Teoria del error

Teoría del error

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseño de la ingeniería.

En estas notas se usara el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en los cálculos numéricos en las imprecisiones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error.

Tipo de errores

• EXPERIMENTALES: Proviene de los datos o equivocaciones aritméticas en el cálculo manual.

• DE TRUNCAMIENTO (CORTE): Representa la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.

• REDONDEO: Se debe a que una máquina sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos.

Existen dos maneras de representarlos:

• I. Punto fijo: Los números se representan con un número fijo de cifras decimales.

• Ej. 62.358, 0.013.

• II. Punto flotante: Los números se representan con un número fijo de dígitos significativos.

Dígito Significativo: De un número "C"; es cualquier dígito dado de este, excepto posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posición del punto decimal (entonces cualquier otro cero es un dígito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dígitos significativos.

• EXACTITUD: Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

• PRECISIÓN

• I. Número De cifras significativas que representan una cantidad.

• II. La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

• ERROR ABSOLUTO

Se da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado

Donde

• ERROR RELATIVO PORCENTUAL

Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más independiente de la escala usada, y esto es una propiedad más que deseable.

Ejemplo Planteamiento del problema: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cms respectivamente. si los valores son 10000 y 10 cmm, calcule el error absoluto y error relativo porcentual.

Solución:

El error absoluto en la medición del puente es:

Y para el remache es

El error relativo porcentual en la medición del puente es

Y para el remache es

Aquí observamos que el error absoluto es el mismo en las dos mediciones y si no se tiene la magnitud de la cantidad que se esta midiendo no podríamos dar ninguna conclusión; pero al conocer esta magnitud podemos observar que en la medición del remache se genero un error muy grande.

En las mediciones científicas es usualmente el error relativo el que resulta relevante. La información acerca del error absoluto suele ser poco útil si no se conoce la magnitud de la cantidad que se esta midiendo; por esta razón es importante el error normalizado que se define como sigue:

• ERROR NORMALIZADO PORCENTUAL

En situaciones reales a veces es difícil contar con el valor verdadero, para dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimacion posible al valor verdadero; es decir. Para la aproximación misma.

Corrección Valor verdadero Aproximación + Corrección Cota de error para a es un número es decir A menudo cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada.

• TOLERANCIA

Donde n es el número de cifras significativas En el momento en que se realizan las aproximaciones y se cumpla que .

si se conoce el valor real

si no se conoce el valor real Se garantizan " n " cifras significativas.

Series de Taylor

EJEMPLO 1

• Encuentre el polinomio de grado 2, que cumple entonces si seguimos la observación anterior, llegamos a:

Vemos

Es fácil ver que cumple las condiciones iniciales. Al hacer el mismo análisis para un polinomio de grado llegamos a:

En general, esto sigue para cualquier polinomio, la ventaja de esto es que a partir de cierta derivada el crecimiento es cero.

Pensemos en el caso, que no sea un polinomio, por ejemplo es fácil justificar que esta función NO es un polinomio, ahora como a partir de ningún crecimiento se vuelve cero, este proceso lo debemos extender hasta "infinito" así:

Donde Haciendo esto para tenemos:

Y así

Sustituyendo obtenemos

Denotemos esta serie por así:

¿La pregunta natural es

Para analizar este caso veamos otro ejemplo

EJEMPLO 2

• Sea se puede verificar que

Y así

Sustituyendo en obtenemos que:

¿La pregunta es?

Para esto consideramos algunos valores particulares

Por lo anterior, para el valor

argumentos geométricos muestran que y

ahora si vemos es claro que

sin embargo a esta suma se le puede dar algún sentido ya que tiene como sumas parciales y y es el promedio de estas dos y por ultimo para

Es claro que y

NO están definidas, pero se comportan de manera similar sin embargo para no tiene nada que ver y

La explicación sencilla radica en el signo

De lo anterior podemos concluir que se cumple para ciertos valores de x, ahora la cuestión es ¿para cuáles? Analicemos que paso con la función , esta función tiene problemas de domino en sin embargo recordemos que estamos centrados en así:

Al ir hasta el problema, tomaremos un intervalo con centro en cero y cuyo extremo sea el problema

1. Así tenemos el intervalo

Como vimos antes, en este intervalo en los extremos no se sabe y por fuera son diferentes, para hacer esto formal, debemos ver la convergencia de la serie, esto se ve con el CRITERIO DEL COCIENTE así:

Así: Y por tanto

es decir para los valores de en los cuales se tiene la convergencia absoluta y uniforme de

Volviendo a la función , al aplicar

CRITERIO DEL COCIENTE:

Tenemos que para cualquier la serie converge así:

Teorema de Taylor

Como buscamos desarrollar numéricamente, las Series de Taylor no son de ayuda, ya que no podemos realizar "sumas" infinitas, para esto tenemos que aproximarlas, es decir tenemos que troncar las Series de Taylor y así para , tenemos

Sin embargo, si no es un polinomio, es posible quede todas maneras es una aproximación puntual de este así:

Donde

es un error que se comete. (El cual obviamente nunca vamos a conocer)

Y es dado por: con entre y

Ese valor

no lo conozco y así tampoco, pero podemos acotarlo, es decir encontrar alguna función tal que

Y así: Con lo cual podemos fijar un máximo error y así determinar el donde se debe troncar la serie para obtener una buena aproximación.

Ejemplo Dada la serie de Taylor de con centro en cero, hallar la aproximación de

Con cinco cifras significativas.

Solución:

Lo primero que hallamos es el criterio de error, el cual asegura que el resultado sea correcto con al menos cinco cifras significativas; donde n=5:

Es decir se evaluara la serie de Taylor hasta que el error normalizado se menor que 0,0005%.

Realizando el desarrollo de la serie de Taylor obtenemos:

Donde la primera aproximación es Segunda aproximación es Tercera aproximación es

En la siguiente tabla se colocaran los resultados; buscando que el error normalizado porcentual sea menor que la tolerancia; también colocaremos el error relativo porcentual partiendo del hecho que el valor real de

Ejemplo: Se requiere una aproximación de con un error no mayor

Para solucionarlo podemos tomar varias funciones; lo que cambiaria seria el valor de la x, podemos tomar las siguientes funciones:

es decir debemos parar la serie en

ya que entre mas alejado estén

y

mas grande debe ser el valor de

Ejercicios:

• 1) encuentre con error no mayor de

• 2) Encuentre con un error no mayor a

• 3) Donde se debe troncar la Serie de Taylor de para que la aproximación de tenga un error no mayor a

• 4) Donde se debe troncar la Serie de Taylor de para que la aproximación de tenga un error no mayor a concluya.

Así

TEORÍA DEL ERROR

Enviado por: Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Autor:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.