Ecuación de Schrodinger (página 2)

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Partes: 1, 2

Para lograr esto, se multiplica la función de
onda por una constante de normalización.

Significa además, que solo son solución,
aquellas funciones cuya
integral extendida a todo el espacio,

esta acotada.

3) Si un acontecimiento puede ocurrir de varios modos,
de tal manera que es posible determinar,

según cual se ha producido, la probabilidad es la
suma de las probabilidades correspondientes a cada uno de los
modos.

Entonces, su densidad de probabilidad será:
Para ver las fórmulas seleccione la
opción ¨Descargar trabajo¨ del menú
superior

4) Si un acontecimiento puede ocurrir de varios modos,
de tal manera que no es posible determinar, según cual se
ha producido, la amplitud de  es la suma de las
amplitudes correspondientes a cada uno de los modos.

Entonces, su densidad de probabilidad
será:

Para ver las
fórmulas seleccione la opción ¨Descargar
trabajo¨ del menú superior

Es en estos casos, cuando se producen fenómenos
de interferencia.

5) La función de onda
cumple con la ecuación de onda,
(ecuación de D'Alembert):



6) Operador cantidad de movimiento

Definimos como una operación que nos permite obtener la
cantidad

de movimiento a partir de la función de
onda.

7) Operador energía

Definimos como una operación que nos permite obtener la
energía

a partir de la función de onda.

Sabemos que la energía total de un sistema, se
compone de energía cinética y energía
potencial.

Llamando T a la energía cinética y U a la
potencial, tendremos:

T + U = E

T + U-E=0

Sabemos que T=p²/2m

Para obtener p², repetimos la operación
cantidad de movimiento, y multiplicando cada sumando por


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trabajo¨ del menú superior

Lo cual puesto en función de los operadores
constituye la

ECUACIÓN DE SCHRODINGER:

Para el caso tridimensional se puede escribir
así:

Una clase importante de problemas, son
aquellos para los cuales es constante.

Este tipo de problemas se
llaman de estado
estacionario, la densidad de probabilidad no depende del tiempo.

Esto implica que

Para lo cual, se puede plantear:

(con E constante)

En efecto:

Con lo cual, la ecuación de Schrodinger para
el estado
estacionario, es la siguiente:

No debemos olvidar que la solución será
independiente del tiempo, pues se
trata de estados estacionarios.

Así que la solución buscada será
solo función de la posición, y no del
tiempo.

SOLUCION
UNIDIMENSIONAL PARA E UNIFORME Y CONSTANTE

Supongamos que E sea uniforme y constante en todos los
puntos.

Una solución general seria la
siguiente:

E UNIFORME Y CONSTANTE, U UNIFORME Y
CONSTANTE

TRES CASOS

Las constantes se ajustan a la solución
particular.
U < E

En este caso se debe tener en cuenta, además de las
condiciones particulares del problema, la normalización.
La integral de una exponencial puede diverger o
converger, dependiendo del dominio.
Si una de las soluciones
de la ecuación diverge, no puede ser solución
del problema.
E < U <
U =
En este caso la solución es 0

Condiciones de frontera

Al resolver la ecuación de Schrodinger para un
problema particular, es común tener que empalmar dos
soluciones
diferentes.

Este empalme se debe hacer de tal modo que tanto
como su derivada resulten
continuas.

Además, solo pueden ser soluciones, aquellas
funciones cuya
integral sobre todo el espacio este acotada.

EL POZO INFINITO O
CAJA DE POTENCIAL

X < 0 => U= => 0

0 < X < L => U=0

X > L => U= => 0

Planteemos nuevamente la ecuación de Schrodinger
para el estado
estacionario.

Teniendo en cuenta que para 0 < X < L => U=0 y
reordenando

Una solución seria

La condición de frontera , implica B=0

Luego la solución seria del tipo

La otra condición de frontera nos conduce a:

Sustituyendo este valor de
en


Introduciendo este valor de
 en la ecuación diferencial:

O sea, que los niveles de energía, están
cuantizados en la caja de potencial.

EL POZO DE POTENCIAL

X < 0 => 0 < U<

0 < X < L => U=0

X > L => 0 < U<

En este caso la función de onda no se anula fuera
de la caja, y tenemos cierta posibilidad de que una
partícula con E < U se encuentre allí. En
mecánica clásica esto seria imposible.

Se demuestra que la energía de la
partícula esta cuantificada, aunque los niveles no
coinciden con los de la caja de potencial.

LA BARRERA FINITA

X < 0 => U= 0

0 < X < L => 0 < U<

X > L => U = 0

En este caso, la función de onda existe en las
tres regiones.

Esto significa que hay cierta posibilidad de que una
partícula con E < U, atraviese la barrera.

Esto se conoce como EFECTO TUNEL.

EL ATOMO DE
HIDRÓGENO

Es necesario plantear la ecuación de Schrodinger
en coordenadas esféricas (ver apéndice).

