Indice
1.
Introducción
2. Procedimiento de diseño para
compensar en adelanto por el método del Lugar de las
Raíces
3. Procedimiento de diseño para
compensar en atraso por el método del Lugar de las
Raíces
4. Procedimiento de diseño para
compensar en adelanto por el método de Respuesta en
Frecuencia
5. Procedimiento de diseño para
compensar en atraso por el método de Respuesta en
Frecuencia
6. Conclusión
7. Bibliografía
El método de
diseño lo determinan las especificaciones. El
diseñador trata de satisfacer todos los requerimientos
mediante la repetición juiciosa del método de
prueba y corrección.
Ajustar la ganancia es el primer paso, sin embargo en muchos
casos prácticos, no basta ajustar la ganancia del sistema para
cumplir con las especificaciones dadas. Con frecuencia, aumentar
la ganancia mejora el funcionamiento estacionario, pero redunda
en una estabilidad pobre. En tal caso es necesario
rediseñar el sistema para alterar el funcionamiento
global, de manera que el sistema se comporte en la forma deseada.
Este rediseño se denomina compensación y al
dispositivo que se inserta se le denomina compensador. El
compensador modifica el desempeño con déficit del sistema
original.
El siguiente trabajo tiene como finalidad, presentar algunos
procedimientos
para el diseño y compensación de sistemas de
control lineales, invariantes en el tiempo, con una
entrada y una salida.
Compensadores
Se han utilizado numerosos dispositivos físicos como
compensadores. Entre las muchas clases de compensadores,
ampliamente utilizados, están los de adelanto, de atraso,
de atraso-adelanto y compensadores con retroalimentación de velocidad.
Los compensadores pueden ser dispositivos electrónicos, o
redes
eléctricas, mecánicas, neumáticas,
hidráulicas o alguna combinación de
ellas.
Compensación en serie y compensación en
paralelo
Las figuras (a) y (b) muestran los esquemas de
compensación que suelen utilizarse para los sistemas de
control
realimentados. La figura (a) contiene la configuración en
la que el compensador Gc(s) se coloca en serie con la
planta. Este esquema se denomina compensación en
serie.
Una alternativa a la compensación en serie es la
realimentación de las señales de algunos elementos
y la colocación de un compensador en la trayectoria de
realimentación interna resultante, como se aprecia en la
figura (b). Esta compensación se denomina
compensación mediante realimentación ó
compensación en paralelo.
Al compensar los sistemas de control, observamos que, por lo
general, el problema termina en un diseño conveniente de
un compensador en serie o mediante realimentación. La
elección entre la compensación en serie y la
compensación mediante realimentación depende de la
naturaleza de
las señales del sistema, los niveles de potencia en los
diferentes puntos, los componentes disponibles, la experiencia
del diseñador, las consideraciones económicas,
tec.
En general, la compensación en serie es mas sencilla que
la compensación mediante realimentación; sin
embargo aquella requiere con frecuencia de amplificadores
adicionales para incrementar la ganancia y/o ofrecer un
aislamiento. Observe que, la cantidad de componentes de la
compensación en paralelo será menor que la cantidad
de compensación en serie, siempre y cuando se tenga una
señal adecuada, debido a que la transferencia se da de un
nivel de potencia más alto a un nivel mas bajo.
Al analizar los compensadores, solemos utilizar términos
como compensación en adelanto, compensación en
atraso y compensación adelanto – atraso. En este
trabajo explicaremos solo la compensación en adelanto y en
atraso.
(a)
(b)
2. Procedimiento de
diseño para compensar en adelanto por el método del
Lugar de las Raíces
Se utiliza cuando el sistema no cumple las
especificaciones transitorias y un solo ajuste de ganancia no es
suficiente.
- De las especificaciones de funcionamiento, se
determina la ubicación deseada de los polos dominantes
de lazo cerrado. - Trazar el diagrama de
L.R. para el sistema no compensado cuya función
de transferencia es G(s). Determine si con solo ajustar la
ganancia se logra obtener o no los polos de lazo cerrado
deseados. De no ser posible, calcule la
deficiencia angular Φ, este αngulo se
debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el
nuevo LGR pase por las ubicaciones deseadas. - Suponga que la función de transferencia del
compensador en adelanto es:
(0 <
α < 1)
donde α y
T se determinan a partir de la deficiencia angular,
Kc se determina a partir del requisito de ganancia de
lazo abierto. Entonces la F.T. de lazo abierto del sistema
compensado es Gc(s)G(s).
