Departamento de ciencias
básicas – Academia De Matemáticas
3er. Examen departamental de álgebra
lineal
Turno: matutino fecha: 14/vi/2000
Examen propuesto por los profesores integrantes de la academia de
álgebra lineal. Presidente: Ing. Arturo Ledesma
González.
Nota: resolver solamente cinco problemas.
1.- Encuentre una base ortogonal para  3 a partir de
2.- Dadas las bases
y
para Â
2 a. Encuentre la matriz de
coordenadas del vector , con respecto a la base B’ usando la matriz de
transición de la base B a la base B’.
3.- Sea T: Â 3 ® Â 3 una función definida por
Determine si T es una transformación lineal.
NOTA: JUSTIFIQUE SU RESPUESTA.
4.- Sea T: Â 3 ® Â 4 una transformación lineal definida por:
encuentre:
5.- Sea T: Â 3 ® Â 4 una transformación lineal y considere que
,
6.- Encuentre Una matriz P que diagonalice a la matriz A y compruebe que D = P-1AP es una matriz diagonal si:
1.- En  2 se obtienen dos bases
y
Obtenga la matriz de coordenadas son o no lineales (Justificando si respuesta)
2.- Decida si las siguientes correspondencias son o no lineales (justificando su respuesta).
3.- .- Se tiene una transformación lineal T: Â 2 ® P2 tal que
,
, obtenga
y
4.- La matriz asociada a una transformación lineal T: Â 3 ® Â 3 es
¿El Vector (4, 5, -2) pertenece a el Recorrido de la transformación? ¿Porqué?
5.- Determine si la matriz dada es o no diagonalizable y en caso de que si lo sea obtenga la matriz P que la diagonaliza.
1.- Determine todo los valores de "a" para los cuales el sistema lineal resultante
2.- a) Encuentre un vector ortogonal al vector u = (1,
2, -3) y que tenga norma 5
b) Sean los vectores u = (1,
2, -3), v = (1, 3, -1) calcules el ángulo
q que forman
3.- a) Sea V = M3´ 3 Determine si W es
un subespacio de V si:
W es el conjunto de todas las matrices
antisimétrica de 3 ´ 3 de elementos reales.
b) Sea P una matriz invertible fija y sea T:
Mmn ®
Mmn una función definida por:
T(A) = P-1AP. Determine si T es una
transformación lineal.
NOTA: EN CADA CASO JUSTIFIQUE SU RESPUESTA
4.- Sea T: Â
3 ® Â
4 una transformación lineal y considere
que
,
encuentre una expresión para T
5.- Sea T: Â 3 ® Â 5 una transformación lineal definida por:
encuentre:
6.- encuentre una matriz A de 3 x 3 cuyos valores propios sean l 1 = -3, l 2 = 6 y l 3 = -5 con sus vectores propios asociados
,
y
respectivamente.
1.- Determine los valores de k para los cuales el
sistema dado sea consistente
x + y - z = 2k
2x + 3y = 2k - 1
x + y + (k2 – 10)z = 3k – 3
2.- Justificando su respuesta, responda a cada pregunta dada
3.- Usando vectores en el plano, obtenga:
4.- Encuentre una base y la dimensión para el recorrido de una transformación lineal cuya matriz asociada es:
5.- Decida si la matriz dada es o no diagonalizable y explique su respuesta.
1.- a) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (2,
-3, 4) cuya norma sea igual a
b) Obtenga dos vectores ortogonales al vector u = (5, -3) cuya
norma sea igual a
2.- Determine si los siguientes conjuntos son
subespacios vectoriales.
a)
b)
Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
3.- Exprese el vector u = (3, 0, 3) como una combinación
lineal de los vectores
u1 = (-2, -1, 1), u2 = (-1, 1, 2)
y u3 = (2, -1, 1).
4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados
forman un conjunto linealmente independiente en
Â
3
donde:
,
y
5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman
una base del espacio solución del sistema de ecuaciones
lineales homogéneo siguiente:
-5x + 10y – 15z = 0
- x + 2y – 3z = 0
3x - 6y + 9z = 0
1.- a) Encuentre el ángulo agudo entre las rectas
y
b) Obtenga dos vectores paralelos al vector u = (5, -1)
cuya norma sea igual a
2.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios
vectoriales.
a)
b)
Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
3.- Obtener dos vectores unitarios que sean ortogonales al vector
u = (3, -4).
4.- Obtenga el conjunto generador del siguiente
subespacio
5.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados forman una base de  3
donde:
,
y
1.- Sena A(1, -2, 3); B(2, 3, -1) y C(-1, 0, 3) los vértices de un triángulo. Encuentre:
2.- Dado el vector u = (1, 3) obtenga dos vectores
ortogonales al vector u de dirección opuesta y de norma 10.
3.- Determine si los siguientes conjuntos son subespacios
vectoriales.
a)
b)
Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
4.- Determine los valores de k para los cuales los vectores dados
forman un conjunto linealmente independiente en
Â
3
donde:
,
y
5.- Pruebe que w 1 = (2, 1, 0) y w 2 = (-3, 0, 1) forman
una base del espacio solución del sistema de ecuaciones
lineales homogéneo siguiente:
2y + 10z – 10w = 0
2x - 3y + 13z – 11w = 0
x - 2y + z – 3w = 0
- 2x + 5y – 3z + w = 0
1.- Encuentre un vector que sea ortogonal tanto al
vector al vector u = (3, -2, 3, 4) como la vector v = (-2, 4, -5,
-3) y que tenga norma 5.
2.- Sea V = Â
3 determine si W es un subespacio de V
si:
a)
b)
Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
3.- Determine cuales de los vectores dados pertenecen al
subespacio de Â
4 generado por W si: W = {(1, -2, 3, 1), (2, 1,
0, 2), (1, -1, 3, 2)}
a) (1, -1, 3, 5) b) (-1, 1, -3, -2) c) (2, -2, 0, 3)
Nota: En Cada Caso Justifique Su Respuesta
4.- Determine si el conjunto W =
u1 = (1, -2, 0, 1), u2 = (2, 3, -1, 2) y u3 = (0, -1, 5, 3).
Es linealmente independiente en  4, cualquiera
que sea su respuesta justifíquela.
5.- encuentre una base y la dimensión del conjunto del
sistema homogéneo dado
2x – 2z – t = 0
- y – w + 4t = 0
3x + y - 3z = 0
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