Richard P. Feynman (página 2)

6. Gravedad

A partir de la ley de la
gravedad y los fenómenos gravitatorios, Feynman explica lo
que es una ley física. El mismo dice
que elige esta ley como ejemplo no por algo en especial,
simplemente esta fue una de las primeras leyes
descubiertas y con una historia interesante. Se
dice que la ley de gravedad es la mayor generalización
lograda por la mente humana. Lo maravilloso de esta ley para
Feynman, es que la naturaleza
obedece a una ley tan simple como esta. Por eso dice que se
concentra no en describir lo inteligente del hombre por
descubrir esta ley, sino en lo "inteligente" de la naturaleza por
obedecer a esta ley.
La ley de la gravedad dice que dos cuerpos ejercen entre si una
fuerza de
atracción que varia inversamente al cuadrado de la
distancia que separa a ambos cuerpos y directamente con el
producto de
sus masas:
F = G.m.M / r2
Por otro lado sabemos por Newton que un
cuerpo responde a la acción de una fuerza
acelerándose, es decir cambiando su velocidad por
unidad de tiempo en
relación inversa a su masa:
a = F/m
Estas dos leyes son todo lo
que hay que decir sobre la ley de gravedad. Todo lo demás
afirma Feynman es una consecuencia matemática
de estas dos cosas. A partir de esto Feynman se pregunta,
¿ que es lo que hace que un planeta? ¿acaso mira al
sol, evalúa la distancia a la que se encuentra y calcula
como moverse? A Newton
también se le recriminaba que su teoría
no dice nada, a lo que el respondía que si dice:"dice como
algo se mueve, lo cual debería ser suficiente", es cierto
que no explica el porque se mueve de la manera que lo hace.
Desde los tiempos de Newton nadie ha dado una explicación
del porque detrás de la ecuación matemática
que define la ley de la gravedad. Actualmente no existe
ningún modelo de la
teoría
de la gravedad aparte de su expresión matemática.
Lo notable es que esto que se da con esta ley, se da
prácticamente con todas las leyes físicas que se
han ido descubriendo. Cada una de las leyes es una
afirmación puramente matemática, algunas mas
complejas que otras. La de la gravedad viene en una
matemática simple. Pero a medida que se avanza en el
descubrimiento de nuevas leyes, la matemática se hace mas
compleja, ¿por que?, "Ni idea" dice Feynman.

¿Como se descubrió la ley de la
gravedad?
Lo primero que se observo era que los planetas y
la tierra
incluida se movían alrededor del sol. A partir de esta
observación surgieron preguntas tale como
si el sol esta en el
centro de una circunferencia, que tipo de movimiento
describen los planetas, a
que velocidad se
mueven, etc. Así surgieron debates acerca de si realmente
el sol era el
centro del universo o la
tierra.
Llegado este punto aparece Tycho Brahe a quien se le ocurre que
seria bueno hacer observaciones muy precisas de la
posición de los planetas en el cielo, para poder
distinguir unas teorías
de otras. Esta, dice Feynman, es la base de la ciencia
moderna y el principio del verdadero conocimiento
de la naturaleza: fijarse en una cosa, anotar los detalles y
confiar en que esta información puede aportar claves para
diferenciar entre las distintas teorías
propuestas. Así Tycho comenzó a recopilar datos tomados en
una isla cerca de Copenhague. Estos datos llegaron a
manos de Kepler quien comenzó a utilizar el método de
prueba y error para poder
distinguir el movimiento que
describían los planetas. Así descubrió que
estos describían elipses alrededor del sol, con este en
uno de los focos de la elipse. Kepler también
descubrió a que velocidad giraban los planetas, haciendo
el procedimiento
siguiente:

1. Tomamos la posición de un planeta en dos
   momentos distintos separados por un intervalo x de tiempo por
   ejemplo de una semana, en la zona que este se encuentra mas
   cerca del sol.
2. Trazamos los radio
   vectores
   que van desde el sol a cada una de las posiciones antes
   definidas. Nos quedara así definido un triangulo con
   vértices en el sol, y en las dos posiciones de
   observación, cuya base será la
   orbita descripta por el planeta en el tiempo definido, en
   nuestro caso: una semana.
3. Si realizamos exactamente los mismo que hicimos en
   a) y b) pero en la zona que el planeta se encuentra mas
   alejado del sol. Tendremos así otro triangulo, con
   diferentes radio
   vectores y
   base dada por la orbita descripta.
4. Lo que Kepler detecto, es que la superficie de
   ambos triángulos es igual, concluyendo así que
   cuando el planeta se encuentra mas cerca del sol debe ir mas
   rápido.

Por ultimo descubrió una tercera ley que calcula
el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor del sol,
siendo este proporcional al tamaño de la orbita,
entendiendo a este como la longitud del eje mayor de la elipse.
La proporcionalidad esta dada por esta longitud elevada a la
3/2.
Así Kepler a través de la observación
dijo:

1. Los planetas describen orbitas elípticas
   alrededor del sol.
2. Áreas iguales se cubren en tiempos
   iguales.
3. El periodo o tiempo en que se da una vuelta
   completa es proporcional al tamaño de la orbita (eje
   mayor de la elipse) elevado a la 3/2

Estas tres leyes dan una descripción completa del movimiento de los
planteas alrededor del sol.
Pero ¿Por qué los planetas se mueven alrededor del
sol?.
En la misma época Galileo estudiando el movimiento de los
objetos terrestres, descubre el principio de inercia que dice: si
nada actúa sobre un objeto y este se esta moviendo en
línea recta a una velocidad definida, este se
mantendrá moviendo en la misma dirección y a la misma velocidad para
siempre. Este principio no tiene explicación conocida.
Por otro lado Newton se pregunto ¿ que pasa si el objeto
no va en línea recta? Su respuesta fue que es necesario
que exista una fuerza que cambie su dirección, el cambio de la
velocidad (sea en magnitud o en dirección) por unidad de
tiempo se denomina aceleración, y esta multiplicada por un
coeficiente de inercia (la masa del objeto), se obtiene la fuerza
que produjo dicho cambio de
velocidad del cuerpo. Y esta fuerza puede medirse. Si tenemos una
piedra atada a una soga y la hacemos girar, vemos que hay que
tirar de la soga, tanto mas fuerte cuanto mas pesada es la
piedra, de lo contrario piedra y soga saldrán disparadas
en línea recta. Es decir ejercemos una fuerza para lograr
que la piedra gire, que significa cambiar la dirección de
su velocidad, y esta fuerza esta en la dirección radial y
no tangencial del movimiento de la piedra, se transmite a
través de la soga. De la misma manera si tomamos dos
objetos distintos (dos planetas) y vemos que estos giran uno
alrededor de otro, deducimos que debe existir una fuerza que
produzca este cambio en la dirección de la velocidad, esta
fuerza, que también debe estar en la dirección
radial, es proporcional a la masa de los cuerpos o inercia. Los
planetas en orbita alrededor del sol, se inclinan o "caen" (caer
aquí significa la desviación respecto al movimiento
en línea recta) hacia el sol debido a la fuerza de
gravedad que el sol ejerce sobre ellos. Newton no hizo mas que
explicar lo que Kepler ya había dicho de otra manera. Que
la fuerza se dirige hacia el sol (sentido radial) y que la fuerza
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. La idea
brillante fue darse cuenta que no era necesario ejercer una
fuerza tangencial para que un planeta describa una orbita
alrededor del sol. El principio de inercia permite mostrar
entonces que la fuerza que desvía a los planetas de su
movimiento rectilíneo y uniforme, y controla el movimiento
de los mismos, es una fuerza en dirección al sol.
En esa época se sabia que otros satélites
giran alrededor de otros planetas, era como si todas las cosas se
atrajeran mutuamente. así se concluía que la tierra tira
de la luna, como el sol de los planetas; y también que la
tierra tira de
todas las cosas, fenómeno este conocido como la fuerza de
gravedad. Lo genial de Newton fue darse cuenta que la misma
fuerza que mantenía a la luna girando alrededor de la
tierra era la que explica la atracción de la tierra para
con cualquier objeto que tenga masa.
La gravedad no tiene limites, existe hasta los confines del
universo lo
cual puede explicarse a partir de las observaciones
telescópicas de pares de estrellas, galaxias y sus formas.
El campo gravitatorio nunca se acaba.
Si bien esta ley explica el funcionamiento de la maquinaria del
universo a gran escala, es
diferente a la mayoría de las otras leyes físicas;
tiene relativamente pocas aplicaciones practicas en
comparación con las demás leyes de la física. Solo
encontramos aplicaciones en las prospecciones geofísicas,
la predicción de las mareas, el calculo de la trayectoria
de los satélites
artificiales y cohetes. Otro caso donde la gravedad tiene un
efecto real sobre el universo se da
en la formación de nuevas estrellas, dado que a partir de
concentraciones de gas este se
comprime por efecto de la gravedad, así grandes
volúmenes de gas y polvo
estelar se aglomeran y a medida que caen hacia su propio centro
se genera calor que
enciende la masa de gas convirtiéndola así en una
estrella.
La ley de la inversa del cuadrado de la distancia aparece en las
leyes de la electricidad. Se
podría pensar entonces que esta relación tiene un
significado mas profundo. Sin embargo nadie aun ha logrado
establecer que la gravedad y la electricidad son
aspectos diferentes de una misma cosa. Las leyes de la
física son como piezas de un rompecabezas que no encajan
del todo bien, no hay una estructura a
partir de la cual se pueda deducir todo. Lo extraño es
encontrar aspectos compartidos. La gravedad y la electricidad son
fuerzas proporcionales a la inversa del cuadrado de la distancia
entre los cuerpos que experimentan la fuerza, sin embrago lo
notable es la tremenda diferencia de intensidad entre ambas
fuerzas. Tomando una partícula fundamental creada por la
naturaleza, que experimenta ambas fuerzas, podemos ver la
relación de intensidad entre ambas. Esta partícula
es el electrón que tiene masa, por lo cual dos electrones
se atraen según nos dice la ley de la gravedad, y
también tiene carga eléctrica por lo cual se repele
de acuerdo a la ley de la electroestática.
¿Cuál es la relación de esas fuerzas?, la
electrostática es mas intensa que la
gravedad en una proporción de 1 vs. 4,17 x
1042.
Einstein modifico la ley de gravedad dado que dijo que un
fenómeno físico no podía ocurrir en forma
instantánea, la información entre un punto del espacio y
otro se transmite con una velocidad finita de allí la
imposibilidad de lo instantáneo. Newton por el contrario
decía que la fuerza de gravedad que experimentan dos
cuerpos es instantánea y se experimenta en el mismo
momento que aparece el cuerpo que genera el campo
gravitatorio.
Otro punto importante acerca de la gravedad descubierto por los
físicos modernos, es que esta ley no rige en la
pequeña escala, no existe
aun una teoría cuántica de la gravedad.

