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Procesamiento de Señales con Fourier (Powerpoint)




Enviado por Pablo Turmero




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    Análisis de Fourier:
    Encontrar información “escondida” dentro de los datos:
    – Limpiarla (ruido)
    – Ubicar patrones
    – Compactarla
    – Reacomodarla
    Técnicas empleadas
    – Transformaciones de Fourier
    – Filtrado Digital
    – Convolución y Correlación

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    Aplicaciones:
    Óptica
    Astronomía
    Geología
    Análisis Químico
    Materiales
    Computación
    Medicina
    Acústica
    Música
    Video

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    Series de Fourier
    Cualquier señal periódica continua se puede representar como una serie infinita de senos y cosenos de diferentes amplitudes cuyas frecuencias son harmónicas de la frecuencia de la señal. Esto es lo que se conoce como la serie de Fourier de la señal.

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    Una Función Periódica f(t) tiene la siguiente propiedad para todo valor de t.
    f(t)=f(t+T)

    A la constante mínima T para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función

    Repitiendo la propiedad se puede obtener:
    f(t)=f(t+nT), donde n=0,?1, ? 2, ?3,…

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    Serie Trigonométrica de Fourier
    Las Funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier
    f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+…
    + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+…
    Donde w0=2p/T.
    Es decir,

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    Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como

    Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:

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    Con lo cual la expresión queda
    (Gp:) an
    (Gp:) bn
    (Gp:) qn

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    Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como

    Así,

    y

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    Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.

    A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t).

    A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

    A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.

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    Cálculo de los coeficientes de la Serie
    Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

    Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,…,b1,b2,…

    Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

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    Functiones Ortogonales
    Un conjunto de funciones {?k} es orthogonal en el intervalo a < t < b si se cumple que

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    Functiones senoidales ortogonales
    ?0=2?/T.

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    Multiplicando ambos miembros de la identidad por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

    Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

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    Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:

    Solución: La expresión para f(t) en –T/2

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