Modelo lineal y ecuación de calor – Imágenes

Ecuación del calor
Koenderink propuso la ecuación del calor como una forma de análisis multiescala:

La solución es convolución con gaussianas de sigma variable.

Difusión Isotrópica
I0(x,y): imagen original con ruido
G(x,y,t): Kernel gaussiano de varianza t
I(x,y): imagen filtrada.
Interpretación:
Al variar t, la imagen de salida es la observación de la imagen original a una resolución dada.

Difusión Isotrópica

Espacio de Escalas
Procesar la imagen con un banco de filtros con t creciente.
Al aumentar t : suavizo más, difundo detalles, imagen a escala más gruesa.

Köenderink y Witkin

Espacio de Escalas

Detector de borde aplicado sobre imagen con distintos grados de difusión isotrópica

Ecuación del calor
Interpretación: I(x,y,t) es una familia paramétrica que se puede obtener como la solución de aplicar la ecuación del calor a la imagen.

Ecuación del calor
Permite resolver el problema de suavizado gaussiano con herramientas conocidas para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales.

Y los criterios?
En general los modelos lineales cumplen los criterios 1, 2 y 3 del análisis multiescala pero fallan en el 4to criterio: la causalidad fuerte.
Basta mirar que a diferentes escalas los bordes “se mueven”.
Esto es cierto incluso para el filtro “optimo” en el sentido de Canny.

Difusión anisotrópica
Nuevo enfoque para la eliminación de ruido y por tanto para la detección de fronteras: Encontrar “ecuaciones del calor” con coeficiente de conducción variable.

Difusión anisotrópica
Objetivo:
mejorar la imagen sin destruir bordes
suavizar dentro de las regiones limitadas por los bordes pero no a través de ellos.
Ecuación de difusión anisotrópica:

c(x,y,t) = cte, difusión isotrópica

Difusión anisotrópica
Objetivo: Comportamiento distinto si estoy en una región uniforme o en un borde:
c= 1 dentro de la región
c=0 en los bordes

Estimación de bordes
Problema: No conozco la posición de los bordes a cada escala. Necesito estimar.
Necesito un descriptor de la presencia de un borde.
Elección razonable: modulo del gradiente

Elección del coeficiente

Detectores de bordes
Detector de Leclerc:

Privilegia bordes con alto contraste frente a los de pequeño
Detector Lorentziano

Privilegia grandes regiones sobre las pequeñas

Detectores de bordes

Y los parámetros?
La función g es una especie de umbral que antes estaba en el parámetro de qué tan fuerte es el módulo del gradiente…
La escala está dada por el tiempo que dejo evolucionar la difusión.

Ecuación de Perona -Malik
Si queremos suavizar ruido de una imagen necesitamos estimar la condición de parada de la ecuación. Elegir el t de forma que sea suficiente para eliminar ruido pero que no deteriore bordes.
Existen criterios que permiten estimar la condición de parada.

Discretización para la ecuación de difusión anisotrópica

Nitzberg y Shiota
Propusieron una difusión con gausianas adaptativas con y dirección perpendicular a la dirección del gradiente en el punto.

Morel propuso

Un término de difusión normal al gradiente.
Un término que modula la velocidad de difusión en función de la fuerza del borde.

Búsqueda de regularidad
Otro camino es buscar la regularidad de cierta característica.
Nivel de gris
Medidas de otro tipo sobre un soporte dado.

Umbrales
Se trata de un método para detectar regiones, es decir continuidad.
Se busca un valor de umbral T que permita dividir los elementos de imagen en 2 grupos:

Detección automática de T
El histograma permite estudiar algunas características de la imagen.
Histograma multi-modal:

T

Iluminación no uniforme
Puede producir efectos indeseables en una segmentación por umbrales dado el carácter global de la misma.
Soluciones:
ir a un operador más local
estimar la iluminación no uniforme y compensarla.