Que son las leyes de conservación
Una de las leyes fundamentales y básicas de toda la
física es la denominada ley de conservación de la
energía. No hay excepción a esta ley que dice que
existe una cierta cantidad de algo que llamamos energía
que no cambia a través de los muchos cambios que pueda
experimentar la naturaleza. Esta es la expresión mas
abstracta dado que este es un principio matemático que
dice lo siguiente: existe una cantidad o valor
numérico que no cambia cuando algo ocurre o cambia. No es
la descripción de un mecanismo o algo concreto, es
solo un hecho extraño que podamos calcular algún
numero y que cuando terminamos de realizar la observación
de la naturaleza, vamos a través de sus trucos y
calculamos el mismo numero de vuelta, este permanece invariable.
Relacionando esto con lo que veíamos en las reglas del
ajedrez, un
alfil que esta en un casillero negro, siempre estará en el
mismo color de casilla
no importa la cantidad de jugadas que se hagan. Feynman ilustra
esta idea
abstracta de conservación mediante una
analogía.
Imaginemos un chico que juega con bloques los cuales son
indestructibles e indivisibles. Cada uno de ellos son exactamente
iguales, supongamos que tiene 28 bloques. Al comienzo del
día su madre lo pone en un cuarto con todos sus bloques.
Supongamos que al final de sucesivos días, la cantidad de
bloques que su madre encuentra varia, y que ella va dando
explicaciones al respecto, a partir de la idea de que la cantidad
de bloques no puede variar, es decir: se conserva. Un día
arrojo uno por la ventana, otro día trajo 2 bloques de lo
de un amigo, otro día que cuenta 25 bloques, no encuentra
ninguno hasta que ve una caja cerrada. Dado que no puede abrir la
misma, pero tiene información adicional: sabe cuanto pesa
la caja vacía (16kilos) y cuanto pesa cada bloque (3
kilos). Así deduce una relación en función de
los pesos:
(cantidad de bloques encontrados)+(peso de la caja – 16
kilos)/3 kilos= 28.
En otra oportunidad ocurre lo mismo pero cuando realiza el
calculo anterior no llega al mismo valor, se da
cuenta entonces que en una pileta con agua sucia
puede haber algún bloque. Para esto cuenta con otra
información adicional: sabe que originalmente la altura de
agua era de 15
cm, y que cuando se agrega un bloque esta altura aumenta en 1 cm,
por lo tanto la nueva formula para darse cuenta si están y
en donde todos los bloques es:
(cantidad de bloques encontrados)+(peso de la
caja-16ks)/3ks+(altura del agua-15cm)/1cm=28.
De esta forma, y a través de estos artificios
matemáticos, a medida que se hace mas compleja la
búsqueda de los bloques, ella va encontrando la manera de
saber donde están los mismos aunque no pueda verlos. Lo
que esta haciendo es calcular una cierta cantidad que ella sabe
cuanto vale (28) y que no puede cambiar; se conserva.
Esta analogía sirve para explicar en una primera instancia
la ley de conservación de la energía. No sabemos
que es la energía, pero la asumimos como los bloques, y
sabemos que nada debe entrar o salir de nuestro calculo sin que
nos percatemos y lo tomemos en cuenta. La complejidad en el caso
de la energía es que esta adopta diferentes formas.
Así tenemos energía gravitacional, cinética,
calorífica, elástica,
eléctrica, química, radiante,
nuclear y de masa (mase y energía son cantidades
equivalentes en términos relativistas E = m.c2
). Todas estas formas de energía deben ser tenidas en
cuenta en los cálculos de conservación. En
física hoy en día no se tiene conocimiento
de lo que es la energía. Pero si se sabe que cuando
sumamos la totalidad de la energía nos da un numero que se
mantiene constante, el 28 en el ejemplo de los bloques.
Esta es la ley de conservación mas importante aunque
podemos decir que no entendemos su significado, porque no sabemos
muy bien cual es el significado de la energía.
Además existen otras leyes de conservación como la
conservación del momento lineal y la del momento angular.
Hay otras leyes de conservación mas claras dado que si
existe algo para contar como en el caso de los bloques. Son las
leyes de conservación de la carga eléctrica, la de
conservación de bariones (Neutrones y protones son
bariones), la de conservación de leptones ( electrones,
mesón mu y neutrinos son leptones). Así llegamos a
establecer las seis leyes de conservación que conocemos,
las primeras tres mas sutiles que tienen en cuenta el espacio y
el
tiempo; mientras las ultimas tres mas simples ya que solo se
trata de contar cosas que existen
De la energía / masa.
Del momento lineal.
Del momento angular.
De la cantidad de carga.
Del numero de Bariones.
Del numero de Leptones.
Otro concepto
interesante que nos da Feynman, es que si bien la cantidad de
energía total se conserva, la energía utilizable
por el hombre no
se conserva tan fácilmente, dado que parte de esta se
pierde en energía no utilizable (calor por ejemplo) Las
leyes que gobiernan cuanta energía existe para utilizar
son las leyes de la termodinámica, las cuales involucran un
concepto
denominado entropía, que tiene en cuenta los procesos
termodinámicos irreversibles.
Cuando Feynman intenta explicar el carácter
de la ley física, nos dice que tras el amplio abanico de
leyes físicas, existen grandes principios que
todas ellas cumplen. Los principios de
conservación son uno de esos, que coexisten con: ciertas
propiedades de simetría, los principios de la mecánica cuántica, y la forma
matemática de las leyes físicas. Existen otros
principios de conservación pero mas específicos que
no vale la pena desarrollar.

