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Apunte para entender bastante la teoría de la relatividad especial y algo la general




Enviado por eduardoy



Partes: 1, 2

    Indice
    1.
    Introducción

    2. Las dos teorías de la
    relatividad

    3. La teoría de la relatividad
    especial

    4. Consecuencias de la aplicación
    de los postulados de Einstein

    5. El calculo de velocidades
    relativas

    6. Las consecuencias extrañas de la
    teoría de la relatividad especial

    7. Algunos conceptos para
    entrar en la Teoría general de la
    Relatividad

    8. La Teoría General
    de la Relatividad

    1. Introducción

    A partir de tratar de explicar a personas que se
    interesaban, algunos conceptos de la teoría especial de la
    relatividad, sea la constancia de la velocidad de
    la luz, el
    significado del paso del tiempo, la
    relación entre los diferentes sistemas de
    referencia; me di cuenta que mis explicaciones no eran
    satisfactorias. Pienso que cuando uno no puede explicar algo es
    quizás porque algo de lo que intenta explicar no lo
    entiende. Así con el mismo método que
    encare la lectura y
    la escritura de
    temas
    relacionados con la mecánica cuántica, me propongo ahora
    hacer lo mismo con la relatividad.
    Lo primero que surge de algunas lecturas es que las teorías
    de la relatividad desarrolladas por Einstein, al igual que en el
    caso de la física
    cuántica, no son teorías que se vinculen con
    nuestro sentido común desarrollado a partir de las
    experiencias cotidianas. Esto sigue para mí siendo tan
    sorprendente como es el caso de la física cuántica
    , mi pregunta es ¿cómo una persona puede
    pensar y desarrollar una teoría a partir de supuestos que
    en una primera instancia suenan ridículos, o contrarios a
    lo que llamamos razonable? No tengo respuesta a esta pregunta
    pero sí una conclusión: hay que tomar caminos que
    no parecen razonables con confianza, si finalmente conducen a
    algo ese algo será extraordinario porque estaba oculto a
    los ojos de muchos y solo se revela por primera vez a aquellos
    que seguramente se encontraron con una felicidad suprema al ver
    que lo ridículo era cierto. Si no conducen a nada, el solo
    esfuerzo de transitarlos templa el espíritu para
    emprendimientos mayores, es en definitiva una escuela de
    formación del alma.

    Vayamos ahora sí al tema. La teoría de la
    relatividad que se asigna a Albert
    Einstein, esta vinculada con los temas de la bomba
    atómica, la energía
    nuclear y con la idea de que no hay absolutos, sino todo es
    relativo. Digamos que lo referente a la energía nuclear es
    ante todo un subproducto de los trabajos de Einstein. A
    diferencia de muchas teorías científicas, la
    relatividad es una teoría que surge a través del
    método científico denominado deductivo en lugar del
    inductivo. Esto significa que Einstein inicia su planteo con
    algún postulado acerca de la naturaleza sin
    recurrir a experiencias observables es decir sin
    comprobación posible de lo que postula como verdadero;
    vale una digresión aclaratoria: el porque o de donde saca
    los postulados iniciales, mucho tienen que ver con lo que pasaba
    en el mundo científico en su momento; es decir Einstein no
    saca postulados de la galera. A partir de allí, deduce las
    consecuencias que se producirían si dichos postulados son
    correctos. Estas consecuencias se utilizan luego para predecir
    comportamientos de la naturaleza, y si los mismos se confirman
    correctos, entonces se acepta a la teoría como valida,
    independientemente que el o los postulados iniciales suenen
    extraños o contradictorios o no intuitivos,
    difíciles de entender en su significado.

    Entre las consecuencias que suenan como
    esotéricas, encontramos la equivalencia de masa y
    energía: la masa seria algo así como energía
    congelada. La relación entre ambas esta dada por un factor
    tan grande que es la base de los desarrollos en energía
    nuclear y lamentablemente también guerra
    nuclear.

    a) El paso del tiempo
    Nuestra intuición nos dice que el tiempo es absoluto, un
    segundo es lo mismo para mi sentado en la computadora
    que para la persona que esta en un auto viajando a 120 km/hr. Por
    esa razón es que podemos usar relojes que miden el paso
    del tiempo y combinar encontrarnos en un lugar a una hora
    determinada. La primera ridiculez que surge como consecuencia de
    los postulados de Einstein allá por 1905, es que el tiempo
    no es absoluto, sino que el paso del mismo depende del estado de
    movimiento del
    reloj con el cual se mide. Un segundo medido en un reloj por
    cierto observador, corresponde a menos de un segundo transcurrido
    en un vehículo que se mueve respecto de dicho observador
    que mide. Esto quiere decir que el tiempo es relativo al
    observador que lo mide.

    ¿Por qué Einstein propuso cosas que
    conducen a conclusiones que suenan ridículas?
    La relatividad del tiempo no es parte de nuestras experiencias
    personales en el mundo, por el contrario viola dichas
    experiencias. Los efectos de la relatividad del tiempo son muy
    pequeños, imperceptibles a las velocidades bajas que
    estamos acostumbrados en el mundo cotidiano. La relatividad es
    una propiedad de
    la naturaleza no intuitiva. Toda la física que se inicia
    en el siglo XX esta en desacuerdo con el sentido
    común.
    Tampoco es posible hacer aproximaciones a la teoría de la
    relatividad especial a través de experimentos o
    deducciones matemáticas.
    Lo que Einstein intento hacer es poder dar
    explicaciones que hasta ese momento no existían de
    fenómenos estudiados a lo largo del siglo XIX, algo
    así como una nueva interpretación.

