La teoría de los movimientos armónicos forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la ingeniería
La teoría
de los movimientos armónicos forzados es fundamental en
muchos ámbitos de la física y la ingeniería.
Un oscilador amortiguado por sí solo
dejará de oscilar en algún momento debido al roce,
pero podemos mantener una amplitud constante aplicando una
fuerza que
varíe con el tiempo de una
forma periódica a una frecuencia definida. Un ejemplo
cotidiano es un columpio, que podemos mantenerlo con amplitud
constante con sólo darle unos empujoncitos una vez cada
ciclo. El movimiento
resultante se llama oscilación forzada. Si se suprime la
excitación externa, el sistema
oscilará con su frecuencia natural.
Si la fuerza impulsora se aplica con una frecuencia
cercana a la natural, la amplitud de oscilación es
máxima. Aí mismo si la frecuencia coincide con la
natural la amplitud de la velocidad se
hace máxima. Este fenómeno se denomina
resonancia.
Se pueden apreciar tres tipos diferentes de comportamiento:
Si la frecuencia de excitación es muy
pequeña (lo que equivale a que se hace oscilar el extremo
superior del muelle muy lentamente), el muelle oscila
prácticamente en fase con la excitación y con su
misma amplitud.
Si la frecuencia de excitación coincide con la
frecuencia característica del muelle, la amplitud de
oscilación va creciendo cada vez más (resonancia);
en este caso, las oscilaciones del muelle están retrasadas
alrededor de un cuarto de período respecto a la
excitación.
Si la frecuencia de excitación es muy alta, el
resonador oscila con una amplitud muy pequeña y casi en
oposición de fase.
Si la constante de atenuación (debida al
rozamiento) es muy pequeña, el estado
transitorio adquiere relevancia; por tanto, es necesario esperar
algún tiempo para observar los tipos de comportamiento
mencionados.
En el caso de los osciladores reales es inevitable que
parte de su energía se disipe debido a fuerzas de origen
"viscoso", es decir fuerzas que (en el límite lineal que
estamos estudiando) sean proporcionales a la velocidad del
oscilador es decir a la derivada primera de espacio respecto del
tiempo. Así, la ecuación diferencial que representa
el movimiento de un oscilador real (para pequeños
desplazamientos respecto de su posición de equilibrio):
dx2 / dt2+ b dx
/ dt +w2x = 0
la solución de esta ecuación contiene un
factor que da cuenta de la disminución de la amplitud con
el tiempo, de manera que su solución x(t)
es:
x(t) = A o e -(b / 2
m) t cos(w' t + f)
donde
w' =wo[1 -(b /
2mwo)2]½
de manera que la energía total del oscilador
puede escribirse ahora como:
Etotal = ½
k A o2 e -(b / m)
t
Oscilaciones forzadas y resonancia
Siempre es posible "forzar" todo oscilador mediante una
fuerza externa que sea función
del tiempo. Supongamos que esta fuerza es periódica de
periodo Text, es decir
dx2 / dt2+ b dx
/ dt +w2x =
Fmaxcos(wextt)
Bajo la acción de esta fuerza, la
amplitud de las oscilaciones resultantes, es ahora una
función de la frecuencia de forzado
wext, y tendrá un máximo cuando
la la frecuencia del forzado sea igual a la frecuencia propia o
natural del oscilador. A este fenómeno se lo conoce con el
nombre de resonancia.
La energía de un oscilador
amortiguado disminuye con el tiempo, como resultado de la fuerza
disipativa. Es posible compensar esta pérdida de
energía aplicando una fuerza externa que suministre la
energía disipada realizando un trabajo positivo sobre el
sistema. En cualquier instante, es posible agregar energía
al sistema por medio de una fuerza aplicada que actúe en
la dirección del movimiento del
oscilador.
el oscilador forzado, está sometido a una fuerza
restauradora y a una fuerza externa (fuerza impulsora) que
varía armónicamente con el tiempo cuya
expresión obedece a una del tipo:
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en donde Fo es constante y
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Fo cos w t obedece entonces a la
ecuación del movimiento dada por
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o sea
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en donde hemos puesto y
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La solución de la
ecuación consta de dos partes, la solución
transitoria y la solución estacionaria. La parte
transitoria de la solución es idéntica a la de un
oscilador amortiguado no forzado dada por
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Las constantes de esta
solución, A y , dependen de las
condiciones iniciales. Transcurrido cierto tiempo, esta parte de
la solución se hace despreciable porque la amplitud
disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo
sólo queda la solución estacionaria, que no depende
de las condiciones iniciales y que se puede escribir
como
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en donde la frecuencia angular w es la misma que la de la fuerza
impulsora.
La amplitud A viene dada
por
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y la constante de fase d por
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Observando las
ecuaciones
podemos ver que el desplazamiento del sistema y la fuerza
impulsora oscilan con la misma frecuencia pero difieren en fase
en d
.
El signo negativo de la fase se ha
introducido para que la constante de fase d sea positiva.
La amplitud y, por tanto, la
energía de un sistema en estado
estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema
impulsor sino también de su frecuencia.
Se define la frecuencia natural de un
oscilador como la que tendría si no estuviesen presentes
ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor.
El fenómeno de resonancia se
produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o
aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, es
decir, w
= w
o. En esta situación
d =
p /2.