7. La
Cuántica

En el inicio del capitulo 6 de libro "El
Carácter de la ley física", Feynman
nos relata algo que a mi modo de ver es muy singular y muy
atrayente acerca de lo que es el significado de la ciencia, la
investigación, las matemáticas y los modelos: en
los orígenes de la observación experimental o
cualquier observación de carácter
científico, la intuición es la que sugería
las explicaciones razonables de los fenómenos. La
intuición a su vez esta basada en la experiencia simple de
los objetos cotidianos. Pero a medida que intentamos abarcar un
campo mas amplio de hechos y dar explicaciones mas consistentes
de lo que vemos, las explicaciones simples dejan el paso a las
llamadas leyes. Una curiosa característica de estas leyes es que a
menudo parecen hacerse cada vez menos razonables y mas alejadas
de lo que resulta intuitivamente obvio. Por ejemplo en la
teoría de la relatividad se afirma que si uno piensa que
dos cosas ocurren al mismo tiempo (simultáneamente), esto
es una mera opinión subjetiva…mediante nuestra
experiencia directa solo accedemos a una porción muy
pequeña de los fenómenos naturales. Solo a
través de mediciones refinadas y una cuidadosa
experimentación podemos ampliar nuestra visión del
mundo. Entonces descubrimos cosas insospechadas, mas allá
del alcance de nuestra imaginación.
Así Feynman comienza a relatar algunos fenómenos
que tienen que ver con la denominada física
cuántica. Empieza por el fenómeno de la luz donde dice
que en primer momento era considerada como partículas,
luego mas tarde los fenómenos luminosos daban lugar a
entender la luz como una
onda, y mas tarde nuevamente a partir del denominado efecto
fotoeléctrico, se considero a la luz como un haz de
partículas. De la misma forma cuando el electrón
fue descubierto, se le dio la forma de partícula, aunque
luego haciendo pruebas con
una lluvia de electrones se vio que presentaban comportamientos
ondulatorios. Esta confusión de si eran ondas o
partículas fue resuelta en 1925 con la formulación
de las ecuaciones
correctas de la mecánica quántica. Feynman dice
entonces ahora si sabemos como se comportan los electrones y la
luz, el problema es como describirlo. Las partículas de
luz denominadas fotones y los electrones se comportan a su
manera, a la que denominaremos mecanicocuanticamente. Este
comportamiento
no se parece a nada de lo cual tengamos experiencia en el mundo
macro de los sentidos.
"Nuestra experiencia de los hechos cotidianos es incompleta" dice
Feynman. Tan fuera de lo común es este comportamiento
que Feynman nos advierte que el solo puede describir que es lo
que pasa, y no porque pasa; se anima a decir que nadie entiende
la mecánica cuántica que es la ciencia que
describe el comportamiento de las partículas muy
pequeñas, de la dimensión de los átomos o
aun mas pequeñas. Lo interesante es que este supuesto no
entendimiento, para Feynman es una dificultad psicológica,
que surge del deseo incontrolado de intentar ver todo en
términos familiares, lo cual no tiene sentido.
La explicación del comportamiento mecanicocuantico de
fotones (la luz) y electrones (la materia) que
da Feynman es mas o menos así:
En primer lugar vale decir que según sus propias palabras
esta explicación se hará mediante una mezcla de
analogía y contraste con cosas que resulten familiares. La
analogía será que cuando hable de partículas
hablara de balas que salen disparadas desde una ametralladora,
mientras que cuando hable de ondas, hablara de
las ondas que forma el agua, sea
en el mar o en una pileta. Con esta analogía hará
un experimento que consiste en lanzar hacia una pared o plancha
que tiene un orificio en el centro, primero balas y
después agua en forma de ondas. Del otro lado de esta
plancha existe otra similar pero con dos orificios equidistantes
hacia arriba y hacia abajo, del orificio central de la primera
plancha. Entonces observara que es lo que pasa a través de
dichos orificios o ranuras.
Luego repetirá el experimento y lo describirá
cuando es realizado con fotones (análogo a las ondas de
agua) y electrones (análogo a las balas), mostrando
así como difieren entonces el comportamiento normal o
familiar de las balas y el agua, del
comportamiento que llamamos mecanicocuantico.
Este experimento se ha diseñado, según Feynman,
para contener todo el misterio de la mecánica
cuántica y para enfrentarnos con lo paradojal y peculiar
del comportamiento de la naturaleza. En este experimento esta
contenido todo el misterio de la cuántica.
Cuando inicia el experimento con balas desde una ametralladora
que baila en su soporte, y haciendo una descripción
detallada, Feynman concluye que la cantidad de balas que luego de
pasar por el orificio central, pasan por alguno de los otros dos
orificios de la plancha seguirá una ley de distribución que se conoce como campana de
Gauss, donde una mayor cantidad de balas estarán alineadas
con el orificio mientras que un número decreciente se
repartirá a ambos lados del orificio. Esto ocurrirá
con los dos orificios de manera que si dibujamos en un grafico la
cantidad de balas nos quedara como una doble joroba, estando el
pico de la misma a la altura del orificio. Esta doble joroba dice
Feynman es la superposición de los gráficos que obtendría si se repite
el experimento por separado para cada uno de los orificios
estando el otro cerrado. A esto lo llama Ley de la "No
interferencia".
Ahora repite el experimento con ondas de agua, donde existe la
primer plancha o barrera con un orificio donde pasan las ondas,
formando círculos concéntricos al pasar, con centro
en el orificio por donde pasan, al llegar estas ondas a la
siguiente plancha con los dos orificios, también pasan por
cada uno de ellos formando círculos concéntricos
con centro en cada uno de ellos. Al viajar las ondas que salieron
de los dos orificios, se comienzan a encontrar produciendo lo que
se denomina interferencia, sea esta constructiva, cuando las dos
ondas llegan al mismo tiempo y se suman o destructivas cuando una
onda esta arriba y la otra onda para abajo y se restan.
Así si medimos a una cierta distancia de la plancha de dos
ranuras como llega la intensidad de las ondas veremos que si
dibujamos esto en un grafico nos daría zonas de altura
hacia un lado, otras de altura hacia el otro, y aun otras de
altura cero o planas. Este grafico además no
tendría nada que ver con el que se obtuviera al hacer el
experimento con un orificio cerrado, luego el otro y sumando los
resultados, como en el caso de las balas.
Con alguna notación matemática simple, diremos
esto:

1. Llamamos N al grafico hecho a partir del experimento
   con las balas. así N1 es el grafico cuando el
   orificio 1 esta abierto y el 2 cerrado; N2 es cuando
   2 esta abierto y 1 cerrado; mientras que N12 es
   cuando ambos orificios están abiertos. La
   conclusión era que N12= N1+
   N2 a la que llamábamos Ley de la No
   interferencia.
2. Llamamos I al grafico hecho a partir del experimento
   con agua. Así I1 significa 1 abierto y 2
   cerrado, mientras que I2 es la inversa: 2 abierto y
   1 cerrado. I12 es cuando ambos orificios
   están abiertos. Aquí se da la ley de la
   interferencia por la que I12 ¹ I1+
   I2 , sin embargo si se dan las siguientes
   igualdades: I1 = N1, I2 =
   N2.

Ahora bien cuando se realiza el experimento con
electrones verdaderos y fotones, algo que la técnica si
permite realizar, ocurre los siguiente:
Se lanzan electrones o fotones de a uno, lo cual se puede
determinar dado que se coloca un sensor que cada vez que llega un
electrón o foton hace un click, es decir medimos unidades
físicas que llegan tal como hacíamos en el
experimento de las balas. Ahora bien si hacemos esto durante
bastante tiempo y vamos contando con el sensor adonde terminan
cada una de estos proyectiles cuánticos, veremos que lo
hacen en lugares totalmente aleatorios y diferentes uno del otro,
pero después de haber lanzado miles de estos, empezamos a
notar un cierto patrón de llegada. Dicho patrón es
el mismo que nos muestra la
grafica de las ondas, es decir un patrón de interferencia.
Esto significa que si hacemos el experimento con estas
partículas, con cualquiera de los dos orificios cerrados,
las mismas se distribuyen de una manera similar a la que
adoptaban las balas, pero al dejar ambos orificios abiertos, en
lugar de distribuirse como si fuera la superposición de
las anteriores –no interferencia- lo hacen como en el caso
de las ondas- interferencia- ¿Cómo es que un
conjunto de proyectiles pueden provocar interferencia, algo que
es propio de las ondas?. Se dice entonces que los electrones, o
para el caso cualquier entidad cuántica, en este
experimento de las dos ranuras, llegan en unidades enteras
adoptando así el comportamiento de las partículas
materiales
(balas), pero la probabilidad de
llegada o la distribución de dicha probabilidad de
llegada, se determina como si fueran ondas. Es en este sentido
dice Feynman, en el que los electrones se comportan a veces como
partículas y a veces como ondas. Se comportan de dos
maneras diferentes al mismo tiempo.