    2. Las dos teorías
    de la relatividad

    Einstein desarrollo dos
    teorías de la relatividad:

    1. La teoría especial de la relatividad en 1905,
      que se ocupa de la forma en la cual el espacio y el tiempo se
      manifiestan a diferentes observadores, que se mueven a
      velocidades relativas constantes entre ellos. Cuando en
      física hablamos de observadores, nos referimos a
      personas que pueden hacer mediciones de espacio con una regla,
      o del paso del tiempo con un reloj. Es decir esta teoría
      es una teoría del espacio – tiempo
    2. La teoría general de la relatividad en 1915,
      es una teoría que estudia las causas de la gravedad, de
      la atracción existente entre dos cuerpos. Pensemos por
      un momento lo extraño que resulta afirmar que dos
      cuerpos muy masivos (Ej. La tierra y
      la luna), ejercen entre sí una fuerza de
      atracción a pesar de estar separados por una gran
      distancia y no estar unidos por nada material. La acción
      a distancia sin una conexión concreta, es algo
      extraño, aunque al estar acostumbrados a percibirla, no
      nos asombra. Newton
      había determinado cual era la ecuación matemática que expresa la ley
      física de atracción entre los cuerpos, pero nunca
      explico el porque de la acción a distancia que ejercen
      los cuerpos entre si. Esta teoría de Einstein brinda de
      alguna manera ese por que.

    3. La teoría de la
    relatividad especial

    Ahora nos concentraremos en la primera de las
    teorías de la relatividad, es decir la especial.
    En primer lugar tenemos que saber que la idea fundamental de esta
    teoría es la no existencia de la condición de
    movimiento o reposo absoluto. Solo existe el movimiento relativo
    entre cuerpos y el estado de
    reposo de un cuerpo será relativo a otro cuerpo. Este es
    el motivo por el cual la teoría adopta el nombre de
    Relatividad.

    ¿Qué significa la condición de
    movimiento absoluto? seria aquel que puede determinarse y medirse
    sin ninguna referencia localizada fuera del objeto en movimiento.
    No existen marcas fijas en
    el espacio contra las cuales pudieran observarse los estados de
    movimiento de los cuerpos. Pensemos ¿como nos damos cuenta
    nosotros viajando en un auto a velocidad constante, es decir sin
    acelerar ni frenar, que estamos en movimiento? . Alguna vez
    podremos haber tenido la experiencia de estar en un vagón
    de tren detenido en el anden, y de repente si vemos otro tren en
    el anden contiguo que se mueve en dirección contraria al nuestro, nos da la
    sensación que somos nosotros los que nos movemos.
    ¿Por qué? Porque simplemente es cierto, nos movemos
    relativamente al otro tren, lo cual no indica que nos estemos
    moviendo respecto del anden donde estamos
    estacionados.

    La condición de movimiento esta
    íntimamente conectada con el tiempo. Es así que
    otra idea fundamental de esta teoría de Einstein
    será que el tiempo absoluto no existe.
    Ya dijimos que la velocidad a la que escuchamos el tic-tac de dos
    relojes, depende de la velocidad relativa entre ellos. Se
    comprueba que si sincronizamos dos relojes , y uno queda en
    tierra
    mientras que el otro viaja al espacio y vuelve, al llegar, la
    lectura en
    este ultimo mostrara que el tiempo transcurrido es menor que la
    lectura en el reloj de tierra. No solamente esto sino que si hubo
    una persona viajando, esta habrá envejecido menos que la
    que quedo en tierra. Claro como antes dijimos, las diferencias
    son imperceptibles a los sentidos,
    aunque no en la medición de los relojes que puede hacerse
    tan precisa como sea necesario. Veremos esto con mas detalle mas
    adelante.

    Un detalle acerca de la
    personalidad de Einstein. El siempre desconfió de
    ciertos conceptos establecidos no por la razón sino por
    una autoridad
    suprema. Esta actitud le
    permitió dar un gran salto, animándose a proponer
    lo que otros no se animaban o simplemente no se cuestionaban para
    no ser tildados de tontos.
    Es así que lo que Einstein trataba de hacer cuando propuso
    su teoría especial de la relatividad, era encontrar el
    sentido a un conjunto de propiedades de la naturaleza observadas
    durante un largo periodo de tiempo. ¿Cuáles eran
    estas?

