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Notas para una Clase de Matemáticas Superiores




Enviado por ijailsf48



    Indice
    1.
    Álgebra Lineal.

    2. Geometría
    Analítica.

    3. Límite y
    Continuidad
    .

    1. Álgebra
    Lineal.

    Tema 1.1 Espacio Vectorial.
    Definición: Será un trió ordenado
    (E,+,·) con E ¹ F .
    Si, x · y Î E ; x + y Î E ; l Î
    Â con
    l · x
    Î E.
    Ejemplo 1: (Â
    ,+,·) 3 Î Â
    ; 3,5 Î
    Â ; 3 ·
    3,5 Î
    Â
    Matriz.
    Matriz: Es un sistema
    aij {i, j = 1,2,3…n} en forma ordenada en una
    tabla rectangular de (p) filas y (n) columnas.
    Las matrices se
    representan con letras mayúsculas A, B,
    C…

    Ejemplo 2: A = A2,3 ; a2,2 = -1

    Matriz Fila: A =()

    Matriz Columna: B =

    Matriz Nula: C =

    Matriz Idéntica: Los elementos de la diagonal
    serán (1) y el restos (0).

    D =

    Matriz Simétrica: Será la que al cambiar
    el orden de las filas y las columnas se convertirá en la
    misma matriz inicial.

    H =

    Matriz Traspuesta: Se toman las filas y se convierten en
    columnas y viceversa.

    K = KT =

    Operaciones con matrices.
    Suma de matrices: Para realizar la suma las matrices tienen que
    tener el mismo índice y se va a realizar la
    operación sumando cada elemento de la fila por el que le
    corresponde en la matriz siguiente.

    Ejemplo 3: H + K = .

    Multiplicaciones de matrices: Para poder
    multiplicar, la columna (n) de la primera matriz tiene que tener
    el mismo índice que la fila (p) de la segunda
    matriz.

    Ejemplo 4:
    · =
    .

    Nota 1: Este desarrollo se
    realiza de la siguiente manera: Se multiplica filas de la primera
    matriz por las columnas de la segunda matriz (este proceso
    siempre se realiza elemento por elemento y se van sumando los
    elementos resultantes de la multiplicación).
    Nota 2: El número de filas de la matriz (2era)
    debe coincidir con el número de columnas de la matriz
    (1da) e índice de la matriz resultante va a ser
    el número de filas de la matriz (1era) con el
    número de columnas de la matriz
    (2da).

    Ejemplo 5: A = B = C =

    A matriz 2x2, B matriz 2x2, C matriz
    2x2.
    Determinante: El determinante solo se le calcula a matrices
    cuadradas n x n.
    Nota 3: Esto se desarrolla de la siguiente manera:
    Caso 2×2: Se multiplica los elementos de la diagonal principal
    (va a ser la diagonal que parte del primer elemento de la primera
    fila hasta el ultimo elemento de la ultima columna)y se le resta
    el elemento resultante del producto de la
    diagonal secundaria.

    Ejemplo 6: |A| = = 3×3 – 2×2 = 5.

    Caso 3×3(Método de
    Sarrus): Se repiten las dos primeras filas al final de la matriz,
    se multiplican los elementos de las diagonales (la principal y
    las diagonales inferiores sumando cada multiplicación) y
    se le resta al elemento de sumar la cada multiplicación de
    la diagonal secundaria por las inferiores.
    Nota 4: Este método se utiliza para matrices 3×3 y
    4×4.
    · Método de desarrollo por menores.
    Forma ordinaria: Se tapa la 1era fila y la
    1era columna y se le halla el determinante a la matriz
    resultante, nuevamente se tapa la 1era fila y la
    2era columna y se le halla el determinante a la matriz
    resultante y así sucesivamente.
    Nota 5: Se suma cada determinante resultante cambiando en signo
    de cada operación (+,-,+,-,+,-…).Si la matriz
    resultante no es 2×2, 3×3, 4×4 se le vuelve aplicar el
    método del que se está hablando.
    Matriz Inversa: Solo se le puede hallar a matrices
    cuadradas.

    ·
    =

    Es decir el inverso de la matriz (1era) va a
    ser la matriz segunda.

    =

    Sistemas de ecuaciones
    lineales.

    • SEL es Homogéneo: Cuando los elementos
      (bi) son todos iguales a (0).
    • SEL no Homogéneo: Cuando los elementos
      (bi) al menos uno es diferente de (0).
    • Sea (n) el # de incógnitas
      (x1,x2,x3,…xn)
    • Sea r(A) rango de la matriz del sistema o de la
      matriz asociada.
    • Sea r(A,B) rango de la matriz completada o matriz
      ampliada.
    • Sea (k) cuando r(A) = r(A,B).