8.
Simetría

Feynman se pregunta porque debe tratar el tema de la
simetría y las leyes físicas. Su opinión al
respecto es que desde siempre la mente del ser humano se fascina
con todas aquellas formas o patrones que son simétricos.
Es un hecho interesante, nos dice Feynman que la naturaleza
muestra a
menudo ciertas clases de simetría en aquellos objetos que
encontramos en el mundo que nos rodea. Por ejemplo una de las
formas mas simétricas es la esfera, y la naturaleza
muestra muchos objetos esféricos tales como los planetas,
las estrellas, las gotas de agua. Los cristales de las rocas muestran
estructuras
simétricas que nos dan pautas acerca de la estructura de
los sólidos. Incluso en el mundo animal y vegetal
encontramos formas simétricas. Pero la simetría de
la cual se interesa Feynman no es acerca de las formas, sino de
una simetría mucho mas profunda dentro del universo. Es la
simetría que presentan las leyes básicas en si
mismas, las que gobiernan la operación o el comportamiento
del mundo físico.
Lo primero en responder será entonces ¿que
significa simétrico?, ¿cómo una ley
física puede ser simétrica?. Para definir
simetría, lo primero que menciona Feynman es la
definición de un tal Weyl: cualquier cosa es
simétrica, si existe algo que podamos hacerle a esa cosa,
de manera tal que luego de haberlo hecho, esa cosa permanece
igual que antes de nuestra acción. Por ejemplo un vaso es
simétrico si podemos reflejarlo en un vidrio o rotarlo,
de manera tal que luego de esa acción (reflejarlo o
rotarlo) el vaso permanece igual, o sea sin cambio aparente
alguno. El inconveniente en nuestro caso es detectar que le
podemos hacer a un fenómeno físico o a una
situación física en un experimento, de manera tal
que los resultados permanezcan invariables.
A partir de esta definición, Feynman da una lista de
operaciones
que mantienen invariables a los fenómenos físicos,
es decir que los fenómenos no cambian antes o
después que sobre ellos realizamos la operación
mencionada:

• Traslación en el espacio.
• Traslación en el tiempo.
• Rotación angular.
• Velocidad uniforme en línea recta.
• Reversión del tiempo.
• Reflexión en el espacio.
• Intercambio de átomos idénticos o
  partículas idénticas.
• Fase mecánico-cuántica.
• Materia-antimateria.

Simetría espacio-tiempo
Si realizamos un experimento en una cierta región del
espacio y luego con un aparato similar realizamos lo mismo en
otra región del espacio, cualquiera haya sido el resultado
en el primer experimento se repetirá exactamente igual en
el segundo; si mantenemos las mismas condiciones en ambos
experimentos.
Esta traslación en el espacio, también puede
visualizarse como una rotación de un ángulo fijo
alrededor de un centro o eje.
De la misma manera que hablamos de traslación en el
espacio físico, lo hacemos en el temporal, es decir
iguales experimentos
repetidos en las mismas condiciones externas, pero en dos
momentos de tiempo diferentes, darán los mismos
resultados. Para entender esto mejor, en un experimento que no es
simétrico pensemos en que si el experimento consiste en
comprar acciones de
una empresa,
los resultados no serán los mismos si lo hacemos en
diferentes momentos, es decir la ley del mercado que
gobierna el comportamiento de los precios de las
acciones no
presenta simetría respecto a la traslación en el
tiempo.
En un nivel mas avanzado tenemos la simetría que se da
bajo un movimiento a velocidad uniforme en línea recta.
Este es un efecto notable: si tomamos un aparato lo hacemos
trabajar en una cierta forma y luego a este mismo aparato lo
ponemos en un auto que se desplaza en línea recta a
velocidad uniforme, todos los experimentos que aquí
realicemos, en el auto darán resultados iguales a los que
obtuvimos con el aparato fuera del auto. Fue el estudio de la
relatividad lo que concentro la atención de los físicos en los temas
de la simetría de las leyes físicas.
Todas estas simetrías mencionadas, son de naturaleza
geométrica. Existen otro tipo de simetrías, por
ejemplo aquella que describe que podemos reemplazar un átomo por
otro de la misma clase, sin producir ninguna alteración en
la sustancia donde realizamos el reemplazo. Es decir existen
átomos de la misma clase.
Ahora bien parecería que todo es simétrico cuando
hemos definido simetría de esa manera. ¿Que no es
simétrico? Por ejemplo, las leyes físicas
¿son simétricas cuando realizamos un cambio de
escala? Supongamos que construimos dos aparatos idénticos
pero uno 5 veces mas grande que el otro, el mismo experimento
realizado en ambos ¿dará los mismos resultados? La
respuesta es no. La longitud de onda emitida por un átomo de
sodio en un caja de átomos de sodio, y la longitud de onda
emitida por gas de átomos de sodio cinco veces mas grande
en volumen que la
caja del primer experimento, no es cinco veces mas grande sino
que es exactamente igual. Las leyes de la física no
permanecen invariables a los cambios de escala; esta realidad fue
descubierta por Galileo. El se dio cuenta que la fuerza o
resistencia de
los materiales no
era exactamente proporcional a la dimensión del cuerpo
compuesto por dichos materiales. Para explicar esto Galileo
pensaba en dos huesos de perro,
uno en la proporción exacta para poder sostener el peso
del perro, y el otro hueso imaginario de un superperro que fuera
diez o cien veces mas grande que el otro, llegando a la
conclusión que un perro de esta proporción no
podría ser sostenido por un hueso en la misma
proporción, es decir diez o cien veces mas grande. Esto es
así porque el peso dependerá del volumen del
animal ( dimensión al cubo) mientras que la resistencia del
hueso aumenta con la superficie de la sección
(dimensión al cuadrado); por lo tanto no se mantiene la
proporcionalidad o sea no hay simetría.

La simetría y las leyes de la
conservación
Las simetrías de las leyes físicas son mas
interesantes al nivel de la mecánica cuántica. Esto
es así porque en este nivel, por cada una de las reglas de
simetría, existe una ley de conservación que se
corresponde. Hay una conexión definida entre las leyes de
conservación y la simetría de las leyes
físicas. Así la simetría en la
traslación espacial se corresponde con la ley de
conservación del momento, la simetría de las leyes
en la traslación temporal se corresponde con la ley de
conservación de la energía; la simetría de
las leyes ante la rotación en un ángulo fijo, se
corresponde con la conservación del momento angular.
Feynman considera a estas conexiones como una de las cosas mas
profundas que ocurren en la física.
Existen también una serie de simetrías que solo se
dan en el ámbito de la cuántica sin correspondencia
en la física clásica, como por ejemplo la
simetría respecto al cambio de fase de la función de
onda, cuya ley de conservación asociada es la
correspondiente a la conservación de la carga
eléctrica.
Posiblemente toda esta explicación de la simetría a
alguno le parezca algo ridículo. A mi personalmente me
admira el final de la lección que da Feynman. En esta
Feynman dice que en realidad la naturaleza vista a través
de sus leyes es casi simétrica, es decir no todas las
leyes físicas tienen la cualidad de la simetría, es
decir existe la simetría pero no en forma absoluta.
¿Porque ocurre esto? Se pregunta Feynman. En primer lugar
debemos aceptar que la simetría de las leyes
físicas son una muestra de la perfección de la
naturaleza, al menos a los ojos de los científicos.
Feynman comenta entonces que en una puerta construida en Japón
durante la influencia del arte chino, se
ven infinidad de dibujos y
arabescos perfectos y simétricos esculpidos. Solo en un
sector pequeño se nota una asimetría. La pregunta
de porque esto fue así, la responden diciendo que de esta
manera los dioses no tendrán celos de los hombres dado que
son imperfectos. Dando vuelta el argumento para el caso de las
leyes de naturaleza, ¿por qué Dios creo estas leyes
de la naturaleza casi simétricas, es decir cuasi perfectas
y no perfectas? La respuesta de Feynman es que de esta manera los
hombres no están celosos de la perfección de Dios.
Me parece admirable este argumento de un hombre que se
manifestaba como no creyente.