    a) La relatividad de la mecánica
    La rama de la física que estudia como las masas responden
    a las fuerzas que actuan sobre ellas y a su movimiento, se
    denomina mecánica. Newton desarrollo en el siglo XVII esta
    rama de la física a partir de contribuciones hechas
    anteriormente por Galileo. Las leyes de la
    mecánica, tienen implícito un principio de
    relatividad. Este dice que no existe ningún experimento
    mecánico que pueda revelar el estado de movimiento de un
    observador. Este solo puede medir su movimiento relativo a otro
    observador u otro objeto. No puede decir que se mueve a tal o
    cual velocidad en términos absolutos. Einstein
    extendió este principio de relatividad de la
    mecánica a toda la física cuando dijo que
    ningún experimento, no solo mecánico puede
    determinar un estado de movimiento absoluto. Su gran salto fue
    afirmar, el movimiento absoluto no existe.

    b) La relatividad de la electricidad y el
    magnetismo.
    La electricidad es un fenómeno de la naturaleza asociado
    con pedazos de materia
    cargadas positiva o negativamente. Este fenómeno se
    manifiesta porque entre dichos pedazos de materia cargada se
    ejerce una fuerza de atracción o repulsión. Cuando
    las cargas están en reposo hablamos de electricidad
    estática, mientras que si están en
    movimiento las denominamos corriente
    eléctrica. Al frotar un vidrio con un
    trapo y luego acercarlo a un papel
    tendremos un ejemplo de electricidad estática, mientras
    que del enchufe de la pared lo que obtenemos es una corriente
    eléctrica que esta producida por cargas en
    movimiento.

    El magnetismo por otro lado, es una propiedad que tienen
    algunas substancias (especialmente el hierro), que
    se manifiesta también por una fuerza de atracción o
    repulsión, sobre substancias similares. La experiencia
    común que tenemos de este fenómeno es la observada
    con los imanes, los cuales interpretamos están rodeados de
    energía magnética que produce estas atracciones y
    repulsiones. Esta energía magnética es lo que se
    denomina el campo
    magnético del imán.
    Al comienzo del siglo XIX, los científicos descubrieron
    que estas fuerzas estaban relacionadas de la siguiente manera:
    una corriente eléctrica en una cable produce a su
    alrededor un campo magnético, y viceversa un imán
    que se mueve en el interior de un cable enrollado (bobina) genera
    en el mismo una corriente eléctrica. Es decir, cargas
    eléctricas en movimiento generan magnetismo, mientras que
    imanes en movimiento generan corriente
    eléctrica.

    A partir de que se conoció esta
    inter-relación, comenzó a denominarse a estos
    fenómenos electromagnéticos.
    Lo que observaron los científicos de esta época,
    era que existía un principio de relatividad en el electromagnetismo, ya que los movimientos, sea de
    las cargas como de los imanes, para que produjeran campos
    magnéticos o eléctricos, eran movimientos relativos
    entre las partes con las que se hacia el experimento.

    Esto se puede apreciar bien en el caso del imán
    que se mueve en el interior de una bobina. Es exactamente lo
    mismo dado que produce el mismo resultado que el imán se
    mueve en una dirección mientras la bobina esta quieta,
    como que la bobina se mueva en la dirección contraria
    mientras el imán esta quieto. Siempre que las velocidades
    relativas en ambos casos sean iguales, la corriente
    eléctrica que se genera será de la misma
    intensidad.
    Luego vemos que haciendo este experimento solo podemos comprobar
    el estado de movimiento relativo entre la bobina y el
    imán, pero no sabemos cual de los dos es el que en
    realidad se esta moviendo.
    Sin embargo no todo el electromagnetismo se ajustaba al principio
    de relatividad como veremos luego.

    c) El descubrimiento de la luz como fenómeno
    electromagnético.
    Maxwell en 1865, demostró matemáticamente que los
    imanes y las corrientes eléctricas podían producir
    ondas viajeras de
    energía
    eléctrica y magnética. Ondas que se
    movían en el espacio por sus propios medios, sin
    que los imanes o los cables intervinieran en este viaje. Una onda
    electromagnética como toda onda, transmite energía
    que se manifiesta como fuerzas eléctricas y
    magnéticas que se mueven a través del espacio.
    Estas ondas son invisibles, solo podemos apreciar sus
    consecuencias. Son campos eléctricos y magnéticos
    que se trasladan en la dirección del movimiento
    perpendicular a esta (la dirección) y perpendicularmente
    entre ellos. Es decir si graficamos tres ejes coordenados X, Y y
    Z, si la onda electromagnética se traslada en la
    dirección de Z, los campos eléctricos y
    magnéticos lo harán en la dirección de X e
    Y, o alternativamente de Y y X. Maxwell calculo
    matemáticamente la velocidad de traslación de estas
    ondas electromagnéticas y encontró que la misma era
    igual a la velocidad de la luz cuya magnitud ya había sido
    calculada en el pasado. A raíz de este descubrimiento,
    Maxwell propuso que la luz era una onda viajera de energía
    electromagnética, que viaja a través del espacio
    vacío a una velocidad finita cercana a los 300.000
    km/seg.