    (k) o r(A) o r(A,B) es el # de filas donde al menos un
    elemento sea diferente de 0.(Rango).

    Ahora:

    • Cuando en el sistema k = n es el sistema es
      Compatible determinado y tiene solución única
      (esto es siempre y cuando las ecuaciones sean todas linealmente
      independientes).
    • Cuando k < n el sistema es Compatible
      indeterminado.
    • Cuando r(A) ≠ r(A,B) el sistema es
      indeterminado.
    • Matriz Asociada: Es la matriz que dado un sistema de
      ecuaciones se toman los coeficientes de las
      ecuaciones.

    Ejemplo 7: 2x – y = 0

    2x – 3y = 5 La matriz asociada es:

    Matriz asociada ampliada: 2x – y = 0

    2x – 3y = 5

    La matriz asociada ampliada es:.

    Método de Gauss: Es el método general para
    la solucion de SEL, esto quiere decir que su aplicación
    nos permitirá determinar si el sistema es o no compatible
    y en caso de serlo (compatible), si es determinado o
    indeterminado y desde luego permitirá obtener la solucion
    en casos en que esta exista.

    Ejemplo 8:
    X1 – x2 + 2×3 = 3
    -x1+ 3×2 + x3 + 3×4 =
    2
    x2 – x3 = 0
    -3×2 +x3 =2

    ~

    Esta matriz es la escalonada. Para comenzar a hacer
    ceros los elementos por debajo del escalón es necesario
    (si se va eliminar algún elemento de la primera columna)
    trabajar con la fila correspondiente en número. Es decir
    voy a eliminar un elemento de la primera columna tomo la primera
    fila y así sucesivamente.

    Ejemplo:

    F1+ F2 = F2’ ~ -2 F3+ F2’ =
    F3’ ~

    3F2’ + 2F4 =
    F4’ ~
    -11F3’ + 5F4’ =
    F4’’~ .

    r(A) = 4, r(A,B) = 4; r(A) = r(A,B) = k
    Compatible.

    Como k = n = 4 Determinado.

    S = {(x1, x2, x3,
    x4)Î
    Â 4|
    x4 = ,
    x3 = -1, x2 = -1, x1 =
    4}.

    Método de Cramer: Sea un SEL con (n) ecuaciones y
    (n) número de incógnitas tal que el determinante de
    la matriz del sistema sea diferente de (0); entonces el sistema
    tendrá solución única determinada por las
    siguientes formulas:

    x1 = ,x2 = ,… xi = ;donde (D) es el determinante de la matriz
    del sistema y Dj (j = 1, 2, …i) es el
    determinante de la matriz que resulta al sustituir la columna (j)
    de la matriz del sistema, por la columna formada por los
    términos independientes.

    Para resolver un sistema de (n) ecuaciones lineales con
    (n) incógnitas:

    1. Calcule el determinante (D) de la matriz del sistema.
      Si D≠ 0, entonces:
    2. Calcule cada uno de los determinantes D1,
      D2, …Dn. Recuerde que para las
      incógnitas xi el determinante Di
      se obtiene sustituyendo en el determinante D la i-ésima
      columna por la columna de los términos
      independientes.
    3. Formule la solución del sistema de
      ecuaciones.

    2. Geometría
    Analítica.

    Tema 2.1 Ecuación del plano.
    A x + B y + C z + D = 0
    Ejemplo 9: x + y + z + 1 = 0
    Para hallar los interceptos y de paso graficar un plano se
    realiza lo siguiente:
    Eje x: y = z = 0 x + 1 = 0, x = -1 (-1, 0, 0).
    Eje y: x = z = 0 y + 1 = 0, y = -1 (0, -1, 0).
    Eje z: x = y = 0 z + 1 = 0, z = -1 (0, 0, -1).
    El gráfico (Figura 1) es la representación del
    plano anterior.

    Figura 1
    Trazas:
    Con respecto a: x y, z = 0 {x + y + 1 = 0

    {z = 0

    Con respecto a: y z, x = 0 {y + z + 1 = 0

    {x = 0

    Con respecto a: x z, y = 0 {x + z + 1 = 0

    {y = 0

    Tipos de planos:

    1. D ≠ 0
    2. A = B = 0; C ≠ 0; z + D = 0 Paralelo al plano x
      y.

      A = C = 0; B ≠ 0; y + D = 0.Paralelo al plano x
      z.