En esta imagen se observa
una gráfica que representa la amplitud frente a la
frecuencia de un oscilador amortiguado cuando se encuentra
presente una fuerza impulsora periódica. Cuando la
frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia
natural, w
o, aparece la resonancia. Se observa que la
forma de la curva de resonancia depende del valor del
coeficiente de amortiguamiento, b.
La cantidad media de energía absorbida en
un ciclo es igual a la potencia media
producida por la fuerza impulsora. En la figura se muestra un
diagrama de la
potencia media transmitida a un oscilador en función de la
frecuencia de la fuerza impulsora o externa para dos valores
diferentes de amortiguamiento (y por tanto de
Q).
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Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia.
Cuando el amortiguamiento es pequeño (el valor de Q es
alto), la potencia consumida en la resonancia es mayor y la
resonancia es más aguda; es decir, la curva de resonancia
es más estrecha, lo que quiere decir que la potencia
suministrada es grande sólo cerca de la frecuencia de
resonancia. Cuando el amortiguamiento es grande (el valor de Q es
pequeño), la curva de resonancia es más achatada y
la potencia suministrada toma valores más 
para w diferentes de la de
resonancia.
Para amortiguamientos relativamente
pequeños, el cociente entre la frecuencia de
resonancia w
o y la anchura total a la mitad del
máximo D
w es igual al factor Q
(que ya se definió en oscilaciones
amortiguadas):
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Por tanto, el factor Q nos indica
directamente si la resonancia es aguda o no y en qué
medida lo es.
En resumen, cuando se está en
resonancia:
- la amplitud del oscilador es
máxima; - la energía absorbida por el oscilador es
máxima; - la constante de fase d = p /2;
- la velocidad está en fase con la fuerza
impulsora como se observa al operar:
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según
esto, el oscilador siempre se está moviendo en el sentido
en que actúa la fuerza impulsora, por lo que se consigue
el máximo aporte de energía.
*
Resonancia e incertidumbre
Hemos visto que la amplitud de un oscilador armónico
impulsado y amortiguado tiene un pico de resonancia.
También hemos visto que el oscilador armónico
amortiguado, sin impulsión, tiene un tiempo de decaimiento
característico. Estos fenómenos se relacionan
estrechamente, y esa relación tiene consecuencias
importantes sobre nuestra capacidad de construcción de sistemas con
resonancias, como sintonizadores, o filtros de radio para
eliminar el ruido
electrónico.
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La ecuación permite obtener la rapidez a la cual
se disipa la energía en un oscilador amortiguado no
impulsado. La energía es proporcional a la amplitud al
cuadrado y, por
consiguiente, decrece de acuerdo con
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, en la cual
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es la vida media. La vida media determina el decaimiento
debido al amortiguamiento. El ancho de frecuencias del oscilador
armónico forzado está representado por la
ecuación
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, y vemos que es inversamente proporcional a
t . De acuerdo con las
ecuaciones anteriores, tenemos que
t
w D es
del orden de 1.
A esta ecuación se le conoce como principio de
incertidumbre; expresa la posibilidad de medir efectos
físicos que sean arbitrariamente precisos, tanto en tiempo
como en frecuencia. Hablando con propiedad,
sólo lo hemos deducido para una fuerza especial de
amortiguamiento. Pero en realidad representa una propiedad muy
general. Afirma que si el tiempo de amortiguamiento de un
oscilador es grande, entonces el ancho de resonancia es
pequeño, y viceversa. Cuanto más débil es el
amortiguamiento de un oscilador armónico, con más
definición responde a, o selecciona, una fuerza de
impulsión armónica de la frecuencia adecuada.
Veremos el significado de este resultado en un . [inicio]
Existen muchos ejemplos familiares de
resonancia.
Cuando nos sentamos en un columpio y nos impulsamos, la
fuerza impulsora no es armónica simple. Sin embargo, es
periódica y se aprende intuitivamente a bombear con el
cuerpo con la misma frecuencia que la natural del
columpio.
Cuando un grupo de
soldados pasa por un puente pequeño, normalmente dejan de
marcar el paso porque es posible que la frecuencia de su marcha
sea próxima a una de las frecuencias de resonancia del
puente, y este puede romperse al empezar a oscilar en
resonancia.
Muchas máquinas
vibran porque tienen piezas en rotación que no
están perfectamente equilibradas. Si se sujeta una
máquina de estas a una estructura que
puede vibrar, dicha estructura se convierte en un sistema forzado
que puede iniciar su movimiento por la acción de la
máquina.
Puede romperse un vaso con bajo amortiguamiento mediante
una onda sonora intensa con un frecuencia igual o muy
próxima a la frecuencia natural de vibración del
mismo.
Uno de los usos importantes del fenómeno de
resonancia, tanto en sistemas mecánicos como en circuitos
eléctricos, es que nos permite seleccionar o filtrar,
determinadas frecuencias en un sistema, dejando que el sistema
funcione como fuerza de impulsión en nuestro selector. El
sintonizador de una radio, que escoge determinada
estación, es un ejemplo. La ecuación que define al
principio de incertidumbre establece límites
estrictos a nuestra capacidad de diseño
de filtros, que pueden responder sólo a unos
límites estrechos de frecuencias impulsoras. Los efectos
de estos filtros se desvanecen con más lentitud a medida
que las frecuencias que seleccionan son más y más
limitadas. es un resultado muy general, que no se puede evitar
por más ingenioso que sea un diseño.
Vicky Galvis