Relatividad especial
Durante 200 años se consideraba que las ecuaciones de
movimiento enunciadas por Newton, describían la naturaleza
correctamente. La primera vez que se descubrió que esto no
era así, también se descubrió la manera de
corregir este error. Esto fue logrado por Einstein en 1905.
La segunda ley de Newton define la fuerza como el cambio de la
cantidad de movimiento respecto al tiempo:
F = d(mv)/dt
En esta ecuación existe la premisa de que la masa es una
magnitud constante; esta premisa es la que hoy sabemos es
incorrecta. Einstein nos dice que la masa de un cuerpo aumenta
con la velocidad con la que este se mueve de acuerdo a la
siguiente formula:
m = m0 /
(1-v2/c2)1/2, donde
m0 es la masa del cuerpo en reposo, v la velocidad del
cuerpo y c la velocidad de la luz. Para valores de v
pequeños en relación a c, el termino
v2/c2 tiende a cero, por lo tanto la masa
puede considerarse como constante m=m0.
En esto consiste toda la relatividad especial, es decir en
aplicar a las formulas de Newton un factor de corrección
para la masa.
Esta formula ha sido ampliamente verificada a través de
las observaciones de muchas clases diferentes de
partículas que se mueven a velocidades cercanas a las de
la luz. Para realizar estas investigaciones
es que se construyen y utilizan los aceleradores de
partículas o ciclotrones. Estas comprobaciones
experimentales fueron realizadas posteriormente al desarrollo
teórico de Einstein.
El llamado principio de relatividad fue enunciado por Newton como
un corolario de sus leyes de movimiento: los movimientos de
cuerpos dentro de un espacio dado, son iguales entre estos (los
cuerpos), sea que el espacio se encuentre en reposo o en
movimiento rectilíneo y uniforme. Esto significa que si
por ejemplo lanzamos una pelota hacia arriba dentro de un auto en
movimiento, esta nos caerá en las manos de la misma forma
que lo haría si el auto estuviera parado. La teoría
de la relatividad lo que en realidad quiere significar es que no
existe en el universo un
estándar absoluto para medir el movimiento, todos los
objeto se mueven respecto de otros y solo podemos decir que algo
se esta moviendo en tanto y en cuanto podamos establecer un
sistema de
referencia. Todos los sistemas de
referencia son igualmente validos; cualquier punto de vista es
tan bueno como cualquier otro.
Si llamamos x, y, z, t a un sistema en
reposo, y x’, y’, z’, t’ a las
coordenadas que definen los puntos de un sistema en movimiento a
velocidad u en la dirección de x. Resulta que las
ecuaciones que relacionan las coordenadas de ambos sistemas
según el principio de relatividad de Newton son:
x’=x-ut
y’=y
z’=z
t’=t
Este principio de relatividad enunciado por Newton no resulto ser
valido cuando fue aplicado a las ecuaciones de Maxwell del campo
electromagnético, esto significa que en un sistema en
movimiento: un auto o una nave espacial, los fenómenos
eléctricos y ópticos no son iguales a los mismos
fenómenos cuando el sistema esta en reposo.

La constancia de la velocidad de la luz c
Einstein estableció como postulado de su nueva
teoría de la relatividad especial, que la velocidad de la
luz es una constante independiente del estado de
movimiento o reposo de la fuente que la origina. Es decir si
estamos en reposo y hacia nosotros se acerca una nave a una
velocidad v, cuando esta nave enciende una luz, dicho haz de luz
nos llega a nosotros a la velocidad c y no como
supondríamos a la velocidad compuesta c+v. Lo mismo
ocurriría si la nave se aleja de nosotros, la luz no nos
alcanzaría a una velocidad menor c-v, sino que lo
seguiría haciendo a la velocidad c. Este postulado, junto
con el que establece que la velocidad de la luz es una velocidad
máxima que no puede ser superada por ningún objeto,
cuerpo o radiación,
suena muy raro para el sentido común, pero fue finalmente
comprobado experimentalmente. ¿Cómo es posible?
Einstein advirtió entonces que la única forma de
explicar este "sin sentido" de que la luz se mueva a una
velocidad idéntica para un observador en reposo que para
otro en movimiento, es que el sentido del tiempo y del espacio
para cada uno de ellos difieran, es decir el tiempo y el espacio
dejan de ser valores
absolutos o constantes sino que dependen del estado de
movimiento del sistema de referencia. Los relojes del interior de
una nave que se mueve a una velocidad muy alta (cercana a la de
la luz) marchan mas despacio que los que están en la
tierra en reposo. El viajante de la nave diría que se
daría cuenta si esto ocurre pero no es factible dado que
su cerebro
también ira mas lento, es mas su cuerpo siendo un reloj
biológico también envejecerá mas lentamente.
Entonces se dice que dentro de la nave se mide la velocidad de la
luz como 300.000 km base nave por segundo base nave, mientras que
en la tierra el resultado es el mismo aunque los km y los
segundos son base tierra.

Las transformadas de Lorentz
En una primera instancia, cuando se comprobó que las
ecuaciones de Maxwell no cumplían con el principio de
relatividad newtoniano se creyó que estas estaban mal, y
por ende se intento modificarlas de manera tal que se ajustaran
al cumplimiento de dicho principio. El problema fue que cuando se
hizo esto, los resultados de las predicciones que arrojaban estas
ecuaciones correspondían a fenómenos que no se
observaban en la realidad.
Lorentz detecto que cuando hizo las siguientes sustituciones en
las ecuaciones de Maxwell:
x’=
(x-ut)/(1-u2/c2)1/2
y’=y

z’=z
t’=(t-ux/c2)/(1-u2/c2)1/2

las mismas permanecían invariables. Einstein dijo entonces
que todas las leyes físicas debían ser de tal forma
que se mantuvieran invariables bajo las transformaciones de
Lorentz. Así concluyo que no eran las ecuaciones de
Maxwell que había que cambiar sino las de la
mecánica Newtoniana.
De aquí resulto que el único cambio necesario
consistía en dejar de considerar a la masa como un valor
constante y tomar el valor dado según la ecuación
anterior donde la misma aumenta con la velocidad del cuerpo,
siendo este aumento significativo a velocidades cercanas a la de
la luz. De esta forma las leyes de
Newton y las de la electrodinámica permanecen
invariables en los diferentes sistemas de coordenadas.
Ahora bien, las transformaciones de Newton llamadas Galileanas
parecen ser de sentido común, no así las de
Lorentz, por esta razón Einstein, para encontrar el
sentido de estas transformaciones, comenzó por revisar los
conceptos de espacio y tiempo.
18 años después de que Michelson y Morley
fracasaron en su intento de medir la velocidad absoluta de la
tierra respecto al éter, fluido este que nunca
existió, Einstein explico lo que pasaba. Los cuerpos que
se mueven a una velocidad cercana a la de la luz se contraen en
la dirección del movimiento. El factor de
contracción esta dado por las llamadas transformaciones de
Lorentz. Lo que en un primer momento pareció ser un
artificio matemático para lograr un resultado, se pudo
comprobar experimentalmente junto con la no menos descabellada
idea de que el tiempo transcurre mas lentamente para aquellos
cuerpos en movimiento a velocidades comparables con la de la
luz

9.
Espacio-tiempo

La teoría de la relatividad muestra que la
relación de posiciones y tiempos medidas en dos sistemas
de coordenadas no son lo que hubiéramos esperado sobre la
base de nuestra intuición. Por el contrario estas siguen
las relaciones dictadas por las transformaciones de Lorentz. Para
realizar una analogía con mediciones en dos sistemas de
coordenadas y su significado, consideremos las transformaciones
que tienen lugar cuando a un sistema se lo rota un cierto
ángulo q
respecto al centro del sistema. Así las ecuaciones
que relacionan las posiciones entre ambos sistemas, el original y
el rotado son:
X’= x cosq
+ y senq