    Veamos mas en detalle el razonamiento de
    Maxwell:

    • Una carga eléctrica tiene asociada a ella un
      campo
      eléctrico E. Su existencia sirve para indicar que
      toda carga eléctrica colocada en la influencia de dicho
      campo, experimentara sobre ella una fuerza de determinada
      magnitud y en determinada dirección.
    • Si una carga eléctrica se mueve (esto es lo
      que conocemos como corriente eléctrica), se genera un
      campo magnético B, cuyo significado es la
      indicación de que toda carga en movimiento colocada en
      la influencia de dicho campo magnético experimentara una
      fuerza cuya magnitud y dirección diferirán de la
      que experimentaba por la acción del campo
      eléctrico.
    • Dado que lo que realmente cuenta en materia de
      movimiento, son los movimientos relativos de las cargas
      respecto a los campos, podemos deducir que tendremos el mismo
      efecto anterior si sobre una carga en reposo actúa un
      campo magnético variable.
    • Ahora bien si sobre una carga en reposo detectamos
      una fuerza, significa que la misma esta dentro de la influencia
      de un campo eléctrico.
    • Por esto Maxwell concluye que un campo
      magnético variable, crea un campo
      eléctrico.
    • La reciproca también se comprueba y así
      Maxwell también establece que un campo eléctrico
      variable produce un campo magnético.
    • Si el campo magnético B varia en forma
      constante, el campo eléctrico E generado será
      también constante, y viceversa campos magnéticos
      que varían en forma no constante, generan campos
      eléctricos también no constantes.
    • Así nos encontramos con una suma de efectos,
      campos magnéticos variables
      generan campos eléctricos variables, que a su vez
      generan mas campos magnéticos variables que a su vez
      generan campos eléctricos variables, y así
      siguiendo.
    • Maxwell demostró que estos campos
      eléctricos y magnéticos variables que se recrean
      constantemente uno al otro, se propagan en el espacio a una
      velocidad definida y calculada c, que resulta igual a la
      velocidad de la luz.

    d) El experimento de Michelson y Morley.
    Estos científicos en el año 1881 realizaron un
    experimento para intentar encontrar un estado de reposo absoluto,
    basándose en que la luz es una onda con velocidad
    definida. Vemos como el tema de la época era poder
    encontrar un sistema de
    referencia absoluto, porque todos los desarrollos de Newton
    requerían de este concepto. A pesar
    de lo que hasta ahora se había concluido, los
    científicos no se convencían de la no existencia de
    estados absolutos de movimiento o reposo. El descubrimiento de
    que la luz era una onda electromagnética, hacia pensar que
    debía existir un medio a través del cual la onda
    pueda viajar. Esto surgía como analogía de otras
    ondas, el sonido requiere
    el aire para
    trasladarse, las ondas acuáticas el agua. Por
    definición, para que haya onda debía haber un medio
    material donde propagarse. Como la luz se mueve por todo el
    universo-así es que vemos las estrellas- este medio
    debía ser tal que estuviera en todos lados. Podía
    entonces utilizarse el mismo como referencia de movimientos
    absolutos. A este medio se lo conocía como éter.
    Para ver como calcular movimientos absolutos a partir de los
    movimientos relativos, veamos una analogía: Supongamos que
    estamos en un bote en el medio del agua. Si
    quisiéramos saber a que velocidad se mueve el bote
    respecto del medio, deberíamos en primer lugar generar
    ondas en el agua. Las mismas se alejaran de nosotros a una cierta
    velocidad que podemos calcular contando las crestas por unidad de
    tiempo transcurrido. Esta velocidad variara según sea que
    el bote este en reposo o en movimiento, y en que
    dirección, dado que la velocidad con que se alejan las
    ondas será mayor en la dirección opuesta al
    movimiento y menor en la dirección del movimiento. Si
    llamamos U a la velocidad de las ondas, y V a la velocidad del
    bote respecto al agua, la cual no conocemos, una vez que
    determinamos la dirección del movimiento del bote que es
    aquella donde la velocidad medida de las ondas será menor;
    sabemos que la velocidad que medimos será U+V para las
    ondas que se alejan de nosotros hacia atrás de la
    dirección de movimiento del bote y U-V la de sentido
    contrario. Es decir que si hacemos la siguiente operación
    podremos obtener la velocidad del bote respecto al agua V:
    (U+V)-(U-V)=2V

    De la resta de ambas dividido 2 obtendremos la velocidad
    V del bote respecto del medio agua.
    Michelson y Morley intentaron medir la velocidad de la tierra
    respecto al éter con un sistema similar. La
    analogía es que la tierra es el bote, el éter es el
    agua, y las olitas son reemplazadas por la luz. Lo que hicieron
    fue medir la velocidad de dos rayos de luz perpendiculares, uno
    que viajaba en la dirección de la rotación de la
    tierra alrededor del sol, y otro perpendicular a este. El
    experimento partía de un mismo haz de luz que se separaba
    en direcciones perpendiculares hacia sendos espejos situados a la
    misma distancia del lugar de separación. En estos espejos
    se reflejaban volviendo a juntarse nuevamente. Su razonamiento
    era que el rayo que se mueve en la dirección del
    movimiento de la tierra, como en el caso del bote en el agua,
    tendrá al encontrarse con el otro rayo, una velocidad
    relativa diferente, dado que el espejo en el caso del rayo
    perpendicular al movimiento de la tierra, siempre mantiene la
    misma distancia de recorrido. Al tener velocidades relativas
    diferentes se produciría un desfasaje en los rayos que se
    manifestaría mediante un fenómeno de interferencia.
    Este desfase, conociendo el valor de la
    velocidad de la luz permitiría calcular cuanto
    había recorrido la tierra respecto al éter y por
    ende su velocidad. Para su sorpresa, no encontraron nunca
    diferencias en la velocidad de la luz, es decir nunca se produjo
    una interferencia, sin importar en que dirección respecto
    al movimiento de la tierra la midieran.