- Si las constantes de error estático no se
especifican determine la ubicación del polo y cero del
compensador en adelanto. (Si se especifica alguna constante de
error estático, en general es más simple utilizar
el procedimiento de respuesta en frecuencia). - Determine la ganancia de lazo abierto del sistema
compensado partiendo de la condición de
magnitud.
La compensación en adelanto, se caracteriza por
tener el cero más cercano al origen que el polo y modifica
substancialmente la ubicación de polos de lazo
cerrado.
Ubicación del cero y polo en compensación
en adelanto
Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T.
directa:
Se desean modificar los polos de lazo cerrado de modo
que se obtenga
ξ = 0.5 y ωn
= 4.
Como primer paso, ubicamos la posición de los
polos de lazo cerrado, los cuales en este caso deben ser en:
. A
continuación trazamos el L.G.R para el sistema sin
compensar.
En este sistema el ángulo de G(s) en el polo de
lazo cerrado deseado es:
Así que el compensador debe
contribuir con Φ = 30Ί en este
punto.
El polo del compensador deberá ubicarse en -5.4
mientras que el cero deberá ubicarse en -2.9. La
función de transferencia del sistema compensado
será por lo tanto:
donde k = KKc
Lo cual da k = 18.7 es decir considerando K = 4 entonces
Kc = 4.68 y por lo tanto la función de
transferencia del compensador en adelanto será:
Por lo tanto, el diagrama del L.G.R compensado es el
siguiente:
3. Procedimiento de
diseño para compensar en atraso por el método del
Lugar de las Raíces
Se utiliza cuando el sistema cumple las especificaciones
transitorias y no las de estado
estacionario (error).
- Trazar el diagrama de L.R. para el sistema no
compensado cuya función de transferencia es G(s). Basado
en las especificaciones transientes, ubique los polos
dominantes de lazo cerrado en L.R. - Suponga que la función de transferencia del
compensador en atraso es:
β > 1
Entonces la F.T. de lazo abierto del sistema compensado
es Gc(s)G(s).
- Evalúe el coeficiente de error estático
particular especificado en el problema. - Determine la magnitud del aumento en el coeficiente
de error estático para satisfacer las
especificaciones. - Determine el polo y cero del compensador en atraso
que produce el aumento necesario en el coeficiente de error,
sin alterar de forma notoria el L.R. original (Note que la
relación entre la ganancia requerida y la ganancia
hallada es la relación entre la distancia del cero al
origen y la del polo al origen. - Trace el nuevo L.R. Ubique los polos de lazo
cerrado - Ajuste la ganancia Kc del compensador
partiendo de la condición de magnitud.
Se caracteriza por:
- Un par polo-cero muy próximos al
origen. - Muy próximos entre sí.
- El polo mas cerca del origen.
- NO modifica substancialmente el lugar de las
raices.
Ubicación polo cero en compensación en
atraso
Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T.
directa:
Determine el valor de
ganancia que permite ξ = 0.5 y
ωn = 0.67, con esta
ganancia calcule el error estático de velocidad y utilice
un compensador de atraso que permita tener Kv =5 sin
cambiar en forma notable los polos dominantes de lazo
cerrado.
Para hallar el error estático de velocidad para este
sistema que es tipo 1, la entrada debe ser una rampa y por lo
tanto tenemos que:
Se necesita un compensador en atraso que incremente el
coeficiente de error en un factor de aproximadamente
10, se elige β = 10 y se colocan el cero y el polo del
compensador en atraso en s = -0.1 y s= -0.01
Diagrama del L.G.R sin compensar
Diagrama del L.G.R compensado en atraso
4. Procedimiento de
diseño para compensar en adelanto por el método de
Respuesta en Frecuencia
Se requiere modificar la forma de la curva de respuesta
en frecuencia dando suficiente adelanto de fase como para
contrarrestar el atraso de fase excesivo.
- Suponga el siguiente compensador en
adelanto:
Determine la ganancia K que satisface el requisito de
coeficiente de error estático.
- Utilizando la ganancia K trace el diagrama de Bode
del sistema no compensado. Evalúe el margende
fase. - Determine el ángulo de fase en adelanto f
necesario para agregarlo al sistema - Determine el factor de atenuación a
utilizando:
Determine la frecuencia en que la magnitud del sistema
no compensado es igual a 
.
