[
f ?f 2
[ ] [ ]
?
[
? ? ?f 1?f 2?f 2
a22
[
~ 1 -2
f ?f 2
[
[
Matrices Aumentadas
Matrices Equivalentes por filas
Producción de matrices equivalentes por filas
Una matriz Aumentada se transforma en una matriz
equivalente por filas si:
1. Se intercambian dos filas ?f i?f j?
2. Se multiplica una fila por una constante no nula
?kf i?f j?
3. Se agrega un múltiplo constante de una fila a
otra fila dada. ?f i?kf j?f j?
Observación: La flecha ? significa “reemplaza a”
Solución de sistemas lineales mediante matrices
aumentadas.
Ejemplo:
Resolver usando matrices aumentadas.
3×1?4×2=1
x1–2×2=7
(1)
la
matriz
aumentada
Solución:
Se comienza por escribir
correspondiente a (1)
[
3 4 1
1 -2 7
]
(2)
El objetivo consiste en usar las operaciones por filas
mencionadas para intentar transformar la matriz (2) en
la forma:
[
1 0 m
0 1 n
]
(3)
en la que m y n son números reales. La solución del
sistema (1) será evidente entonces, ya que (3) será la
matriz aumentada del siguiente sistema:
x1 = m
x2 = n
(4)
Se procede ahora a usar las operaciones por filas para
transformar la matriz (2) en la forma (3)
1. Para obtener el 1 de la esquina superior izquierda, se
intercambian las filas 1 y 2
[
3
1
4
-2
1
7
]
f 1?f 2
[
1 -2 7
3 4 1
]
2. Para obtener un 0 en la esquina inferior izquierda, se
multiplica f 1 por ?-3? y se suma a f 2 , esto
modifica a f 2 , pero no a f 1 , algunos encuentran util
escribir ?-3?f 1 fuera de la matriz para prevenir
errores aritméticos, como se ilustra a continuación:
]
?-3?
1
?f
?f 2?f 2
[
1 -2 7
0 10 -20
]
3. Para obtener un 1 en la segunda fila, segunda
columna ?a22? , se multiplica f 2 por 1/10
[
1 -2 7
0 10 -20
]
1
10 2
[
1 -2
0 1
7
-2
]
x1
= 3
x2 = -2
(5)
-3 6 -21
1 -2 7
3 4 1
4. Para obtener un 0 en la primera fila, segunda
columna ?a12? , se multiplica 2 por f 2 y se suma el
resultado a f 1 , esto modifica a f 1 pero no a f 2
0 2 -4
1 -2 7 1 0 3
0 1 -2 2f 2?f 1?f 1 0 1 -2
Con eso se logra el objetivo. La última es la matriz
aumentada del sistema:
3. Se
necesita un
1 en
1. Se
necesita un 1
en a11
[
3 4 1
1 -2 7
]
f 1?f 2
2. Se
necesita un
0 en a21
~ 1 -2 7
3 4 1
]
-3
-3 6 -21
7
0 10 -20
]
1
10 2
~ 1 -2
0 1
7
-2
]
4. Se
necesita un
0 en a12
0 2 -4
2f
?2?f 1?f 1
1 0 3
0 1 -2
]
Respuesta ~
Por lo tanto:
x1= 3, x2 = -2
Como el sistema (5) es equivalente al sistema (1), el
problema queda resuelto, es decir x1=3 y x2=-2 .
Descripción del proceso:
Resolución de sistemas de ecuaciones
Resolver mediante la eliminación de Gauss – Jordan:
[
95.?untan-1udu=
un?1 tan-1u–?
96.?ueaudu= 2 ?au –1?eau?C
97.?uneaudu= uneau– ?un-1eaudu
98.?e senbudu= 2
99.?eaucosbudu= 2
|
|
? ?
?C
114.?u?2au–u du=
2u -au–3a
? ?
?2au–u2?a 2 cos-1 a– a u ?C
? ?
?2au –u2 du=-?2au– u2 -cos-1 a –u ?C
1
n?1
un?1du
?1–u2
]
, n?-1
1
a
1 n
a a
au eau
a ?b2
eau
a ?b2
?asenbu–bcosbu??C
?acosbu?bsenbu??C
100.?lnudu=uln u–u?C
101.?unlnudu=
un?1
?n?1?2
[?n?1?lnu–1]?C
102.?
1
ulnu
du=ln|ln u|?C
103.? senhudu=coshu?C
104.?coshudu=senhu?C
105.?tanh udu=ln coshu?C
106.?coth udu=ln|senhu|?C
107.? sechudu=tan-1|senhu|?C
108.?cschudu=ln tanh
1
2
u ?C
2
110.?csch2udu=-cothu?C
111.? sechu tanhudu=-sechu?C
112.?cschu cothudu=-cschu?C
113.??2au– u2 du=
u-a
2
??2au–u2?
a2
2
cos-1
a –u
a
2
2
2
6
3
2
u a
116.?
u2 u a
du -1 a – u
a
du a– u
a
2
2
?C
2
Bibliografía:
Stewart, James. Cálculo, Conceptos y Contextos. 2006. Editorial
Thomson. 978 pp. Impreso en México.
2.?undu=
un+1
3.?
=ln|u|+C
a
5.?audu= +C
16.?
=sen-1 +C
va2-u2
17.? 2du 2=1 tan-1 u+C
= sec-1 +C
18.?
uvu -a
a a
| |
19.? 2
ln
+C
du 1 u+a
2a
u-a
a -u2
| |
20.?
ln
+C
du 1 u-a
2a
u+a
u2-a2
=-?a 2?u ?C | |
du 1 b a?bu 1 n-1
du
73.? sennu du= senn-1u cosu?