      B = C = 0, A ≠ 0; x + D = 0.Paralelo al plano y
      z.

    3. D = 0

    A = 0; B, C ≠ 0; y + z = 0.

    B = 0; A, C ≠ 0; x + z = 0.

    C = 0; A, B ≠ 0; x + y = 0.

    Paralelismo y planos.

    Forma canónica: A x + B y + C z + D =
    0

    A1x + B1y + C1z +
    D1 = 0

    Si Entonces los planos son paralelos.

    Ejemplo 10. x + y + z + 1 = 0

    2x + 2y + 2z + 3 = 0 Estos dos planos son paralelos por
    cumplir las propiedad
    anterior y solo quiero dar a conocer con este ejemplo es que la
    distancia que hay dentro los dos planos va a ser igual al modulo
    de la diferencia entre las elementos Di de cada
    plano.
    Dos planos son perpendiculares si AA1 + BB1
    + CC1 = 0.

    Tema 2.2 Ecuación de la recta.
    En el espacio es la intersección de dos planos
    3x + 4y + z + 1 = 0
    2x – y + z + 3 = 0

    Forma simétrica de la ecuación de la
    recta.
    La ecuación de la recta se puede determinar con un trabajo
    algebraico con dos puntos anteriormente dado.
    Dado: P1(x1, y1, z1);
    P2(x2, y2,
    z2).

    Esta es
    la forma simétrica de la recta.

    Cuádricas.
    La forma general es la siguiente:
    Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz +
    Fyz + Gx + Hy + Iz + K =0

    Clasificaciones:
    Céntricas: Todos los componentes estarán no
    lineales.
    No Céntricas: Cuando al menos uno de los componentes sea
    lineal.
    Céntricas: Mx2 + Ny2 +
    Pz2 = R.
    Radio (R) M,
    N, P Lugar Geométrico
    >0 + Elipsoide. Si (M = N = P) Esfera.

    Elipse
    en el primer optante.

     

     

    Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico

    >0 Dos +, uno – Hiperboloide de una hoja.

    >0 Dos -, uno + Hiperboloide de dos hojas.
    >0 Uno 0, uno +, uno – Cilindro hiperbólico recto.
    >0 Uno 0, dos + Cilindro elíptico recto
    =0 Dos +, uno – Cono
    No céntricas: Mx2 + Ny2= Rz.
    Radio (R) M, N, P Lugar Geométrico
    >0 Mismo signo Paraboloide elíptico.
    >0 Signos diferentes Paraboloide hiperbólico.
    >0 Uno Cero Cilindro parabólico.

    Una cuádrica es simétrica con respecto a
    los ejes si al sustituir:
    (x) por (-x) ;(y) por (-y); (z) por (-z) la ecuación no se
    altera. Si se sustituyen simultáneamente la
    ecuación es simétrica con respecto al eje de
    coordenadas.

    Curvas
    Las curvas no son más que la intercesión de
    Cuádricas. Cuando tenemos una cuádrica con el signo
    de > (<) quiere decir que es por
    fuera (dentro).

    3. Límite y Continuidad.

    Idea intuitiva del límite.
    Dada una función
    f(x) y el punto x = a, nos interesa saber donde se acerca x = a a
    f(x).

    Nota 6.
    El acercamiento puede ser por la izquierda o por la
    derecha.

    Definición: Se dice que el límite de f(x)
    es L para (x) cuando tiende a (a)
    (x ® a) si
    para todo e >
    0 existe un l
    > 0 que depende de e tal:
    |x – a| < l
    Þ |f(x) – L|
    < e

    Notación: (Limite de f(x) cuando tiende a (a) igual
    L).

    Limite lateral izquierdo:

    Limite lateral derecho:

    Nota 11: Los limites laterales pueden o no coincidir (en
    caso que no coincidan de dice que el limite no
    existe).

    Ejemplo 7: f(x) =

    Limite de una función en el infinito:

    Limite de f(x) en un valor infinito
    () se dice que el
    limite

    Si "
    e > 0
    $ H que depende
    e tal que
    " x > H
    Þ |f(x) –
    L|< e

    Ejemplo 8: Calcular Como al sustituir = 0 entonces:

    =
    1.

    Nota 12:;
    ;

    Esto es un convenio para los límites.

    Operaciones con límites.

    · , k Î
    Â . El
    límite de una constante es igual a la
    constante.

