(Gp:) Sum
F {exp(iw0t)}
0
w0
w
(Gp:) exp(iw0t)
(Gp:) 0
(Gp:) t
(Gp:) t
(Gp:) Re
(Gp:) Im
(Gp:) 0
TF
0
w
TF
31
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
32
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.
(Gp:) t
(Gp:) 0
(Gp:) w
(Gp:) 0
TF
Más adelante lo demostraremos.
33
La transformada inversa de Fourier
Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
34
(Gp:) A partir de su definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función
35
36
37
A partir de la definición, obtener la transformada inversa de Fourier de la función:
Respuesta.
Integrando en el plano complejo:
38
Si x > 0:
Haciendo lim R?8
(Gp:) -R
(Gp:) R
(Gp:) C
39
Entonces:
Si x < 0:
40
-R
R
Haciendo lim R?8
Entonces:
41
Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F(w) exista es:
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+¥ y –¥ en general no tienen transformadas de Fourier.
42
La TF y su inversa son simétricas.
Si la TF de f(t) es F(w), entonces la TF de F(t) es:
Renombrando la variable de integración de t a w’, podemos ver que llegamos a la TF inversa:
Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son
un "par transformado."
Que podemos escribir:
43
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son ambas en general complejas.
De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:
44
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:
45
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
46
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
w
w
w
F(w)
G(w)
f(t) + g(t)
F(w) + G(w)
47
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
48
Luego:
49
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
50
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
51
52
2. Escalado:
53
Efecto de la propiedad de escalado
f(t)
F(w)
Pulso
corto
Pulso
medio
Pulso
largo
Mientras más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
(Gp:) w
(Gp:) w
(Gp:) w
(Gp:) t
(Gp:) t
(Gp:) t
54
La transformada de Fourier respecto al espacio
Si f(x) es función de la posición,
k se conoce como frecuencia espacial.
Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y ? se aplica los dominios x y k.
(Gp:) k
(Gp:) x
55
3. Traslación en el dominio de tiempos
56
4. :
5. :
57
5. Identidad de Parseval :
(Gp:) Teorema de Rayleigh
En particular:
58
Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar
E(-x) = E(x)
O(-x) = -O(x)
E(x)
f(x)
O(x)
Sea f(x) una función cualquiera.
59
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
60
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