Elasticidad, Movimiento Oscilatorio

En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, estos son llamados movimientos periódicos.

En Física se ha idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe la acción de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipación de energía y el movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior a este. Este movimiento se llama Movimiento Armónico Simple (MAS)

El movimiento Armónico Simple, un movimiento que se explica en el movimiento armónico de una partícula tiene como aplicaciones a los péndulos, es así que podemos estudiar el movimiento de este tipo de sistemas tan especiales, además de estudiar las expresiones de la Energía dentro del Movimiento Armónico Simple.

Elasticidad. (Definición)

En física, el término de elasticidad denomina la capacidad de un cuerpo de presentar deformaciones, cuando se lo somete a fuerzas exteriores, que pueden ocasionar que dichas deformaciones sean irreversibles, o bien, adoptar su forma de origen, natural, cuando dichas fuerzas exteriores cesan su acción o potencia.

Y ahora, vamos con un ejemplo. Y como hay miles, tomaremos uno bien simple: si yo agarro una banda elástica (de esa que se utilizan para sostener y atar cosas, como papeles enrollados o un puñado de lápices) tendrá cierta forma de origen que cambiará de manera drástica si con mis manos la estiro hacia ambos lados. Claramente, ha sufrido una deformación, y tiene capacidad para que esa deformación se produzca. Sin embargo, esa deformación cesará cuando yo cese la fuerza que ejerzo sobre la banda elástica, y volverá a su tamaño de origen, incluso cuando en la mayoría de los casos, tras ser sometida a este tipo de fuerzas en ocasiones reiteradas y constantes (y de magnitud considerable) podrá presentar deformaciones irreversibles, que en este caso, estarán relacionadas con un aspecto más "estirado" de la banda elástica.

Movimiento Oscilatorio. (Definición)

El movimiento oscilatorio es un movimiento en torno a un punto de equilibrio estable. Este puede ser simple o completo. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, un desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (elongación) da lugar a la aparición de una fuerza restauradora que devolverá la partícula hacia el punto de equilibrio.

En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable se corresponden con los mínimos de la misma.

Ejemplo

El movimiento armónico simple constituye un ejemplo de movimiento oscilatorio. Se llama así al movimiento descrito por la ecuación

Esfuerzo y Deformación Unitaria. (Definición y Ecuaciones)

• Esfuerzo. 

Las fuerzas internas de un elemento están ubicadas dentro del material por lo que se distribuyen en toda el área; justamente se denomina esfuerzo a la fuerza por unidad de área, la cual se denota con la letra griega sigma (s) y es un parámetro que permite comparar la resistencia de dos materiales, ya que establece una base común de referencia.

s=P/A (Ec.1)

Donde:

P= Fuerza axial; 

A= Área de la sección transversal. 

Cabe destacar que la fuerza empleada en la (Ec.1) debe ser perpendicular al área analizada y aplicada en el centroide del área para así tener un valor de s constante que se distribuye uniformemente en el área aplicada. La (Ec.1) no es válida para los otros tipos de fuerzas internas1; existe otro tipo de ecuación que determine el esfuerzo para las otras fuerzas, ya que los esfuerzos se distribuyen de otra forma. 

Los elementos de una estructura deben de aguantar, además de su propio peso, otras fuerzas y cargas exteriores que actúan sobre ellos. Esto ocasiona la aparición de diferentes tipos de esfuerzos en los elementos estructurales, esfuerzos que estudiamos a continuación:

• Tracción

Decimos que un elemento está sometido a un esfuerzo de tracción cuando sobre él actúan fuerzas que tienden a estirarlo. Los tensores son elementos resistentes que aguantan muy bien este tipo de esfuerzos

• Compresión

Un cuerpo se encuentra sometido a compresión si las fuerzas aplicadas tienden a aplastarlo o comprimirlo. Los pilares y columnas son ejemplo de elementos diseñados para resistir esfuerzos de compresión.

Cuando se somete a compresión una pieza de gran longitud en relación a su sección, se arquea recibiendo este fenómeno el nombre de pandeo.

• Flexion

Un elemento estará sometido a flexión cuando actúen sobre las cargas que tiendan a doblarlo. A este tipo de esfuerzo se ven sometidas las vigas de una estructura.

• Torsión

Un cuerpo sufre esfuerzos de torsión cuando existen fuerzas que tienden a retorcerlo. Es el caso del esfuerzo que sufre una llave al girarla dentro de la cerradura.

• Cortadura

Es el esfuerzo al que está sometida a una pieza cuando las fuerzas aplicadas tienden a cortarla o desgarrarla. El ejemplo más claro de cortadura lo representa la acción de cortar con unas tijeras.