Y’= y cosq
– x senq

Z’=z

Siendo los valores
primos las coordenadas en el sistema rotado y los valores no
primos las coordenadas en el sistema original. Los valores primos
pueden considerarse como un mix ponderado de los valores no
primos, siendo los factores de ponderación que ponderan a
los valores no primos, función del ángulo de
rotación del sistema.
Veamos ahora una analogía físico-geométrica.
Cuando miramos a un objeto, existen dos dimensiones del mismo, el
ancho y la profundidad. La realidad es que el ancho puede pasara
a ser profundidad y viceversa, dependiendo de cómo nos
ubiquemos respecto al objeto. Es decir, ambas medidas son
aparentes dado que según estemos ubicados nosotros
respecto al objeto, las mismas serán diferentes
(imaginemos que miramos al objeto desde diferentes
ángulos). Estas medidas aparentes son una
combinación o mix de las medidas reales del objeto, su
ancho y su profundidad, y se pueden calcular aplicando las
formulas anteriores de rotación. Si no pudiéramos
cambiar de posición respecto al objeto que observamos,
este ejercicio de pensamiento
seria irrelevante dado que siempre veríamos los mismo del
objeto, es decir para nosotros el ancho y la profundidad serian
dos medidas diferentes, que denominaríamos las verdaderas
medidas del objeto. Es debido a que podemos caminar alrededor del
objeto, que podremos darnos cuenta que el ancho y la profundidad
son de alguna manera dos aspectos diferentes de la misma cosa.
Supongamos que el objeto es un rectángulo, si lo miramos
de frente el ancho es una dimensión, mientras que si nos
colocamos de costado perpendicular a la posición anterior,
el ancho es lo que antes era la profundidad.
Ahora bien ¿podemos pensar a las transformadas de Lorentz
de la misma manera? En estas también los valores primos
son un mix de los no primos. Recordemos que los valores primos
son los correspondientes al sistema en movimiento, mientras los
no primos son los correspondientes al sistema en reposo.
Lo complicado es que dicho mix, es un mix de espacio y tiempo. En
el sistema en movimiento (el primo) valores de posición
que denotan espacio, son una mezcla de valores de posición
del sistema en reposo y valores de tiempo en el mismo sistema. Lo
que una persona en el
sistema en movimiento ve como espacio, la otra persona en el
sistema en reposo lo ve en parte como paso del tiempo. Feynman
genera la siguiente idea: la "realidad" de un objeto al cual
miramos, es de alguna manera mas amplia (lo que miramos no es la
realidad objetiva e intrínseca del objeto) que el "ancho"
y la "profundidad" del objeto porque estos dependen del hecho de
cómo miremos al mismo, es decir desde que lugar. Cuando
nos movemos a una nueva posición, nuestro cerebro
inmediatamente recalcula el ancho y la profundidad,
dándonos una idea real de lo que es el objeto.
Pero nuestro cerebro no puede recalcular inmediatamente
coordenadas de espacio y de tiempo cuando nos movemos a altas
velocidades, debido a que no tenemos la experiencia efectiva de
viajar a velocidades cercanas a la de la luz, adonde
podríamos apreciar que el espacio y el tiempo son como "el
ancho y la profundidad" dimensiones de la misma naturaleza. A
nosotros nos ocurre como en el caso de aquella persona que mira a
los objetos siempre desde la misma posición, sin poder
caminar alrededor de ellos.
De esta manera intentaremos pensar a los objetos en una nueva
clase de mundo de espacio-tiempo combinado, de la misma manera
que en el espacio dimensional podemos observar los objetos desde
diferentes posiciones. Así consideraremos a los objetos
que ocupan un cierto espacio y duran un cierto tiempo, como
ocupando un cierto "blob" (es la palabra de Feynman) en este
nuevo mundo al que denominamos espacio-tiempo. Un punto en este
espacio-tiempo definido por cuatro coordenadas (x, y, z, t) se
denomina evento.
La geometría
del espacio-tiempo así definido no es euclidiana. El
espacio-tiempo es un espacio curvo, estando la curvatura dada
sobre la dimensión tiempo de dicho espacio. ¿Que
tal?!!!