Dada la ecuación de Schrodinger para estados
estacionarios en coordenadas cartesianas:

Su forma en coordenadas esféricas
seria:

Para resolver esta ecuación, suele utilizarse el
método de
separación de variables,
expresando  como un producto:

La resolución de esta ecuación, esta mas
allá de este curso, pero concuerda con los resultados
experimentales.

MODELO PARA
SEMICONDUCTORES

Las propiedades de los semiconductores
se estudian aplicando la ecuación de Schrodinger a un
modelo
matemático del cristal.

Un modelo simple, y que da buenos resultados, es el que
representa al potencial dentro del cristal, como una onda
rectangular, unidimensional e infinita.

Este modelo se conoce como modelo de
Kronij-Penney.

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Una de las consecuencias que se pueden deducir de la
ecuación de Schrodinger, es

el principio de incertidumbre.

Este principio establece limites para la
precisión con que se pueden medir ciertos
parámetros.

En la mecánica clásica, no se ponen
limites teóricos a la precisión de las
mediciones.

En mecánica cuántica se demuestra
que:

Esto significa que mientras mas precisamente midamos una
determinada componente de la cantidad de movimiento, menos
precisión obtendremos en la misma componente de la
posición, y viceversa.

Esto significa que mientras mas precisamente midamos la
energía de una partícula, menos precisión
obtendremos en la medición del tiempo y viceversa.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE
D’ALEMBERT

Toda onda de velocidad constante y uniforme, se puede
representar de la siguiente forma:

Donde el signo depende de la dirección de la onda.

Esta ecuación, cumple la siguiente
ecuación diferencial, llamada ecuación de
D’Alembert:

COORDENADAS CURVILÍNEAS
ORTOGONALES

En física, en general,
cuando se encara la resolución de un problema, es muy
recomendable

adoptar un sistema de
coordenadas que se adapte a la simetría del
mismo.

Así, por ejemplo, los problemas con esferas se
resuelven mas fácilmente adoptando

coordenadas esféricas. Mientras que las
coordenadas cilíndricas se utilizan para los

problemas con cilindros, etc.

El propósito de este apéndice, es
presentar la teoría
de estos sistemas de
coordenadas.

Dado un dominio A de un
espacio donde definimos:

1) Un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales:

(X1, X2, X3)

2) Tres funciones que admiten inversas de modo
que

la relación entre X1, X2, X3 y U1, U2, U3 sea
biunívoca:

U1 = U1(X1, X2, X3)

U2 = U2(X1, X2, X3)

U3 = U3(X1, X2, X3)

3) Que los siguientes vectores
sean ortogonales.

Es decir, que el producto escalar de dos cualquiera
sea siempre cero.

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4) Mediante uno o mas giros de coordenadas se pueden
poner, simultáneamente, en correspondencia los vectores
U1 con X1, U2 con X2, U3 con
X3.

NORMALIZACION
DE LOS VECTORES, VERSORES

Se llama versor a un vector unitario, de la misma
dirección y sentido que una de las
coordenadas.

Una terna de versores forma una base del espacio, (una
terna de vectores unitarios ortogonales).

Normalizando los vectores ortogonales U1, U2, U3,
obtendremos una base del espacio.

Un vector se normaliza dividiéndolo por su
modulo:

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La norma de un vector la expresaremos como N(U1) =
|U1|

Sea una
variación infinitesimal de una de las coordenadas
curvilíneas.

Instalemos en el mismo punto del espacio, un sistema de
coordenadas cartesianas ortogonales:

(W1, W2, W3) de tal modo que mediante uno o mas giros de
coordenadas se puedan poner,
simultáneamente, en correspondencia Wi con Ui,
evidentemente:

Por lo tanto:

A la relación la llamaremos Vi es un factor
de escala entre
las coordenadas cartesianas ortogonales y las coordenadas
curvilíneas ortogonales.

Mas concretamente,

CALCULO DEL GRADIENTE EN LAS COORDENADAS (W1, W2,
W3)

Sea P un campo escalar en el dominio A previamente
definido.

Lo cual expresado en coordenadas curvilíneas
solamente seria:

CALCULO DE LA DIVERGENCIA EN LAS COORDENADAS (W1, W2,
W3)

Tomemos un volumen
elemental W1W2W3 y calculemos la
divergencia, como el balance por unidad de volumen, del
flujo del campo a través de sus caras. Sea Q un vector
definido en el dominio A previamente mencionado:

div Q =

Ahora expresémoslo en las coordenadas
curvilíneas:

div Q =

EXPRESIÓN DE LA DIVERGENCIA EN COORDENADAS
CURVILÍNEAS ORTOGONALES:

CALCULO DEL ROTOR EN LAS COORDENADAS (W1, W2,
W3)

Tomemos una superficie elemental W1W2
y calculemos el rotor, como la circulación del campo en
su contorno y por unidad de área. Sea Q un vector
definido en el dominio A previamente mencionado:

rot Q = (Rq1;Rq2;Rq3)