    Las dudas de los científicos fueron aclaradas por
    Einstein quien dijo una verdad de perogrullo, pero que nadie se
    animaba a decir. Einstein dijo que esta velocidad no se
    podía determinar porque el tal "viento de éter" no
    existe y que las ondas electromagnéticas no necesitan de
    un medio para trasladarse, sino que lo pueden hacer en el
    vacío, hasta aquí dijo lo que se observaba. Pero
    también dijo algo mas extraño, que la velocidad de
    la luz es invariante, y que la misma no esta afectada por la
    velocidad del observador que la mide o de la fuente que la emite,
    esto daba por tierra a un concepto muy arraigado en nuestro
    sentido común que es el de la composición de
    velocidades relativas.

    e) Transformadas galileanas y transformadas de
    Lorentz
    El titulo suena complejo pero es importante entrar en este tema
    para entender mejor el razonamiento de Einstein. Algunas ideas
    que aquí expondré serán repetidas pero sirve
    para aclarar mas el estado de la situación de la ciencia en
    el momento que Einstein saca sus postulados.
    Se llaman transformadas galileanas, a un conjunto de ecuaciones que
    conectan sistemas de referencia en movimiento relativo uniforme,
    a estos sistemas de referencia se los denomina inerciales por
    estar en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme
    entre si. Pensemos en un sistema S fijo y un sistema S’ que
    se mueve a la velocidad V respecto de S en la dirección
    del eje x.

    Un punto P al que denominamos un evento, se identifica
    por medio de tres valores
    (coordenadas) que lo ubican en el espacio y un valor (coordenada)
    que lo ubica en el tiempo cuando el evento sucedió. Estos
    valores de las coordenadas son conocidos como: x, y, z, t en el
    sistema S. También, debe haber valores equivalentes en el
    otro sistema S’ que se mueve respecto a S, los cuales
    estarán relacionadas con las del sistema S. Las ecuaciones
    que relacionan cada una de estas coordenadas son las que ahora
    llamamos transformadas galileanas; y son las siguientes:
    x’ = x-V.t
    y’= y
    z’= z
    t’=t

    Desde la época de Galilelo, existía un
    principio conocido como principio de relatividad, que dice que
    las leyes de la naturaleza tienen la misma forma
    matemática en todos los sistemas de referencia
    inerciales.

    Las ecuaciones que se utilizaban para expresar o mejor
    transformar las leyes de la mecánica entre los diferentes
    sistemas inerciales, eran las transformadas galileanas que
    mostramos antes.

    Cuando Maxwell desarrollo las leyes del
    electromagnetismo, surgió un conflicto
    entre las soluciones
    matemáticas de las ecuaciones de Maxwell y las
    transformadas galileanas . Las soluciones matemáticas de
    las ecuaciones de Maxwell daban origen a ondas que viajan en el
    espacio vacío a la velocidad de la luz, que como ya
    dijimos a esta altura se había calculado su valor con
    precisión. Esto es lo que le hizo decir a Maxwell que la
    luz era una onda electromagnética. Esta velocidad que
    surgía a partir de la resolución de las ecuaciones
    era para cualquier sistema de referencia, es decir era un
    invariante.

    El problema que mencionamos surge porque ahora
    parecía que en el electromagnetismo las transformadas
    galileanas no eran validas, dado que en el sistema de referencia
    S’ relacionado con el sistema S a través de las
    transformadas galileanas, la velocidad de la onda en su
    componente x, debía resultar ser U’x=c-V,
    donde c es la velocidad de la onda y V recordemos que es la
    velocidad de S’ respecto a S.
    Sin embargo la resolución matemática de las
    ecuaciones de Maxwell como dijimos daba que U’x=
    c.
    Lo primero que se dijo para encontrar una salida a este
    conflicto, fue considerar que las ondas de luz se propagaban
    respecto a un medio denominado éter; de esta manera se
    decía que las ecuaciones de Maxwell eran validas solamente
    en el sistema de referencia en reposo absoluto del éter.
    Para otros sistemas que se movieran respecto del éter la
    velocidad de la luz cambiaria de acuerdo a lo que expresan las
    transformadas galileanas.
    Entonces si existía un sistema de reposo absoluto dado por
    el éter, fue cuando Michelson y Morley intentaron hacer su
    experimento para determinar la velocidad de la tierra respecto al
    éter y concluyeron que la luz siempre se mueve a la misma
    velocidad independiente del sistema de referencia en el cual se
    la mida.
    Este dato acerca de la velocidad de la luz constante, es lo que a
    Einstein le hace repensar el concepto que tenemos del espacio y
    del tiempo.