Espacio curvo
El tema este me parece interesante porque si bien el titulo suena
a algo estrambótico, la realidad es que entenderlo abre la
mente, porque da la casualidad que nosotros vivimos en un espacio
curvo. Muchos de los conceptos que adquirimos en las
escuelas aprendiendo geometría
euclidiana en un plano, no son validos en los espacios
curvos.
La explicación que da Feynman acerca de los espacios
curvos surge a partir de la teoría general de la
relatividad y de la teoría de la gravedad de Newton.
Newton decía que cualquier cuerpo con masa atrae a otros
cuerpos con masa, con una fuerza que de acuerdo a una formula
sencilla era igual al producto de
las masas dividido por el cuadrado de la distancia que separa a
ambos. Si bien sencilla, el fundamento físico de esta
formula no es para nada claro, ¿por qué se produce
esa atracción? Es una pregunta sin respuesta.
Einstein tenia una interpretación diferente de la fuerza
de gravedad o atracción entre los cuerpos. Según
el, el espacio y el tiempo, que conforman el denominado
espacio-tiempo, sufren una curvatura considerable cerca de
grandes masas. Es así que el intento de las cosas de
continuar el movimiento en línea recta en este
espacio-tiempo curvado lo que hace que las cosas se muevan como
lo hacen, es decir atrayéndose entre ellas según la
formula de Newton. Esto dice Feynman es una idea compleja para
entender, así que comienza su explicación
ocupándose solamente del concepto de espacio curvo sobre
todo en la aplicación de Einstein. Como en tres
dimensiones es un tema complejo, empieza a desarrollarlo en dos
dimensiones.
Para esto Feynman se imagina seres vivos que habitan en un mundo
de dos dimensiones. Estos insectos obviamente no tienen
posibilidad de imaginarse como es un mundo como el nuestro de
tres dimensiones, por lo tanto por analogía que hagamos al
pasar de dos a tres dimensiones, podremos comprender, no sin
esfuerzo como transformar nuestras ideas y pasar de nuestras tres
dimensiones a cuatro dimensiones (espacio-tiempo). Así
Feynman nos habla de un insecto que vive en un plano, otro que
habita la superficie de una esfera, donde podrá caminar
pero sin tener el concepto de mirar para arriba o para abajo o
para afuera de la esfera, y un tercero que vive en un plano mas
complejo y con ciertas características: la temperatura es
diferente en diferentes zonas de dicho plano, tanto el insecto
como las reglas que utiliza para medir están hechas de un
material que se expande cuando aumenta la temperatura.
En este plano que denominamos plato caliente, todo se expande con
el calor en la misma proporción.
Ponemos ahora a nuestros insectos a estudiar
geometría.
Primero aprenden el concepto de línea recta como la
distancia mas corta que hay entre dos puntos. El insecto en el
plano dibuja una línea recta; el que esta sobre la esfera
también lo hace aunque nosotros (individuos en tres
dimensiones) veremos que es una curva sobre la esfera que une
ambos puntos. Para el tercer insecto en el plato caliente, el
dibujo
también resultara en una línea curva pero que
requiere mas explicación. Digamos primero que el plato
esta mas caliente en el centro que en los bordes, y digamos que
los puntos que debe unir están a ambos lados del centro.
Dada la definición que la línea recta es la menor
distancia entre dos puntos, el insecto comenzara a trazar esta
línea con su regla, pero dado que la misma se expande en
las zonas de mayor temperatura, los cm que el mida sobre esta
regla serán mas grandes en las zonas calientes que en las
frías por lo tanto al querer trazar la línea mas
corta, esta tendrá, viéndola desde arriba (algo que
nuestro insecto no puede hacer), una curvatura hacia fuera del
plato, que son las zonas de mayor temperatura. Vemos así
que el mismo concepto adopta diferentes formas para nosotros.
Estas formas se producen según es el punto de vista de los
insectos que dibujan las líneas.
Veamos ahora la construcción de figuras geométricas
sencillas: un cuadrado, un triangulo y un circulo.
Empezando por el insecto que esta en un plano, el dibujara un
cuadrado trazando a partir de un punto A, una línea de
longitud d definida; marcando luego un ángulo de
900 con esta, trazara otra línea de longitud d,
y así repetirá el procedimiento dos
veces mas, comprobando que vuelve al punto de partida A. Esta
figura es un cuadrado.
Si luego dibuja una figura que esta dada por la
intersección de tres líneas oblicuas
obtendrá lo que se denomina triangulo, figura esta que
tiene la propiedad de
que sus ángulos internos suman 1800.
Finalmente si desde un punto c, nuestro insecto comienza a
dibujar líneas todas de la misma longitud r, comprobara
que si une estos puntos obtenidos obtendrá una
línea curva que se cierra sobre si misma a la que
denominaremos circulo. También haciendo diferentes de
estos círculos, podrá comprobar que la
relación entre la medida de esta curva (perímetro
de la circunferencia) y la distancia desde el punto c (centro)
hasta la curva r (radio) es un valor constante, aproximadamente
6,283 (2p ).
Ahora bien cuando el mismo procedimiento es seguido por nuestros
otros dos insectos, el de la esfera y el del plato caliente,
nos encontramos con ciertos inconvenientes. El cuadrado no se
cierra, es decir no se vuelve al punto de partida cuando a
partir
de un punto trazamos líneas en ángulos rectos de la
misma dimensión. Los ángulos del triangulo no suman
1800 sino mas. Cuando dibujan la circunferencia sobre
la superficie de la esfera o sobre el plato caliente, resulta que
la relación entre C (perímetro de la
circunferencia) y la constante 2p , da un valor que es menor al radio medido
sobre el espacio sea de la esfera o del plato caliente.
Se define entonces un espacio curvo como aquel en el que ocurren
este tipo de incongruencias o diferencias con el espacio
euclidiano.
Puede haber diferentes tipos de espacios curvos. Un insecto en
una pera tendrá una visión diferente a los otros
dos que mencionamos, dado que la curvatura de la pera varia
según este en la parte superior o la inferior. Un insecto
en una silla de montar también esta en otro tipo de
espacio curvo. Según sea la curvatura de estos espacios se
puede dar que las incongruencias con el espacio euclidiano sean
inversas. Así la suma de los ángulos internos de un
triangulo podrán ser inferiores 1800, el radio
calculado puede ser menor al radio medido. Se dice de estos que
son espacios curvos de curvatura negativa.
Un caso particular es aquel del insecto viviendo en la superficie
de un cilindro. Diríamos en principio que este
también esta en un espacio curvo. Sin embargo si dibujamos
el cuadrado, el triángulo y el circulo sobre la superficie
del cilindro, veremos que estas figuras cumplen con los criterios
del espacio euclidiano. Esto es simplemente así porque si
desenrollamos el cilindro con las figuras en el, veremos entonces
que estas son las mismas pero ahora en un plano. De esta manera
podemos decir que nuestro insecto no puede detectar que esta
sobre un espacio curvo, realizando los experimentos de los
dibujos,
porque le darán como si fuera un plano. Solo podrá
detectar la curvatura comenzando a caminar hacia una
dirección y comprobando que regresa al punto de partida.
Según nuestra definición técnica, el
cilindro no es un espacio curvo. De esta manera, introducimos el
concepto de curvatura intrínseca, diciendo que es aquella
que puede detectarse mediante una medición local, por ejemplo dibujando el
cuadrado y viendo que no llegamos al punto de partida. Decimos
entonces que el cilindro no tiene curvatura
intrínseca.
Este fue el sentido que le daba Einstein cuando definía a
nuestro espacio como un espacio curvo. Ya lo vimos en dos
dimensiones, debemos extrapolar ahora no sin cierta
complicación a tres dimensiones.
Vivimos en un espacio de tres dimensiones y no podríamos
imaginar que el mismo puede estar doblado o curvado en alguna
dirección, simplemente nos dice Feynman porque nuestra
imaginación no es lo suficientemente buena, de la misma
manera que para el insecto que habita la superficie de la esfera,
le es imposible darse cuenta de lo que significan las tres
dimensiones que nosotros vemos tan claramente. Aun así
podemos definir una curvatura sin salir de nuestro mundo
tridimensional. Todo lo dicho acerca de el mundo bidimensional de
nuestros insectos fue un ejercicio para mostrar que podemos
obtener una definición de curvatura del espacio que no
requiere que estemos en condiciones de observarla desde una
posición externa. Podemos determinar si nuestro mundo esta
en un espacio curvo de la misma manera que hacen nuestros
insectos que viven en la superficie de una esfera o de un plato
caliente. Es cierto que no podremos diferenciar entre ambos, pero
si podemos diferenciar ambos de un espacio plano.
¿Cómo lo hacemos? De la misma manera que hicimos
hasta ahora, dibujamos un triangulo y medimos sus ángulos
interiores, o un circulo y medimos la relación entre su
circunferencia y el radio, o una esfera, o tratamos de dibujar un
cuadrado o un cubo. En cada uno de estos casos verificamos si se
cumplen los postulados de la geometría euclidiana, si esto
no ocurre, entonces decimos que nuestro espacio es curvo. No
obstante en el caso de tres dimensiones la cosa no es tan
sencilla como en el caso de dos dimensiones, dado que en los
espacios bidimensionales, en cualquier punto del mismo hay una
cierta curvatura, pero en tres dimensiones existen varios
componentes de la curvatura, por ejemplo si dibujamos un
triangulo en un plano podremos obtener una suma de sus
ángulos interiores diferente a la que obtendríamos
si lo dibujamos en otro plano, lo mismo ocurriría si
dibujamos un circulo.
Una manera de superar este obstáculo seria dibujando una
esfera. Definimos la esfera como el conjunto de puntos que en un
espacio tridimensional son equidistantes de un punto del mismo
espacio al que denominamos centro de la esfera. Podemos medir la
superficie de la esfera mediante algún sistema practico
tal como colocar sobre dicha esfera una grilla con
pequeños rectángulos, hasta cubrirla totalmente,
luego sumar las áreas de los rectángulos y esa
será la superficie medida de la esfera, como sabemos que
la formula de la superficie de una esfera es: S =
4p
r2, resulta que de esta formula podemos calcular
el
radio ya que la superficie S fue calculada con el método de
la grilla.
Es importante una aclaración; la formula del área
de una esfera es correcta si la misma (esfera) existe en un
espacio euclidiano, justamente que los resultados de la formula
no coincidan con las mediciones realizadas, asumiendo que tenemos
instrumentos perfectos para medir, denota la
característica de espacio no euclidiano y por ende la
denominación del mismo como espacio curvo.
Volviendo a nuestra comprobación, podemos medir
directamente el radio de la esfera con los instrumentos
perfectos. Si el radio medido es mayor al radio calculado,
tendremos un radio en exceso que es la medida de la curvatura
media del espacio tridimensional en el cual se encuentra nuestra
esfera. Al ser una curvatura media o promedio no se podrá
determinar las propiedades geométricas de dicho espacio.
En realidad la definición completa de la curvatura de un
espacio tridimensional requiere la especificación de seis
números de curvatura en cada punto. Esto así esta
dicho por Feynman, pero realmente no es sencillo entender a que
se refiere.
Ahora bien, el espacio tridimensional en el que vivimos
¿es curvo? A partir de muchas mediciones
geométricas realizadas, nadie detecto que nuestro espacio
fuera curvo. Simplemente para distancias no muy grandes no es
factible detectar si nuestro espacio es euclidiano o no. Pero
bajo ciertas circunstancias tales como en lugares donde la fuerza
de gravedad es muy intensa o las distancias en cuestión
son muy largas, tal como ocurre en los espacios interestelares o
cerca de estrellas que producen fuertes campos gravitatorios, se
ha comprobado que el universo es un espacio no euclidianos es
decir es un espacio curvo.
Fue Einstein quien estudiando el tema de la gravedad, en su
teoría general de la relatividad, quien descubrió
la curvatura de nuestro espacio. La explicación que da
Feynman no es sencilla, pero esta hecha con lenguaje llano
y poca matemática así que aquí la
describo.
Einstein dijo que el espacio es curvo y que la causa de esa
curvatura es la materia. Como
la materia es también la causa de la gravedad, entonces la
gravedad estará relacionada on la curvatura del
espacio.