• Unidades

El esfuerzo utiliza unidades de fuerza sobre unidades de área, en el sistema internacional (SI) la fuerza es en Newton (N) y el área en metros cuadrados (m2), el esfuerzo se expresa por N/m2 o pascal (Pa). Esta unidad es pequeña por lo que se emplean múltiplos como él es el kilopascal (kPa), megapascal (MPa) o gigapascal (GPa). En el sistema americano, la fuerza es en libras y el área en pulgadas cuadradas, así el esfuerzo queda en libras sobre pulgadas cuadradas (psi). Particularmente en Venezuela la unidad más empleada es el kgf/cm2 para denotar los valores relacionados con el esfuerzo.

• Deformación Unitaria.

La resistencia del material no es el único parámetro que debe utilizarse al diseñar o analizar una estructura; controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propósito para el cual se diseñó tiene la misma o mayor importancia. El análisis de las deformaciones se relaciona con los cambios en la forma de la estructura que generan las cargas aplicadas. 

Una barra sometida a una fuerza axial de tracción aumentara su longitud inicial; se puede observar que bajo la misma carga pero con una longitud mayor este aumento o alargamiento se incrementará también. Por ello definir la deformación (e) como el cociente entre el alargamiento d y la longitud inicial L, indica que sobre la barra la deformación es la misma porque si aumenta L también aumentaría d. Matemáticamente la deformación sería: 

Al observar la (Ec.2) se obtiene que la deformación sea un valor adimensional siendo el orden de magnitud en los casos del análisis estructural alrededor de 0,0012, lo cual es un valor pequeño.

Sistema de Resortes: En Serie y Paralelo

(Explicar)

• Sistemas de Resortes que Actúan en "Serie".

Considere el sistema de resortes mostrado en la Figura 1, una característica de este sistema de resortes es que, realizando un análisis de cuerpo libre para cada uno de los resortes se deduce que, la fuerza aplicada a cada uno de los resortes es igual. Este es la característica fundamental de los resortes que actúan en "serie".

Suponiendo que la fuerza común, aplicada a todos y cada uno de los resultados, está dada por F, la deformación de cada uno de los resortes esta

Figura 1: Sistema de Resortes que Actúan en Serie.

Dada por las ecuaciones

A partir de la ecuación (2), la deformación total que sufre el sistema de resortes está dada por

Puesto que la fuerza soportada por el sistema de resorte que actúan en serie es F, se tiene que la constante del resorte equivalente, ke, está dada por

En particular, si el sistema consta de únicamente dos resortes que actúan en serie, se tiene que

• Sistemas de Resortes que Actúan en "Paralelo".

Considere el sistema de resortes mostrado en la Figura 2, una característica de este sistema de resortes es que la deformación que sufren todos los es igual. Este es la característica fundamental de los resortes que actúan en "paralelo". Para recalcar este hecho, a la placa que permite deformar todos los resortes se le han colocado unas guías que le impiden rotar y que aseguran que la deformación de todos los resortes es igual.

Figura 2: Sistema de Resortes que Actúan en Paralelo.

Suponiendo que la deformación común a todos y cada uno de los resortes es d, la fuerza soportada por cada uno de los resortes está dada por

A partir de las ecuación (3), se tiene que la fuerza total, FT, ejercida por el sistema de resortes está dada por

Puesto que la deformación es común, la constante del resorte equivante está dada por

En particular, si el sistema consta de únicamente dos resortes que actúan en paralelo, se tiene que

Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas

(Explicar)

• Oscilaciones amortiguadas

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad Fr=-?v, donde l es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.

La ecuación del movimiento se escribe

ma=-kx-?v

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.

La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión

Las características esenciales de las oscilaciones amortiguadas:

• La amplitud de la oscilación disminuye con el tiempo.

• La energía del oscilador también disminuye, debido al trabajo de la fuerza Fr de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad.

• En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.

Si el amortiguamiento es grande, g  puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobre amortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía que pierde la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.

Condiciones iniciales

La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial j. Para t=0,

x0=A·senjv0=-Ag·senj+Aw·cosj

En este sistema de dos ecuaciones se despeja A y j a partir de los datos de x0   y v0

Ejemplo:

Sea una oscilación amortiguada de frecuencia angular propia ?0=100 rad/s, y cuya constante de amortiguamiento ?=7.0 s-1. Sabiendo que la partícula parte de la posición x0=5 con velocidad inicial nula, v0=0, escribir la ecuación de la oscilación amortiguada.