    Las transformadas galileanas son incorrectas pero dan un
    resultado correcto cuando hablamos de velocidades dentro de
    nuestras experiencias cotidianas. Solo a altas velocidades
    cercanas a la de la luz parecería ser que dichas
    transformaciones no son correctas y que se debían
    encontrar otras.
    Estas transformaciones existen y son las denominadas
    transformadas de Lorentz.

    f) Deducción de las transformadas de Lorentz
    La deducción de estas la podemos hacer teniendo en cuenta
    dos cosas, por un lado deben ser tales que a velocidades bajas
    estas ecuaciones se deben convertir en transformadas galileanas,
    ya que sabemos que en estos rangos de velocidades bajas, estas
    son validas. Por otro lado debemos incorporarles el dato que la
    velocidad de la luz es constante en los diferentes sistemas de
    referencia.

    Veamos entonces la deducción:
    Decimos primero que x’= g (x-Vt) (1) Sabemos que para g = 1 la ecuación (1) se
    convertirá en la transformada galileana.
    Ahora bien si nos situamos en el sistema S’ como si fuera
    el fijo, el sistema S se moverá hacia el lado del eje x
    negativo a una velocidad V. Esto es fácil de interpretar
    tal como vimos en el ejemplo de los dos trenes en movimiento en
    el anden. Podemos escribir la ecuación que conecta ambos
    sistemas igual que en primer caso obteniendo que:
    x= g
    (x’+Vt’) (2)
    Esto lo hacemos para poder obtener de (1) y (2) la
    relación de t con t’, porque ahora sabemos que esta
    será diferente a la de la transformada galileana donde
    t=t’
    x’=g
    (x-Vt)
    x= g
    (x’+Vt’)
    De este sistema surge que:
    t’= g
    [t-(g
    2-1).x/g 2.V] (3)
    Todavía no sabemos cuanto vale g , solo que si es igual a 1 siguen
    valiendo las transformadas galileanas.
    Aquí entra el segundo aspecto del razonamiento, que es
    incorporar la constancia de la velocidad de la luz para ambos
    sistemas S y S’.
    Supongamos un instante inicial t=t’=0 donde iniciamos las
    mediciones en nuestros dos sistemas S y S’. Es como si
    ambos estuvieran acoplados en dicho momento inicial t=t’=0,
    a partir del cual S’ se empezara a mover respecto a S a una
    velocidad V en la dirección del eje horizontal x. En
    realidad debemos pensar que S’ ya se esta moviendo, y que a
    partir del momento de coincidencia de los orígenes O y
    O’, es cuando empezamos a realizar las mediciones. Esto es
    así porque si S’ estuviera quieto y empezara a
    moverse, tendría una aceleración, por ende el
    sistema dejaría de ser inercial y las conclusiones no
    serian validas. En ese instante inicial, cuando O=O’, sale
    un rayo de luz que recorre una distancia hasta un detector, dicha
    distancia es x en el sistema S y x’ en el sistema S’.
    Como dijimos que la velocidad de la luz c es constante en
    cualquier sistema, tendremos que
    x= c.t
    x’= c.t’

    Reemplazando estos valores de x y x’ en las
    ecuaciones (1) y (3) tenemos:
    En (1) ct’=g
    (ct-Vt) è ct’= g t(c-V) llamamos a esta (A)
    En (3) t’=g
    [t-(g
    2-1)ct/g 2..V] è t’= g t[1-(g 2-1).c/g 2.V] llamamos a esta
    (B)
    Dividiendo (A)/(B) y desarrollando algebraicamente (es sencillo y
    da) llegamos a:
    g
    2=1/(1-V2/c2)
    Si ahora reemplazamos este valor de g en las ecuaciones (1) y (3) obtendremos
    las denominadas transformadas de Lorentz que cumplen con los dos
    requisitos a saber:

    • Para velocidades V muy bajas respecto a la velocidad
      de la luz se convierten en las transformadas
      galileanas
    • Respetan el postulado de la constancia de la
      velocidad de la luz en ambos sistemas de referencia S y
      S’.

    g) Transformadas de Lorentz
    x’=(x-V.t)/(1-V2/c2)1/2
    y’=y

    z’=z
    t’=(t-V.x/c2)/(1-V2/c2)1/2

    Podemos ahora si volver a los postulados de Einstein y
    ver cuales son las consecuencias extrañas o contrarias al
    sentido común que surgen de los mismos. Aplicando las
    transformadas de Lorentz podremos ver como se producen dichas
    consecuencias.

    h) Los postulados de Einstein
    Recordemos ante todo haber dicho que un postulado es algo que no
    se explica o demuestra sino que por el contrario se establece y a
    partir del mismo se deducen las consecuencias de los mismos. Si
    estas pueden comprobarse experimentalmente entonces los
    postulados serán validos para la teoría así
    desarrollada.

    • 1er Postulado de Einstein: Es el que ya
      existía conocido como el principio de la relatividad.
      Todos los observadores en movimiento constante entre ellos son
      completamente equivalentes. Todas las leyes físicas de
      la naturaleza son las mismas en todos los marcos (sistemas) de
      referencia inerciales donde se las mida.. No hay manera de
      conocer el estado de movimiento de un observador a partir de
      ningún experimento físico que sea realizado por
      dicho observador dentro de su sistema de referencia, (si
      jugamos un partido de fútbol en un barco o en un
      avión en movimiento uniforme (no acelerado) es igual que
      si lo jugáramos en la tierra, los jugadores no patean
      mas fuerte en la dirección del movimiento.
    • 2do Postulado de Einstein. La luz siempre se propaga
      en el espacio vacío con una velocidad definida c, la
      cual es independiente del estado de movimiento del cuerpo que
      emite esa luz.