?senn-2udu
28.? 50.? 2 =- ? 2 ln ?C
u ?a?bu?
a
u ?a ?u
a u
74.?cosnu du=1 cosn-1u senu?n-1?cosn-2udu
51.?
29.?
? 2 ln|a?bu|?C
= 2
n
n
?C 2= 2
a ?a ?u²
?a?bu?
b ?a?bu?
b
?a ?u ?
75.?tannu du=
tann-1u–?tann-2u du
|
|
du 1 1 a?bu
u
a
-1u
52.?
30.??a -u du= ?a -u ?
– 2 ln
?C n-1
=
sen
?C
a?a?bu? u
u?a?bu?
a
2
2
a
?
?
u a4 -1u u2du 1 a2 76.?cotnu du= -1 cotn-1u –?cotn-2u du
31.?u ?a -u du= ?2u -a ??a -u ?
n-1
53.?
sen
?C
= 3 a?bu-
-2aln|a?bu| ?C
b
a?bu
| |
?a2-u2 du=?a2-u2-aln a??a2-u2 ?C
77.? secnu du= 1 tan u secn-2u? n-2? secn-2u du
54.?u?a?bu du=
?3bu– 2a??a?bu?3/2?C
32.?
-1 cot u cscn-2u? n-2
udu 2
? secn-2u du
?a -u du=-1?a2-u2-sen-1 u?C
78.?csc u du=
55.?
2?bu–2a??a?bu?C
33.?
n-1
n-1
?a?bu 3b
sen?a-b?u
sen?a?b?u
79.? senau senbu du=
u2du 2
?C
?
?8a2?3b2u2–4abu??a?bu?C
56.?
u du
u
a
u
=
34.? =- ?a2-u2- sen-1 ?C 2?a-b? 2?a?b?
?
a?bu
15b
?a -u
2 a a
sen?a-b?u
sen?a?b?u
|
|
?a?bu–?a ?C , si a?o
|
|
du 1 80.?cosaubu du= – ?C
35.?
du 1 a??a2-u2 57.? = ln 2?a-b? 2?a?b?
u?a?bu
a
a?bu??a
?
?
cos?a-b?u
cos?a?b?u
u?a2-u2
81.? senaucosbu du=-
?C
a u
?
2?a-b?
2?a?b?
2
a?bu
du 1
tan
?C , si a?0
=
=- 2 ?a -u ?C
2
2
36.? 2
82.?usenu du=senu –ucosu?C
u ?a2-u2
a u
u
3a
u
?a?bu du=2?a?bu?a
83.?ucosu du=cosu?u senu?C
? u?a du ?bu
37.??a2-u2?3/2du=- ?2u2-5a2??a2-u2? sen-1 ?C 58.?
84.?u senudu=-u cosu?n?u
8 8 a u n n n-1
du
=- 2 u 2
?a?bu du=-?a?bu?b
38.?
59.?
? u?a?bu 85.?uncosu du=unsenu–n?un-1·senudu
?C du
a ?a -u
?a -u ?
u2
a2 |
[un?a?bu?3/2–na?un-1?a?budu]
|?C
60.?u ?a?bu du=
39.??u -a du= ?u -a –
ln u??u -a
undu 2un ?a?bu un-1du
? ?a?bu 86.?sen n-1u·cos m?1u du=?2 result.equivalentes?
2na
40.?u2?u2-a2du=u?2u2-a2??u2-a2-a ln|u??u2-a2|?C
61.? = –
sen
cos
u
n-1
?u2-a2 du=?u2-a2-acos-1 a ?C
=- ? ?senn-2u·cosmudu
?a?bu –
41.?
62.? n
? un-1 a?bu
u
|u|
senn?1cosm-1u m-1
a?n-1?un-1
2a?n-1?
?sennu·cosm-2u du
u ?a?bu ?
?u -a du=-?u -a ?ln|u??u2-a2|?C
n?m
n?m
42.?
63.? sen2u du= u- sen2u?C
87.? sen-1udu=u sen-1??1–u2?C
Tabla de Integrales
1.?udv=uv-?vdu
+C ,n?1
n+1
du
u
4.?eudu=eu+C
u
lna
6.?senudu=-cosu+C
7.?cosudu=senu+C
8.?sec2udu=tanu+C
9.?csc2udu=-cotu+C
10.?secu·tanudu=secu+C
11.?cscu·cotudu=-cscu+C
12.?tan udu=ln|secu|+C
13.?cotudu=ln|senu|+C
14.?secudu=ln|secu+tanu|+C
15.?cscudu=ln|cscu-cot u|+C
du u
a
a +u u a
du 1 u
2 2
=
=
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
du u udu a 1
4
8 8 a ?a?bu?2
u2 4 a
=- ln ?C
u 2
2 2 u 2 2 2 2 n 2
2 2 b?2n?3?
8 8 ?a?bu b?2n?1? b?2n?1?
=
3
=-
1 1
2 2 3/2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 3/2 2
u2 u 2 4
2 2 2 au u n n
1
2
2
u u 15b2 n-1 n-1
-1
?-a -a
2 2 n
–
·cosudu
4 n m
du b?2n-3? du n?m n?m
2 2 2 2 = ?
2 2 2 2 2 2
2 2
u a
-1 -1
4 4
3 2
+C =
u u
2 2
2 2 2 2 3
3 1 u
2 2
a?bu b
3
2
2 2
va +u 2 2b 1 1 n?1
du 1 u
a u , n?-1
2 2 ?1–u2
TRANSPORTADOR PARA IMPRIMIR
HOJA CUADRICULADA PARA IMPRIMIR