Elija esta frecuencia como nueva frecuencia de cruce de
ganancia, esta frecuencia corresponde a 
y el máximo desplazamiento de fase
se produce a esta frecuencia.
- Determine las frecuencias de cruce del compensador en
adelanto. - Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de
a en el paso 4 calcule la constante Kc del
compensador. - Verifique el margen de ganancia para asegurar que sea
satisfactorio.
Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T.
directa:
Se desea diseñar un compensador para el sistema
tal que el coeficiente de error estático de velocidad sea
20, el margen de fase no sea menor a 50º, y el margen de
ganancia sea por lo menos de 10dB.
Solución:
Para hallar el error estático de velocidad para este
sistema que es tipo 1, la entrada debe ser una rampa y por lo
tanto tenemos que:
se trazan los diagramas de Bode
y se obtienen los márgenes de fase y de
ganancia:
se necesita un adelanto de fase de al menos 33º se
tomara m = 38º lo cual
lleva a = 0.24. Se hace notar
que:
y
por lo tanto se debe elegir esta frecuencia como la
nueva frecuencia de cruce y eso nos lleva a que:
El compensador en adelanto se convierte en:
Diagrama de bode con compensación en
adelanto
5. Procedimiento de
diseño para compensar en atraso por el método de
Respuesta en Frecuencia
La función primaria de un compensador en atraso
es atenuar en el rango de alta frecuencia para dar al sistema
suficiente margen de fase.
Suponga el siguiente compensador de atraso:
Determine la ganancia K que satisface el requisito de
coeficiente de error estático.
- Utilizando la ganancia K trace el diagrama de Bode
del sistema no compensado. Evalúe el margen de
fase. - Si el sistema sin compensación no satisface
las especificaciones en márgenes de fase y de ganancia,
halle el punto de frecuencia donde el ángulo de fase es
igual a -180° más el margen de fase requerido
más 5° a 12°. Elija esta frecuencia como la
nueva frecuencia de cruce de ganancia. - Para evitar efectos perjudiciales del atraso de fase
el polo y el cero del compensador deben ubicarse por abajo de
la nueva frecuencia de cruce (una década u una octava
por abajo). - Determine la atenuación necesaria para bajar
la curva de magnitud a cero dB en la nueva frecuencia de cruce,
esta atenuación es -20 log β determine
el valor de β y despuιs la otra
frecuencia. - Usando el valor de K determinado al
inicio y el β en el paso anterior determine el valor de
Kc.
Ejemplo:
Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T.
directa:
Se desea diseñar un compensador para el sistema
tal que el coeficiente de error estático de velocidad sea
5, el margen de fase sea al menos 40o , y el margen de ganancia
sea por lo menos de 10dB.
Solución:
Para hallar el error estático de velocidad para este
sistema que es tipo 1, la entrada debe ser una rampa y por lo
tanto tenemos que:
se trazan los diagramas de Bode y se obtienen los
márgenes de fase y de ganancia:
se necesita un adelanto de fase de al menos 33º se
tomara Φm = 38º lo cual lleva a α =
0.24.
Se hace notar que:
y
por lo tanto: 
se elige las frecuencias del polo y el cero
en:
además: 
por lo tanto: 
Diagrama de bode con compensación en
atraso
Las técnicas
de compensación, son una buena herramienta para ajustar
las ganancias de un sistema de control para poder cumplir
con las especificaciones dadas. Existen dos tipos de
compensación, una en serie y otra en paralelo, la primera
es sencilla en comparación con la otra, pero con la otra,
generalmente, podemos ahorrarnos los amplificadores en el
sistema.
Existen tres técnicas para calcular la compensación
en un sistema de control, las cuales son, compensación en
atraso, compensación en adelanto y compensación en
adelanto – atraso. Existen dos maneras de calcular dichas
técnicas son: el diseño de
sistemas de control mediante el lugar geométrico de
las raíces y el diseño de sistemas de control
mediante la respuesta en frecuencia.
- "Técnicas de Proyecto y
Compensación". Rubén Alejo Palomares. 1999.
Departamento de Ing. Electrónica – UDLAP.
Mexico. - "Análisis y
diseño de sistemas de control en MATLAB". Dr.
José Luis Vázquez. 1999. Departamento de Ing.
Electrónica – UDLAP. Mexico.
Autor:
Yubel Mendoza
Carlos Silva
República Bolivariana de Venezuela
Universidad
Fermín Toro
Facultad de ingeniería
Escuela de
ingeniería en computación
Cabudare, 7 de Marzo de 2003.