Transformadas de Fourier discretas (DFT)
Ejemplo de creación de sobrenombres: sinusoide de frecuencia mayor que 1/2T, con muestras tomadas a intervalos T.
donde y p es entero y q es fracción.
0
• si p es par y la señal queda
• si p es impar entonces
Para ?0=1025 Hz y T=0.005 s : F=1/2T = 100 Hz, p=10, q=0.25 ?´0=25 Hz
10F
8F
6F
4F
2F
0
11F
9F
7F
5F
3F
F=1/2T
0.25F
Transformadas de Fourier discretas (DFT)
Método de Danielson-Lanczos para el cálculo de transformadas rápidas de Fourier (FFT)
Se basa en que una DFT de tamaño N puede reescribirse como dos DFT de tamaño N/2, la primera formada por los datos pares, y la segunda por los impares.
Así se puede ir descomponiendo a DFT de menor complejidad, con N/4, N/8, N/16, … Hasta llegar a 1 para algún k.
El algoritmo para encontrar qué k es:
reviértase el diseño de e y o
hágase e=0, o=1
k = número resultante en base binaria
Existen otros algoritmos para calcular FFT
Convolución y deconvolución
• Teorema de convolución
• Teorema de convolución discreta:
Si sj es una señal periódica, de periodo N, completamente determinada s0, …, sN-1 y r es una función de respuesta de impulso infinito (no 0 sólo en -M/2 = k =M/2, intervalo menor que N), entonces:
Convolución y deconvolución
• Cálculos con funciones no periódicas: se introducen artificialmente 0s al final de la función de señal s, tantos como número de índices positivos o negativos en r. Esto impide la contaminación de frecuencias con tiempos que toma como periódicos.
• Teorema de correlación
• Teorema de correlación discreta:
Si sj es una señal periódica, de periodo N, completamente determinada s0, …, sN-1 y r es una función de respuesta de impulso infinito (no 0 sólo en -M/2 = k =M/2, intervalo menor que N), entonces:
Correlación y autocorrelación
Espectro de potencias: periodograma
Sea una señal s(t) evaluada en intervalos equidistantes, su transformada de Fourier discreta viene dada por
y su periodograma en N/2+1 frecuencias viene definido por
donde ?j se define sólo para frecuencias positivas o cero:
Por el teorema de Parseval, vemos que la suma de los N/2+1 valores del periodograma dan la amplitud media cuadrada de sk.
Espectro de potencias: periodograma
P(?j) es un promedio de P(?) sobre una ventana estrecha (W) centrada en ?j. Si definimos s como la diferencia de frecuencias en casillas
lo que implica un derrame (leakage) de una frecuencia a otra
Espectro de potencias: periodograma
El periodograma no se vuelve más preciso si N aumenta: la desviación estándar es siempre 100% del valor del periodograma, independiente de N.
• Métodos para aumentar la precisión:
1. producir un periodograma con N grande y sumar los valores de frecuencias adyacentes. No promediar.
2. dividir los datos en k segmentos de 2M puntos consecutivos. Calcular FFT de cada segmento, y promediarlo para obtener k puntos del periodograma. La desviación estándar será así vk.
• Ventanas para disminuir el derrame:
Espectro de potencias: periodograma
Espectro de potencias: periodograma
Espectro de potencias: periodograma
? Periodograma normalizado de Lomb-Scargle para series evaluadas de forma no equidistante hj=h(tj) , j=1,…,N . Se define la media y la variancia de forma estándar
En función de la frecuencia angular ?=2p?>0 :
donde t viene definido por
Habitualmente hj contiene señal y ruido. Para calcular la significancia de un pico, se toman M frecuencias independientes. La probabilidad de que ninguna dé una valor más alto que z es , de forma que un valor pequeño tiene una alta significancia. M depende del número de frecuencias definidas por la muestra:
M˜N si están aproximadamente espaciadas
M˜N si son aleatorias
M?N si los puntos están acumulados en alguna zona de t. Si es así se debe realizar un Monte Carlo para calcular M (ejem. Horne & Baliunas 1986, ApJ, 302, 757).
Espectro de potencias: periodograma
? Periodograma normalizado de Lomb-Scargle
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