El dominio frecuencial.
Hasta ahora siempre hemos visto las imágenes en el dominio espacial: las distancias entre píxeles se traducen en distancias dentro del espacio.
Pero también se pueden visualizar y manipular en el dominio frecuencial: las distancias entre píxeles se traducen en diferencias dentro de la frecuencia.
Imagen A en dominio espacial
Imagen A en dominio frecuencial
+
El dominio frecuencial.
Ambos dominios, espacial y frecuencial, son duales:
Los dos contienen la misma cantidad de información.
La transformación de uno a otro es unívoca.
Pero, ¿cuál es el significado del dominio frecuencial?
Recordar el principio de Fourier: cualquier señal se puede expresar como una suma de señales sinusoidales.
También en imágenes, pero con señales sinusoidales 2D.
Ejemplo. Imagen como suma de componentes frecuenciales.
+
+
=
Imagen resultante
Señales sinusoidales (componentes frecuenciales)
El dominio frecuencial.
Si F es una imagen en el dominio frecuencial, el valor del píxel F(x,y) indica cómo es el c. frecuencial asociado a (x,y).
F
Si F es una imagen en el dominio frecuencial, el valor del píxel F(x,y) indica cómo es el c. frecuencial asociado a (x,y).
+
El dominio frecuencial.
En concreto, el valor de cada píxel indica la magnitud y la fase del componente frecuencial correspondiente.
Magnitud: mayor o menor fuerza (peso) del componente.
Fase: ángulo en el punto 0.
Por lo tanto, cada píxel (x, y) se puede expresar como un vector 2D. ? Se usan números complejos: parte real y parte imaginaria.
Píxel F(x, y)
R
i = -1
Componente frec. asociado a F(x, y)
3+2·i
Magnitud
Fase
Recordar, una imagen es la suma de muchos de estos componentes
El dominio frecuencial.
Variación de la magnitud.
R
i
R
i
R
i
Variación de la fase.
R
i
R
i
R
i
El dominio frecuencial.
En definitiva, la imagen se descompone como una suma de muchos componentes frecuenciales.
La posición (x, y) del píxel, indica la frecuencia en X y en Y.
El valor del píxel indica el peso (magnitud) y la fase del comp.
Imagen A en el dominio espacial
Imagen A en el dominio frecuencial
Magnitud
Fase
Negro = mayor magnitud
Negro = 0ºBlanco = 359º
La transformada de Fourier.
El paso de una imagen desde el dominio espacial al dominio frecuencial es la llamada transformada de Fourier.
En nuestro caso, usamos la Tr. Discreta de Fourier (DFT).
Fórmula: DFT. Sea A una imagen de tamaño WxH. La DFT es otra imagen (compleja, de WxH) F, dada por:
F(a, b) := S S A(x, y)·e(-2pi·x·a/W)·e(-2pi·y·b/H) x=0..W-1 y=0..H-1
Recordatorio: eik = cos k + i·sen k; i = -1
La transformación se puede invertir: dada F calcular A.
Fórmula: Tr. Inversa de Fourier (IDFT). Sea F una imagen compleja en el d. frec., la imagen A en el dom. espacial es:
A(x, y) := 1/WH S S F(a, b)·e(2pi·x·a/W)·e(2pi·y·b/H)
a=0..W-1 b=0..H-1
Ver que: IDFT(DFT(A)) = A, DFT(IDFT(F)) = F.
Denotamos: F:= DFT(A)
A:= IDFT(F)
La transformada de Fourier.
Significado intuitivo de la DFT.
El píxel F(0,0) contiene la suma de todos los píxeles. No tiene parte imaginaria.
Píxel F(1,0): la parte real sería como una convolución de la imagen, con una imagen con un coseno en X, de 1 ciclo. La parte imaginaria sería un seno.
F(1,0) = S A(x,y)·CR(1,0)(x,y) + i · S A(x,y)·CI(1,0)(x,y)
?x,y ?x,y
A
CR(1,0)
CI(1,0)
La transformada de Fourier.
Y así para todos los píxeles.
(Gp:) CR(2,0)
(Gp:) CI(2,0)
(Gp:) CR(5,0)
(Gp:) CR(5,1)
(Gp:) CI(5,3)
(Gp:) CR(0,2)
Para cada píxel de F, sumar el prod. de todos los píxeles de A y C. Esto requiere un O(n2), con n el nº de píxeles.
La Transf. Rápida de Fourier (FFT), es una optimización del cálculo para obtener la DFT en O(n·log n).
La transformada de Fourier.
Ejemplo.
Imagen de entrada
Transformada de Fourier
Parte real
Parte imaginaria
X
Y
X
Y
Magnitud
X
Y
Fase
X
Y
0 ? Gris
<0 ? Negro
>0 ? Blanco
0 ? Blanco
>0 ? Negro
+
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