    Sea f(x), g(x) funciones y
    ;

    Entonces:

    ·

    ·

    ·

    ·

    ·

    ·

    Ejemplo 9:

    ;

    Nota 13:

    Cuando el límite de una función sobre otra
    función cuando tiende a ± ¥ (funciones
    polinómicas):

    Cuando tiende a ¥ : Si el grado del polinomio del numerador
    es igual al grado del polinomio del denominador el límite
    es igual a la división de los coeficientes de cada
    polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del
    denominador el límite será infinito, viceversa
    será 0.

    Cuando tiende a – ¥ : Si el grado del polinomio del numerador
    es igual al grado del polinomio del denominador el límite
    es igual a la división de los coeficientes de cada
    polinomio. Si el grado del numerador es mayor que el del
    denominador se realiza el siguiente análisis:

    Se analiza la resta de los grados (el grado del
    numerador – el grado del denominador) y si es un numero
    impar se pone un signo de – en el resultado (que va a ser
    infinito) también se analiza la división de los
    coeficientes y se pone el signo en el resultado.

    Viceversa el límite es 0.

    Ejemplo 10:

    Continuidad:
    Se dice que una función es continua en un punto (x = a)
    si:
    · Si esta definida en el punto (x = a) la
    función.
    · Si existe el limite cuando x ® a.
    · Si limite es igual a la función evaluada en el
    punto.

    Tema 3.3 Tipos de discontinuidades.
    Las funciones que no son continuas se clasifican en funciones
    discontinuas evitables y no evitables.
    Evitables: Son aquellas en que los limites laterales existen son
    iguales (en este caso se dice que el limite existe) pero incumple
    la tercera condición.
    No evitable: Son aquellas que el límite no existe, estas
    tienen una nueva clasificación; las de salto finito o
    primera especie y las de salto infinito o segunda especie.
    1era Especie: Los límites laterales existen
    pero no son iguales.
    2da Especie: Los límites laterales al menos uno
    no existe (sea igual a infinito).

    Ejemplo 11:
    Analizar la continuidad en x = 1.

    Primero, la función en el punto esta
    definida.

    Segundo, , .

    Como los límites laterales no son iguales se dice
    que el límite no existe y por tanto la función no
    es continua.

    Algunos tipos de indeterminaciones.

    Si y
    ,

    ·

    ·

    Si y
    ,

    ·

    Es decir que siempre que nos encontramos expresiones
    como las que pondré a continuaciones nos encontramos antes
    indeterminaciones que no son mas que resultados de los limites
    anteriores y habrá que aplicar algunos métodos
    que los presento en breve.

    Tipos de indeterminaciones:

    ;
    ; ; ; ; ;

    Método de Cancelación.
    Elimina el factor que me indeterminada la función.
    Lo primero que se realiza a la hora de calcular un límite
    es evaluar en el punto.

    Ejemplo 12:

    Este
    límite es de la forma indeterminada .

    .Por
    Método de cancelación.

    Tema 3.5 Limites fundamentales.

    · Es decir siempre que en algún limite aparezca la
    división de un factor trigonométrico con uno
    polinomico se pueden simplificar. Siempre y cuando el
    límite tiende a 0.

    sen(x) — x

    · .Como la tangente es seno sobre coseno sucede lo mismo que
    en el primero.

    tan(x) — x con (x > 0)

    Forma General

    · .Si .

    Ejemplo 13:

    .

    Límite fundamental algebraico.

    Siempre
    y cuando y
    .

    4. Cálculo
    Diferencial.

    Propiedades de la derivación.
    El significado de la (’) es la primera derivada.

    1. [c]’ = 0
    2. [c · f(x)]’ = c ·
      [f(x)]’
    3. [f(x)± g(x)]’ =
      [f(x)]’± [g(x)]’
    4. [f(x)·g(x)]’ = [f(x)]’·g(x)
      + f(x)·[g(x)]’

    Reglas:

    1- [fn(x)]’ =
    n·fn-1(x)·[f(x)]’

    2-

    10-

     

    Extremos de una función real en variable
    real.
    Definición: Se dice que x0 es un mínimo
    (máximo) local de una función f(x) si
    $ l > 0:" x Î (x0-d ,
    x0+d
    ) se tiene que f(x0) ³ f(x) ( f(x0)
    £ f(x) ).
    Definición: Se dice que x0 es un mínimo
    (máximo) global, si cumple las siguientes
    condiciones:

    • Ser un extremo local.
    • Es de los máximos (mínimos) locales el
      de mayor (menor) valor al evaluarse en la
      función.

