits para la magnitud
an-1= bits mas significativo (MSB) para la magnitud
Ejemplos:
?
?
– (1101) 2= (11101)2sm
+ (1001)2 = (01001) 2sm
III.2 Representación de números binarios en Complemento
Un número en representación signo – magnitud puede escribirse como:
[N]2 =2 n-(N)2
N = número binario
[N] = complemento del número N
n = número de bits de N
Rango(n) : 2n-1–1
-2n-1
Complemento a 1
Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo,
correspondiendo el 0 para el signo + y el 1 para el signo -. Para los números
positivos, los n-1 bits de la derecha representan el módulo (igual que en el sistema
anterior). El negativo de un número positivo se obtiene complementando todos sus
dígitos (cambiando ceros por uno y viceversa) incluido el signo. Veamos la
representación en complemento a 1 de los números 10 y –10 para el caso de n = 8
bits.
representa al número 10,
representa al número –10.
Para el complemento a 1 el rango de representación es, si se disponen de n bits:
Para el caso de n = 8 bits, el rango de representación va desde –127 a 127.
La ventaja que presenta este sistema frente a otros es la de poseer rango
simétrico (igual cantidad de números positivos que negativos), mientras que su
mayor inconveniente es el de poseer dos representaciones para el número 0. El
cual se representa tanto con todos 0 como con todos los bits en uno.
Complemento a 2
Este sistema de representación utiliza el bit de más a la izquierda para el signo,
correspondiendo el 0 para el signo + y el 1 para el signo -. Para los números
positivos, los n -1 bits de la derecha representan el módulo (igual que en los dos
sistemas anteriores). El negativo de un número positivo se obtiene en dos pasos:
? Primer paso: se complementa el número positivo en todos sus bits
(cambiando ceros por uno y viceversa), incluido el bit de signo, similar
a complemento a 1.
? Segundo paso: al resultado obtenido se el suma 1 (en binario),
despreciando el último acarreo si existiera. Veamos la representación en
complemento a 2 de los números 10 y –10 para el caso de n=8 bits.
representa al número 10,
representa al número –10.
Para el complemento a 2 el rango de representación es, si se disponen de n bits:
Para el caso de n = 8 bits, el rango de representación va desde –128 a 127.
La principal ventaja es la de tener una única representación para el número 0, ya
que el 0 positivo o negativo se representan igual.
Este método de representación no utiliza la convención del bit más significativo para
identificar el signo, con lo cual todos los bits representan un número o valor. Este
valor se corresponde con el número representado más el exceso, que para n bits
viene dado por 2n-1. El signo del número resulta de una operación aritmética.
Por ejemplo, para n = 8 bits el exceso será 128, con lo cual para representar un
número deberá sumársele dicho exceso. De esta manera el número 10, que
veníamos representando, recibirá la adición del número 128, con lo que
representaremos el número binario 138. Por otro lado, el número –10, se
representará como el 118 (-10+128). De esta forma quedarán:
representando al número 10,
representando al número –10.
En este sistema el número 0 tiene una sola representación, la cual consiste en
representar el exceso, 128 en este caso.
El rango de representación en exceso a 2n-1 es asimétrico y viene dado por:
Resulta interesante observar que todo número representado en exceso a 2n-1
tiene la misma representación que un complemento a 2 con el bit de signo
cambiado. Puede inferirse entonces, que el bit mas significativo representaría el
signo de valor opuesto (el 0 un valor ‘-‘ y el 1 un valor ‘+’).
Ejemplos:
? Si N = 01100101, entonces [N]2=?
[N]2 = 28 –(01100101)2= (100000000)2- (01100101)2
= 10011011
? Si N = 1101100, demuestre que [N]2]2 (N)2
[ N]2 =28-(1101100)2=(100000000)2-(1101100)2
= (00101100)2
[[N]]2 = 28 – (00101100)2=(100000000)2-(00101100)2
=(1101100)2
[N]2 sirve para representar a –(N)2
IV Algoritmo de conversión
?
Algoritmo:
– Reemplazar cada bit (bi) de (N)2 por su complemento, donde:
* Si bi = 0 su complemento = 1
* Si bi = 1 su complemento = 0
– Luego sumarle 1.
Ejemplos:
(10100)2 => 01011 + 1 = 01110 = [10100]2
(11010100)2 => 00101011 + 1 = 00101100 = [11010100]2
IV. 1 Conversión entre un sistema en
complemento y el sistema decimal
? Se utiliza la misma noción, ahora con el peso del MSB como negativo
Ejemplo:
Peso (2i): -8 4 2 1
Dígito (bi): b3 b2 b1 b0 (donde b3 es el MSB)
(1001)2 = -8 + 1 = -(7)10
(0101)2 = 4 + 1 = +(5)10
-(21)10 = -32 + 8 + 4 = (101100)2
+(16)10 = 16 = (010000)2
Rango y precisión
? Si n = 5 => b4b3b2b1b0 (b4 MSB y b0 LSB)
Rango (5) =
25-1 – 1 = 15
-25-1 = 16
(01111)
(10000)
? Si n = 8 => b7b6b5b4b3b2b1b0 (b7 MSB y b0 LSB)
Rango (8) = 28-1 – 1 = 127 (01111111)
-28-1 = -128 (10000000)
IV. 2 Aritméticas en Complemento
(SUMA)
Ejemplos, con n = 5:
01001
00101 +
0110 01100
00111 + 11011 +
10111
11011 +
10100
11011 +
01110
10011
100111
110010
101111
Se eliminan, pues
Desborde (el resultado sobrepasa el rango), sobrepasa la precisión
y se presenta cuando ambos sumados tienen el mismo signo distinto.
Expansión de signo
Ejemplo:
(n = 4) 0011 = (n = 5) 00011 = (n = 8) 00000011
(n = 4) 1101 = (n = 5) 11101 = (n = 8) 11111101
IV.3 Aritmética en complemento
(RESTA)
(A)r – (B)r = (A)r + (-(B)r) = (A)r + [B]r
Ejemplos con n = 5:
11001
01101 –
11001
10011 +
101100
01111
1001 –
01111
01111 +
11110
00011
11011 –
00011
00101 +
01000
Desborde
IV. 4 Aritmética en Complemento
(Multiplicación)
Ejemplo:
0110
1011 +
00000 1er. pp.
00110 +
000110 2do. pp.
00110 +
Expansión del
Signo
=> and
0010010
00000
00010010
11010
11100010
3er. pp.
+
4to. pp.
+
Resultado
V.-Postulados del álgebra de boole
Postulado 1:
– DEFINICIÓN: Un álgebra booleana es un sistema algebraico cerrado formado por
dos elementos 0 y 1 (conjunto K), y operadores ? y +; para cada par de elementos a
y b ? K,
donde: + => or
?
a
0
0
1
1
b a+b
0 0
1 1
0 1
1 1
a
0
0
1
1
b a ?b
0 0
1 1
0 1
1 1
Postulado 2:
– Existen elementos 0 y 1, tal que, para a ?K:
a) a + 0 = a (elemento neutro)
b) a . 1 = 1 (elemento identidad)
Postulado 3: Ley conmutativa::
– Para a y b ?K:
a) a + b = b + a
b) a . b = b . a
Postulado 4: Ley Asociativa:
– Para a, b y c ?K:
a) a + (b + c) = (a + b) + c
b) a . (b . c) = (a . b) . c
Postulado 5: Ley Distributiva:
– Para a, b y c ?K:
a) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)
b) a . (b + c) = (a . c) + (a . c)
Postulado 6: Ley de absorción.
n * n bits = 2n bits
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