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a sugerencia que proponíamos en el
Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá
los demás Cuadernos: Vamos a estudiar mate-
mática, pero no lo vamos a hacer como si fué-
ramos simplemente unos alumnos que poste-
riormente van a ser evaluados, y ya. No. Noso-
tros somos docentes –docentes de matemática
en su momento- y este rasgo debe caracterizar
la forma de construir nuestro pensamiento ma-
temático. ¿Qué significa esto?
· Lapresenciaconstantedelametaúltima
de nuestro estudio: alcanzar unos niveles de
conocimiento tecnológico y reflexivo, lo cual
debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de
aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis
de los sistemas que dan forma a nuestra vida y
utilizan ese conocimiento matemático, y hacia
criterios sociales y éticos para juzgarlos.
· Construirelconocerdecadatópicoma-
temático pensando en cómo lo enseñamos en
el aula, además de reflexionar acerca de cómo
nuestro conocer limita y condiciona nuestro
trabajodocente.Deestaforma,integrarnuestra
práctica docente en nuestro estudio.
· Como complemento a lo anterior, cons-
truir el conocer de cada tópico matemático
pensando en cómo lo podemos llevar al aula.
Paraello,tomarconcienciadelprocesoquese-
guimos para su construcción, paso a paso, así
comodeloselementos–cognitivos,actitudina-
les, emocionales…- que se presenten en dicho
proceso. Porque a partir de esta experiencia re-
flexivacomoestudiantes,podremosentendery
evaluar mejor el desempeño de nuestros alum-
nos –a su nivel- ante los mismos temas.
· En definitiva, entender que la matemáti-
caeslabasedesudidáctica:laformaenquese
construye el conocimiento matemático es una
fuente imprescindible a la hora de planificar y
desarrollar su enseñanza.
Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno,
la introducción al Algebra.
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1. ¿Necesitamos ir más allá de la Aritmética?
Esta es una buena pregunta porque si, como nos sugiere el título de este Cuaderno, aparen-
temente nos vamos a introducir en otro campo de la matemática, debemos detenernos y observar
dónde estamos parados, de dónde venimos y qué hemos recorrido hasta ahora. Y si hemos de
avanzar, necesitamos saber qué nos puede aportar este nuevo campo, en términos de nuevos co-
nocimientos y, también, de profundización y extensión de los conocimientos anteriores.
Asíqueparaempezararesponderlapreguntainicial,recordemospartedeloquehemospre-
sentado hasta ahora. En los Cuadernos 2 al 11 trabajamos con los números, con las operaciones
entre ellos, con las propiedades de tales operaciones, con las relaciones que pueden descubrirse
y construirse entre los números, con ciertas regularidades que pueden presentarse, y con patrones
que rigen secuencias de números.
Descubrimos,además,quetodoloanteriornosayudabaaresolvermultituddeproblemasde
naturaleza y contextos muy diversos, ya que el mundo de los números, de sus operaciones y de
sus relaciones, se nos presentaba como una colección muy rica de modelos utilizables para esta
tarea de resolver problemas, algunos de éstos generados en nuestro entorno y otros de carácter
más lúdico, pero siempre como un reto a nuestra capacidad de hallar soluciones a los problemas.
Y además aprendimos a resolverlos por vías muy particulares, entre las que destacamos la del
ensayo y ajuste.
El mundo de los números, de sus operaciones y de sus relaciones, de sus regularidades y
patrones, de la resolución de problemas con modelos y métodos propios… Estamos hablando de
la Aritmética.
Y volviendo a la tarea de responder la pregunta inicial, vamos a recordar algunos puntos en
losquedimosalgunospasoshaciaunmásadelantequenollegamosaidentificarensumomento,
pero que bien podemos mirar y valorar ahora como un nuevo campo, extensión espontánea de
laAritmética.Enloquesiguetrataremos,pues,deresaltaraquellassituacionesocircunstanciasya
trabajadas que nos pueden sugerir la necesidad de avanzar a partir de la Aritmética.
2. Las generalizaciones en la Aritmética
2.1. Representación de las propiedades de las operaciones
En los Cuadernos dedicados a las diversas operaciones aritméticas hemos hablado de las
propiedades de dichas operaciones. Por ejemplo, la adición de números naturales presenta las
propiedades conmutativa, asociativa, y de existencia de un elemento neutro. Así presentábamos,
por ejemplo, la primera de estas propiedades (Cuaderno 3, p. 13):
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“Conmutativa:Elordenenqueseconside-
ran dos sumandos no modifica su suma.
Porejemplo,sumar5a8ósumar8a5produce
el mismo resultado.”
5+8=8+5
a+b=b+a
En el caso anterior, hubiéramos podido
representar la propiedad escribiendo: 5 + 8 =
8 + 5. Pero, evidentemente, la propiedad no
se restringe al ejemplo indicado; sirve para
cualquier par de números naturales. ¿Cómo
escribimos, representamos, esta última afirma-
ción?
Unamanerasencilladehacerloesutilizar
letras, bajo el supuesto compartido por todos
(escritorylectores)dequetalesletrasesconden,
representan,númerosnaturales.Yasí,siconve-
nimos en llamar a y b a dos números naturales
cualesquiera,lapropiedadasociativadelaadi-
ción se representaría:
Conmutativa: Para todo par de números
naturales a y b, se verifica: a + b = b + a.
¿Qué hemos ganado con esta forma de
representación de la propiedad mencionada?
Hemos ganado en generalidad. Ahora tene-
mos una forma de representación que puede
referirse a cualquier número natural, a cual-
quier par de números naturales, etc.
Y lo mismo ocurre si se trata de otro tipo
de números. Por ejemplo, la misma propiedad
conmutativa de la adición puede referirse a las
fracciones, en cuyo caso escribiremos:
Conmutativa: Para todo par d
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