    Ejemplo:
    f(x)=x2. Supongamos que los puntos x0= 2 y
    3 son extremos locales de la función
    Nos hacemos una pregunta: ¿Cómo determinar los
    extremos locales de una función?
    Teorema: Si x0 es un punto de extremo local de f(x) y
    f(x) es derivable en x0 Þ f’(x) = 0.
    Definición: Llamaremos puntos estacionarios a todo punto
    x0 que cumpla que f’(x) = 0.
    Definición: Llamemos puntos críticos si no en dicho
    punto (±
    f’(x0) Ù x0 Î Dom (f(x))).

    Criterio de la primera derivada:
    Decimos que un punto de máximo (mínimo) local
    si:
    f ’(x) > 0 ( f ’(x) < 0 ) para
    x0-d
    < x < x0 y f ’(x) < 0 ( f
    ’(x) > 0 ) para x0 < x
    x0+d
    .

    Criterio de la segunda derivada:
    Decimos que un punto x0 máximo (mínimo)
    local si f ’’(x) < 0 (f ’’(x) >
    0).
    Ejemplo: y = x3-x2+1.
    Primero calculamos su primera derivada: y’ =
    3×2-2x.
    Segundo la igualamos a cero: 3×2-2x = 0, con esto
    hallamos los puntos estacionarios x0 = 0 y
    2/3.

    Para la
    ayuda visual hagamos un gráfico de la siguiente
    forma:

    En este gráfico vemos que hemos comenzado con el
    signo de + por el hecho que la función tiene como signo de
    la variable de mayor exponente el signo +. Si la función
    dada tiene el signo + (-) comenzará con ese mismo signo.
    Si tenemos que la función es fraccionaria miramos el signo
    de la función del numerador y la del denominador y ponemos
    el signo de la división al igual que dividir dos
    números racionales.

    Trazado de curvas.
    El trazado de curvas lo veremos de la siguiente manera o orden de
    trabajo.
    · Monotonía: Se dice que una función es
    monótona creciente(decreciente) en un intervalo (a,b) si
    la f ’(x) ³
    0 (f ’(x) £ 0).
    Si (f) es continua en [a,b] ,derivable en (a,b) y f ’(x)
    > 0 (f ’(x) < 0) Þ (f) es creciente(decreciente) en
    [a,b].
    En el ejemplo anterior la función es creciente en el
    intervalo:
    Creciente en (-¥
    ,0) Ú
    (2/3, ¥
    ). Decreciente en el intervalo restante.
    · Concavidad: Si f ’’(x) > 0 (f
    ’’(x) < 0) " x Î (a,b) la función es
    cóncava hacia arriba (abajo).
    Asíntotas: Se denomina asíntota de la curva y =
    f(x) la rama infinita a una recta (L), tal que la distancia entre
    el punto (m) de la curva y dicha recta (L) tiende a (0) al
    alejarse infinitamente del origen de coordenadas.

    1. Vertical: Tiene la forma x= a.
    1. Oblicua: y= m x + n
    1. horizontal: y = a

    Para el calculo de las asíntotas verticales
    tomamos los valores
    del dominio para los
    cuales la función no esta definida y calculamos en dichos
    puntos los limites de la función por la izquierda y la
    derecha. Si dicho límites dan entonces podemos decir que en dicho punto
    hay una asíntota vertical.

    Para determinar las asíntotas oblicuas tenemos
    que resolver los siguientes limites, el primero va a ser igual a
    la pendiente de la recta y el segundo el intercepto con el eje Y:
    m = , n =
    . Si dicho
    límites existen entonces podemos decir que la
    función tiene asíntotas horizontales y ustedes se
    preguntaran porque digo asíntota en plural, ya que los
    límites cuando tienden a más o a menos infinito
    podrían ser diferentes. Siempre con la condición
    que existen dichos limites.

    Ejemplo: f(x) =

    Determinemos primero las asíntotas verticales,
    como el punto x = 2 no pertenece al dominio de definición
    de la función se toma este punto para el análisis
    de las asíntotas verticales. = + ¥ , = – ¥
    . Por tanto como los limites son iguales a:
    ± ¥ la función f(x) tiene una
    asintota vertical en el punto x = 2 y es la recta x =
    2.

    Determinemos las asintota oblicuas, como este tipo de
    asintota tiene la forma y = m x + n, el objetivo es
    calcular m, n.

    m = = 0
    n = = .

    Es decir que la asintota va a tener la forma y= 1.
    Para englobar todos los temas hablados en este tema existen pasos
    a seguir para la determinación de la grafica de una curva
    (función).

     

     

     

     

    Autor:

    Mijail Andrés Saralain Figueredo

    Estudiante Licenciatura Matemática
    UCLV. Villa Clara
    Cuba
    2003

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