Hiper-espacio
No es sencillo entender o imaginarnos los conceptos relacionados
con la teoría general de la relatividad y la
cosmología, porque nos hablan de hiperespacios (espacios
de mas de tres dimensiones) y espacios no euclidianos. Por esta
razón me pareció importante agregar algunas
explicaciones que no vienen de Feynman pero que ayudan a
comprender su lectura.
Como primera medida es necesario dar significado al termino
"dimensión". Podemos acordar que el lugar donde habitamos
es un espacio de tres dimensiones, un plano geométrico o
la superficie de una esfera, es un espacio de dos dimensiones,
una línea o una circunferencia es un espacio de una
dimensión.
En nuestro universo nosotros siempre encontraremos un punto por
donde puedan trazarse tres líneas perpendiculares entre
ellas, imaginemos la esquina de un cuarto. En un plano solo
podemos trazar dos líneas perpendiculares que pasen por el
mismo punto. Por lo tanto por extensión decimos que si en
un espacio podemos trazar por un punto n líneas que son
perpendiculares entre si, dicho espacio será
n-dimensional. Esta afirmación que deducimos obviamente no
puede captarse con la imaginación, simplemente porque,
como decía Feynman, nosotros estamos metidos en un espacio
tri-dimensional por lo
que todo lo que lo supere no es algo que podamos visualizarlo
dado que nuestros sentidos no están preparados para
esto.
Un ejemplo típico de espacio bidimensional es la
superficie de la tierra, donde solo pueden trazarse dos
líneas perpendiculares que pasen por el mismo punto.
Así el concepto de dimensión se define en
términos de la cantidad de líneas perpendiculares
que pueden pasar por un mismo punto. Dos cosas surgen como
validas de esta definición: la cantidad de dimensiones de
un espacio es un numero entero, y en un mismo espacio todos los
puntos cumplen con la condición de cantidad de
líneas perpendiculares, es decir no puede existir una zona
donde pasen tres líneas perpendiculares y otra donde pasen
dos, por que estaríamos hablando de espacios
diferentes.
Otra forma de definir el concepto de dimensión, es a
partir de la cantidad de valores que necesitan darse para conocer
la posición de un punto en el espacio de referencia.
Así en un espacio bi-dimensional solo necesitamos dos
valores, sean estos las coordenadas cartesianas (x, y) o lo que
mas nos suena en la superficie de la tierra la longitud y la
latitud, no olvidemos que en este último caso el espacio
es curvo sobre una tercera dimensión, por lo que no
existen las líneas rectas para dibujar los ejes
cartesianos, salvo en regiones pequeñas del mismo
(locales).
Si definimos como superficie de un objeto el límite o la
frontera que separa lo interior de los exterior del objeto, en un
espacio bi-dimensional, esto será el perímetro del
objeto. S el espacio es además euclidiano podemos entonces
decir que el perímetro de un cuadrado es 4 veces el lado,
y el de una circunferencia es 2p R. Si queremos medir lo mismo en un espacio
curvo como la superficie de una esfera, según
habíamos visto en la explicación de Feynman, esto
no ocurre, es decir el espacio continuo bi-dimensional que se
forma sobre la superficie de una esfera (como la tierra) no es
euclidiano sino curvo.
Entrando a nuestro espacio dado por todo el universo que podemos
observar, desde Einstein con su teoría general de la
relatividad, se considera que el mismo podría ser un
espacio de cuatro dimensiones, donde para poder ubicar a cada
punto del mismo, se deberían conocer cuatro valores. Estos
cuatro valores ubicarían a cada punto en la superficie de
un hiper-esfera, es decir cada uno de estos equidistaría
(igual distancia) de algún epicentro cósmico. Las
desviaciones locales de la perfección euclidiana son muy
pequeñas como para ser detectadas, pero los
cosmólogos dicen que si iniciáramos un viaje
interestelar imaginario, a la larga llegaríamos al punto
de partida. Algo así como si iniciamos un viaje alrededor
de la tierra. Esto lleva a la idea de que nuestro universo no
tiene limites pero es finito. Para marearnos mas, este viaje nos
llevaría por una circunferencia cuyo distancia es
probablemente del orden de cientos de miles de millones de
años luz. Si viajáramos a la velocidad de la luz,
máxima permitida según la teoría especial de
la relatividad de Einstein, volveríamos cuando nuestro sol
esta consumido y la tierra congelada o evaporada.
¿Cuáles son las características de este
universo cuya forma es una esfera de cuatro dimensiones? En
primer lugar y como ya mencionamos, debemos definir que es una
hiper-esfera, y lo hacemos como analogía de una esfera
tri-dimensional, diciendo que es el conjunto de puntos que
están a la misma distancia de un centro P. En una
dimensión una esfera son solo dos puntos, en dos
dimensiones es un circulo, en tres dimensiones es lo que
conocemos como esfera. Una esfera en una dimensión no
tiene superficie o mejor la superficie es de dimensión
cero (recordemos como definimos superficie: es el limite entre lo
externo e interno del objeto), una esfera en dos dimensiones
tiene una superficie de una dimensión (una línea),
una esfera de tres dimensiones tiene una superficie de dos
dimensiones (una superficie curva. Analogía con la
tierra). Y en general decimos entonces que una n-esfera
tendrá una superficie de n-1 dimensiones. Nuestro Universo
si esta definido como una esfera en un espacio
cuatri-dimensional, tiene una superficie tri-dimensional que es
donde nosotros existimos. Nunca podemos ver nada fuera o dentro
de la esfera de 4 dimensiones, solo vemos lo que ocurre en la
superficie en la que estamos, dado que la luz viaja en solamente
sobre dicha superficie. Para reafirmar esta idea pensemos en el
insecto de Feynman que vive en un plano e imaginemos lo encerrado
en una circunferencia sobre el mismo, nosotros, seres con
capacidad para ver en tres dimensiones, sabemos que para salir
del encierro solo tendría que saltar, pero esto implica
poder ver esta tercera dimensión que es la altura, algo
imposible para nuestro ser bi-dimensional, por eso estar
encerrado. Así nosotros nos es imposible salir de nuestro
espacio tri-dimensional por las mismas razones. La
imaginación ha permitido escribir ciencia
ficción donde las maquinas del tiempo permitirían
salir de este confinamiento.
¿Cuál es el significado del tiempo como una cuarta
dimensión de nuestro espacio? En primer lugar es
perfectamente posible definir al tiempo como una variable para
ubicar un punto(evento) en el espacio. Sin ir mas lejos, existen
en los textos históricos flechas o líneas de tiempo
donde se ubican momentos ocurridos en el pasado. La magnitud de
los intervalos puede ser la que uno elija dado que el tiempo es
una variable continua. Adicionalmente existe una
correlación entre espacio y tiempo que pudiera permitir
medir la dimensión del espacio en unidades de tiempo. Esta
correlación surge del postulado d Einstein acerca de la
constancia de la velocidad de la luz. Así diríamos
que una medida de 300.000 Km. puede expresarse en unidades de
tiempo como 1 seg dado que es ese el tiempo que tarda la luz en
recorrer los 300.000 Km. Evidentemente esta medida es mas
adaptable a distancias muy grandes como las interestelares.
Así decimos que la distancia del sol a la tierra son 8
minutos, el diámetro del sistema solar es
de 10 horas, el diámetro de la vía Láctea es
de 100.000 años y el radio del universo conocido es de
10.000 millones de años.
Creo que ya lo mencione pero es a mi criterio importante destacar
que nuestro espacio tri-dimensional es no euclidiano, es decir es
un espacio curvo. Para que esto sea posible es necesaria la
existencia de una cuarta dimensión del espacio, de manera
tal que nuestro universo tenga algo respecto a que curvarse. Si
descubrimos que nuestro espacio es no-euclidiano, entonces
concluiremos que debe existir una dimensión adicional.
Por ultimo algo extraño pero interesante. Si pensamos
nuestra ubicación en la superficie de la tierra, vemos que
la distancia entre dos puntos es una línea que se denomina
geodesia. Esta línea es un arco de circunferencia que une
ambos puntos. Esta es para nosotros la distancia mas corta,
aunque si nos movemos a tres dimensiones sabemos que hay una
distancia mas corta dada por la recta que pasa bajo tierra y une
ambos puntos. Si extendiéramos esto al infinito,
diríamos lo siguiente:

1. Así como habitamos en un espacio
   tridimensional que es la superficie de un espacio
   cuatri-dimensional, podemos pensar que este espacio
   cuatri-dimensional es la superficie de un espacio de 5
   dimensiones.
2. Cada uno de estos espacios es como el anterior
   no-euclidiano. ¿por qué? Simplemente por que
   hay muchas formas para un espacio de ser curvo y solo una de
   ser euclidiano.
3. Tal como ocurre al medir la distancia entre dos
   puntos en este tipo de espacios curvos, veíamos como
   cuando se agrega una dimensión, esta distancia es mas
   corta que la que podíamos medir.
4. Podríamos entonces concluir que extendiendo
   el razonamiento al infinito, la distancia entre dos puntos es
   igual a cero. Es allí donde decimos que toda la
   creación es un simple punto en un espacio de infinitas
   dimensiones.

¿Qué es lo que nos ha llevado a decir que
nuestro espacio es no euclidiano o curvo? ¿Qué
propiedades hemos observado que nos hace creer en esto? La
respuesta que dio Einstein a estas es la gravedad. La presencia
de la materia causa una distorsión en el espacio-tiempo, y
esta es la base para la Teoría General de la
Relatividad.

Autor:

Eduardo Yvorra