    Este 2do postulado surge del primero por lo siguiente.
    Hasta el momento todos los experimentos realizados mostraban que
    no era posible determinar una velocidad absoluta. Si
    supusiéramos en contra del segundo postulado que
    diferentes observadores con diferentes velocidades relativas,
    pudieran medir diferentes velocidades relativas de la luz,
    entonces podrían haber determinado su propia velocidad a
    través del éter (velocidad absoluta), pero esto
    estaría violando el primer postulado de
    Einstein.

    El razonamiento es algo confuso, pero el salto
    cualitativo de Einstein parece ser que dice que si todos los
    experimentos mecánicos y electromagnéticos
    realizados demuestran que no hay movimientos absolutos, entonces
    esto debe tomarse como verdadero y asumirlo como un postulado, el
    cual debe cumplirse siempre.
    Einstein llamo a estas conjeturas postulados porque
    reconocía que no eran requeridos por la lógica
    de las evidencias experimentales, sino solo motivadas por ellas.
    Algo así como que Einstein exclamara: "… y si da
    así, será así…"

    4. Consecuencias de la
    aplicación de los postulados de Einstein

    a) En el significado del electromagnetismo
    Una de las ecuaciones de Maxwell habla de que una carga en reposo
    genera un campo eléctrico (Ley de Columb). ¿Reposo
    respecto a que?.
    Otra de las ecuaciones de Maxwell habla de una corriente
    eléctrica que son cargas en movimiento, generan un campo
    magnético (Ley de Ampere). ¿Movimiento respecto a
    que?
    Desde la relatividad podemos decir que si un observador se
    considera en reposo medirá un campo eléctrico
    generado por la carga en su mismo sistema de referencia, mientras
    que otro observador que esta en un sistema en movimiento respecto
    al primero (digamos en un tren) y hace la medición,
    medirá un campo magnético, porque respecto a su
    sistema de referencia, la carga se esta moviendo. Es decir ambas
    leyes, la de Columb y la de Ampere son manifestaciones del mismo
    fenómeno, pero medidos por observadores en diferentes
    sistemas de referencia, ambos en movimiento relativo entre
    ellos.

    Es decir Einstein fue un paso mas allá que
    Maxwell al decir no solo que los campos eléctricos y
    magnéticos son manifestaciones de un único campo
    denominado electromagnético, sino que también dice
    que estas manifestaciones no son manifestaciones diferentes, sino
    la misma pero que dependen del sistema de referencia dentro del
    cual se las observe.

    b) En el significado de los conceptos espacio y
    tiempo
    La constancia de la velocidad de la luz requiere que las nociones
    de espacio y tiempo cambien. Ya no pueden pensarse como cosas
    separadas, diferentes y absolutas. Estos conceptos dependen no de
    si mismos sino del sistema de referencia en el cual esta el
    observador que realiza la medición. Este cambio es mas
    fácil de visualizar a partir de las transformadas de
    Lorentz que son las ecuaciones que conectan o relacionan las
    coordenadas de un evento que sucede en el espacio y en el tiempo
    observado o medido en dos sistemas de referencia inerciales S y
    S’.
    Recordemos que
    x’ = (x-Vt)/[1-(V/c)2]1/2
    t’=
    (t-Vx/c2)/[1-(V/c)2]1/2

    Vemos como el tiempo t’ asignado a la ocurrencia
    de un evento por el observador O’ depende no solo del
    tiempo t, sino también de la coordenada espacial x
    asignada a dicho suceso por el observador O. así no
    podemos mantener una distinción definida entre el espacio
    y el tiempo como conceptos separados.

    En lugar de localizar a un evento con 3 coordenadas
    espaciales y un tiempo separado de las mismas, tenemos que pensar
    en cuatro coordenadas similares en el espacio-tiempo que
    están mezcladas como vemos en las transformadas de
    Lorentz. Matemáticamente el tiempo es como una cuarta
    dimensión espacial.

    b1) Simultaneidad
    Dos eventos son
    simultáneos para el observador O si se producen en el
    mismo momento es decir, t2-t1=0, donde
    t2 es el momento de ocurrencia del evento 2 y
    t1 el de ocurrencia del evento 1. Si ambos sucesos
    ocurren en diferentes lugares del espacio, es decir
    x2-x1≠0, ¿cuál
    será la percepción
    de simultaneidad de los mismos eventos pero para un observador
    O’?

