Números primos y compuestos, múltiplos y divisores

Hacia el siglo III (A.C.), los griegos alcanzaron un elevado grado de abstracción en las ciencias matemáticas. La misma palabra, Aritmética es de origen griego. Para ellos, esta ciencia era una rigurosa teoría de los números. Sus investigaciones los llevaron muy pronto al concepto de número primo, de donde partió Eratóstenes[1]para descubrir su curioso método de determinación de los números primos en la serie natural.

Número primo absoluto o simple

Es el que solo es divisible por si mismo y por la unidad.

Ejemplo: 5, 7, 11, 13, 29, 37, 97,…

• 1. Numero compuesto

El numero compuesto o no primo es aquel que además de ser divisible por si mismo y por la unidad lo es por otro factor.

Ejemplos:

14 es compuesto porque además de ser divisible por 14 y por 1, es divisible por 2, y por 7;

21 es compuesto porque además de ser divisible por si mismo y por la unidad es divisible por 3 y por 7.

Múltiplo

Múltiplo de un número es el número que contiene a éste un número exacto de veces.

Así, 14 es múltiplo de 2 porque 14 contiene a 2 siete veces; 20 es múltiplo de 5 porque contiene a 5 cuatro veces.

Los múltiplos de un número se forman multiplicando este número por la serie infinita de los números naturales 0, 1, 2, 3,…; luego, todo número tiene infinitos múltiplos.

Así, la serie infinita de los múltiplos de 5 es:

El número 5 en este caso es el modulo de esta serie infinita.

En general, la serie infinita de los múltiplos de n es:

Notación

Para indicar que 10 es múltiplo de 5 se escribe:

10 = m. de 5

O también escribiendo un punto encima del modulo:

Que 28 es múltiplo de 7 se expresa:

28 = m. de 7 o 28

En general, para indicar que a es múltiplo de b se escribe:

Submúltiplo, factor o divisor

Submúltiplo, factor o divisor de un número es el número que está contenido en el primero un número exacto de veces.

Ejemplos:

4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces;

8 es factor o divisor de 64 porque está contenido en 64 ocho veces.

Los divisores de un numero se llaman partes alícuotas (partes iguales) de ese número.

Así, 5 es divisor de 20 y es una parte alícuota de 20 porque 20 puede dividirse en 4 partes iguales que cada una valga 5; 4 también es una parte alícuota[2]de 20 porque puede dividirse en 5 partes iguales que cada una valga 4.

Número par

Numero par es todo numero múltiplo de 2.

La formulación general de los números pares es 2n, siendo n un número entero cualquiera, ya sea par o impar, pues si es par, multiplicado por 2 dará otro numero par, y si es impar, multiplicado por 2 dará un número par.

Todos los números pares, excepto el 2, son compuestos.

Número impar

Número impar es el que no es múltiplo de 2.

La formula general de los números impares es 2n ± 1, siendo n un numero entero cualquiera, pues 2n representa un número par, que aumentado o disminuido en una unidad dará un número impar.

• 2. Equimúltiplos

Equimúltiplos son dos o más números que contienen a otros un mismo número de veces.

Ejemplos:

14, 24 y 32 son equimúltiplos de 7, 12 y 16, porque el 14 contiene al 7 dos veces, el 24 contiene al 12 dos veces y el 32 contiene al 16 dos veces.

Para hallar dos o más equimúltiplos de varios números dados, se multiplican éstos por un mismo factor. Los productos serán los equimúltiplos de los números dados,.

Hallar tres números que sean equimúltiplos de 5, 6 y 7.

20, 24 y 28 son equimúltiplos de 5, 6 y 7.

• 3. Equidivisores

Dos o más números son equidivisores de otros cuando están contenidos en éstos el mismo número de veces.

Ejemplos:

5, 6 y 7 son equidivisores de 20, 24 y 28, porque el 5 está contenido en el 20 cuatro veces, el 6 en el 24 cuatro veces y el 7 en el 28 cuatro veces.

Para hallar dos o más equidivisores de otros números dados basta dividir estos números por un mismo número.

Los cocientes serán los equidivisores.

Hallar tres equidivisores de los números 50, 80 y 90.

5, 8 y 9 son equidivisores de 50, 80 y 90.

Ejercicio

• a) ¿Cuántos divisores tiene un número primo?

• b) Dígase si los números siguientes son o no primos y por qué: 13, 17, 19, 24, 31, 37, 38, 45, 68, 79, 111, 324.

• c) De los números siguientes, decir cuáles son primos y cuales son compuestos; 12, 57, 87, 97, 124, 131, 191.

• d) ¿Cuántos múltiplos tiene un número?

• e) ¿Cuál es el menor múltiplo de un número?

• f) Formar cuatro múltiplos de cada uno de los números 5, 6, 12 y 13.

• g) Hallar todos los múltiplos menores que 100 de los números 14 y 23.

• h) Hallar los múltiplos menores que 400 de los números 45, 56, 72 y 87.

• i) Si un número es múltiplo de otro, ¿qué es éste del primero?

• j) ¿Cuál es el residuo de dividir un numero entre uno de sus divisores?

• k) ¿Cuál es el mayor divisor de 784? ¿Y el menor?

• l) ¿Son compuestos todos los números pares? ¿Son pares todos los números compuestos?

• m) ¿Son primos todos los números impares? ¿Son impares todos los números primos?

• n) Diga cuales son los tres menores números que se pueden añadir a un numero par para hacerlo impar.

• o) Diga cuales son los tres menores números que se deben restar de un numero par para hacerlo impar.

• p) Diga cuales son los tres menores números que se pueden añadir a un numero impar para hacerlo par y cuales se deben restar con el mismo objeto.

• q) Mencione tres partes alícuotas de 45. ¿Es 9 parte alícuota de 45? ¿Y 7, y 8, y 15?

• r) Halle cuatro equimúltiplos de los números 8, 12, 14 y 16.

• s) Halle ocho equimúltiplos de 7, 8, 9, 10, 11, 13, 24 y 56.

• t) Halle tres equidivisores de 24, 48 y 96.

• u) Halle equidivisores de 120, 240, 560, 780 y 555.

Autor:

Raquel Maria Oliveira Pinto

[1] Cirene, 276 a.C. ? Alejandr?a, 194 a.C. fue un matem?tico, gram?tico, poeta, ge?grafo, bibliotecario y astr?nomo de la Grecia Antigua, conocido por calcular a circunferencia de la Tierra. Naci? en Cirene, Grecia, e muri? en Alexandria. Estudio en Cirene, en Atenas e en Alejandr?a.

[2] Parte al?cuota de un numero es, por tanto, una de las partes iguales en que se puede dividir dicho numero.