La frecuencia angular de la oscilación amortiguada ? es

5=A·senj 0=-7A·senj +99.75·A·cosj

La ecuación de la oscilación amortiguada es

x=5.01·exp(-7t)·sen(99.75t+1.5)

Como vemos la amplitud A no es 5 ni la fase inicial f es p/2, como en las oscilaciones libres

• Oscilaciones forzadas

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

• La fuerza que ejerce el muelle -k·x

• La fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad ?v y de sentido contrario a ésta

• La fuerza oscilante F0·cos(wf t) de frecuencia angular wf

La ecuación del movimiento de la partícula es

ma=-kx-?v+F0·cos(wf t)

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

La solución de esta ecuación diferencial se compone de la suma de dos términos:

• el estado transitorio que depende de las condiciones iniciales y que desaparece al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito.

• el estado estacionario, independiente de las condiciones iniciales, y que es el que permanece, después de desaparecer el estado transitorio.

Una solución particular de la ecuación diferencial completa tiene la forma

Obtendremos los valores de A y d haciendo que cumpla la ecuación diferencial lineal completa

En la figura, se muestra la respuesta en amplitud de la oscilación forzada, en el estado estacionario. Como podemos observar en la gráfica, la amplitud de la oscilación forzada en el estado estacionario disminuye rápidamente cuando la frecuencia wf  de la fuerza oscilante se hace mayor que la frecuencia propia del oscilador w0.

Derivando la expresión de la amplitud A en función de la frecuencia de la fuerza oscilante, respecto de ?f, e igualando a cero, obtenemos la frecuencia ?f  para la cual la amplitud en el estado estacionario presenta un máximo

• En el caso ideal de que no existiese rozamiento ?=0, la amplitud de la oscilación forzada se haría muy grande, tendería a infinito, cuando la frecuencia  wf de la fuerza oscilante es igual a la frecuencia propia del osciladorw0. 

• En el caso habitual de que exista rozamiento (?>0), la amplitud se hace máxima cuando la frecuencia wf de la fuerza oscilante es próxima a la natural del oscilador w0

La característica esencial del estado estacionario, es que la velocidad de la partícula

Está en fase d=0 con la fuerza oscilante cuando la frecuencia de la fuerza oscilante wf es igual a la frecuencia propia del oscilador w0.

Aplicación de Movimiento Armónico Simple

El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

• Péndulo Simple. (Definición)

Un péndulo simple consiste de una cuerda  inextensible de longitud (L hasta el centro de la masa) suspendida verticalmente desde un punto fijo (o), a la que se le ha colgado una masa (m), permitiéndole oscilar libremente sobre un plano vertical del espacio. Esta masa se desplaza desde su posición de equilibrio hasta una altura determinada, en la que la cuerda estirada forma un ángulo ? con la vertical (como se observa en la figura) y se deja caer, impulsada por su propio peso, para desarrollar una velocidad máxima donde antes se encontraba en reposo. Durante el movimiento oscilatorio, la masa m, idealizada como una partícula, describe un semicírculo en su trayectoria.

• Ecuación de movimiento Pendular.

Para un péndulo simple, es decir, un modelo idealizado donde se desprecia la masa de la cuerda y el módulo de elasticidad:

w = v(g/L)

w = frecuencia angular.

g = aceleración debida a la gravedad.

L = longitud de la cuerda.

f = (1 /(2p))(v(g/L))

f = frecuencia.

T = 2p (v(g / L))

T = periodo.

Para un péndulo físico, es decir, cualquier péndulo real…

w = v (mgd / I)

w = frecuencia angular

m = masa del objeto.

g = aceleración debida a la gravedad.

d = largo de la cuerda.

I = momento de inercia alrededor del pivote.

f = (1/2p).(v(mgd / I))

f = frecuencia…

T = 2p v(I / mgd)

T = periodo.

• Péndulo Compuesto y Físico.

Péndulo Compuesto.

El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo q  de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes sen?˜?. La ecuación diferencial se escribe entonces

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ? y periodo P

Por el teorema de Steiner

Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.

Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo.

Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado

La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x1 y x2 de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x).

De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado

Midiendo en la gráfica x1 y x2 para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo Ic=mR2 compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R2 mediante el producto de x1 por x2.

Péndulo Físico.

Un péndulo físico es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la fuerza de gravedad. 

En la Figura 1 se representa la oscilación en un instante dado:

Figura 1

La distancia desde el punto de apoyo hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. En la misma Figura se representan las fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido.

Se debe observar que la fuerza de reacción R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rígido no hace torque, por lo que no aparece en la ecuación. Además, también es necesario resaltar que esta ecuación diferencial no es lineal, y por lo tanto el péndulo físico no oscila con M.A.S.

Conclusión

* El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.

* La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.

* El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.

* Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.

Autor:

Paola Avila

República Bolivariana de Venezuela

Instituto Universitario Politécnico

Santiago Mariño

Extensión Barcelona – Puerto la Cruz

Elasticidad y Movimiento Oscilatorio.

Profesor: Carlos Rojas