    Aplicando Lorentz para el tiempo
    Δt’ =
    (Δt-V.Δx/c2)/[1-(V/c)2]1/2
    Δt = 0
    Δt’ =
    (-V.Δx/c2)/[1-(V/c)2]1/2

    Es decir Δt’ ≠ 0, lo cual significa que
    lo que es simultaneo para el observador O, no lo es para el
    O’ dado que no existe simultaneidad en el espacio es decir
    los eventos no ocurren en el mismo lugar.
    Esto tendra consecuencias cuando comparemos intervalos de tiempo
    y longitudes que se miden en diferentes sistemas de
    referencia.

    b2) La dilatación del tiempo
    Imaginemos un reloj de luz, en el cual el paso del tiempo se mide
    por los tics hechos por un detector cuando un rayo de luz hace un
    recorrido de ida y vuelta desde una fuente emisora hasta el
    detector ubicado en el mismo lugar, reflejándose a mitad
    de camino en un espejo (A una distancia L desde donde esta la
    fuente y el detector). Imaginemos también que dicho
    sistema o reloj de luz esta montado en un tren que se mueve en
    dirección perpendicular al camino que recorre la luz a una
    velocidad v. Hay un observador en tierra O y uno en el tren
    O’.
    O’ que esta en movimiento con el reloj de luz, dice que
    t’1 es el momento en que dispara el rayo,
    mientras t’2 es el momento en que el detector
    hace tic marcando la llegada del rayo. así decimos que los
    eventos son la salida del rayo de luz de la fuente y la llegada
    del rayo de luz al detector.
    Los mismos eventos para O que esta en tierra, ocurrirán en
    los instantes t2 y t1.así tendremos
    un Δt’ y un Δt.
    ΏEn que lugar del espacio ocurren estos eventos?. Para el
    caso de O’ en el mismo lugar dado que el rayo para el sale
    del mismo lugar a donde llega. Mientras que para O
    la salida y llegada del rayo se producen en lugares diferentes
    dado que el vio moverse al reloj, de allí que la
    posición del detector cuando el rayo le llega esta a un
    distancia del lugar adonde salió el rayo que es Δx=
    v∆t, dado que el reloj se mueve en el tren a velocidad v
    respecto de O.

    Si reemplazamos estos valores en la transformada de
    Lorentz que relaciona los intervalos de tiempo tendremos luego de
    resolver algebraicamente que:
    ∆t’= ∆t.[1-(v/c)2]1/2.
    (1)
    El factor que multiplica a ∆t esta en el rango [0,1]
    según sea el valor de v, o sea que el intervalo entre dos
    eventos será menor para el observador en movimiento
    O’ que el que mida el observador en reposo O. A esta
    prolongación del tiempo en un reloj es
    lo que se denomina dilatación el tiempo.
    A este mismo resultado podemos llegar con un simple razonamiento
    geométrico sin tener que recurrir a la transformada de
    Lorentz.
    Para O’, ∆t’ = 2L/c simplemente es espacio
    dividido velocidad.
    Para O, siguiendo el mismo razonamiento, el rayo de luz ahora
    recorre una trayectoria que conforma un triangulo de base
    v.∆t y altura L. La distancia recorrida es dos veces la
    hipotenusa del triangulo rectángulo que es la mitad del
    anterior. De la resolución de dicho triangulo concluimos
    que ∆t.[1-(v/c)2]1/2=2L/c.
    Relacionando con ∆t’ llegamos a la ecuación
    (1) que surgió a partir de la aplicación de las
    transformadas de Lorentz.

    b3) El test de los
    muones, la contracción de la longitud.
    Dado que O y O’ son equivalentes, podríamos pensar
    que el reloj pasa mas lentamente para el que esta en el tren si
    se mide respecto del que esta en tierra, es decir
    podríamos decir que en realidad el sistema fijo es el tren
    y el móvil el de tierra que se mueve a velocidad –v
    respecto del tren. Así podríamos concluir que la
    dilatación del tiempo es solo un efecto que se da
    matemáticamente pero que en la realidad es una
    ilusión, dado que nunca se puede comprobar.

    Existe una comprobación que confirma la
    teoría de Einstein de la dilatación del tiempo
    denominada el test de los muones.
    Sobre la atmósfera chocan
    rayos cósmicos a una distancia de 10 Km. sobre la
    superficie terrestre, de esos choque se producen unas
    partículas subatómicas denominadas muones, las
    cuales son detectadas en la tierra.
    De los experimentos realizados en los aceleradores de
    partículas se sabe que la vida media del muon en reposo es
    de unos 2,20×10-6 segundos. Moviéndose como
    máximo a la velocidad c de la luz, podría recorrer
    a lo largo de su vida solo 0,66 Km. ¿Cómo hace para
    llegar a la tierra?. Lo que ocurre es que al moverse a la
    velocidad cercana a la de la luz, su reloj de tiempo transcurre
    mas lentamente cuando se lo mide desde el reloj en tierra; es
    decir la vida media en reposo se alarga a la velocidad a la cual
    se mueve según la transformada de Lorentz,
    permitiéndole recorrer una distancia mayor a los 0,66 Km.
    O sea que dentro de este periodo de su vida puede recorrer una
    distancia mayor medida según el observador en la
    tierra.

    Lo notable es que si nos sentamos en el muon, la vida
    media transcurre en el tiempo que calculábamos como en
    reposo, porque nosotros en el muon estamos en reposo respecto a
    el. En ese periodo vimos que no puede recorrer mas que 0,66 Km.,
    entonces ¿cómo logra llegar a la tierra? Visto
    desde el sistema de referencia del muon que se mueve a
    velocidades cercanas a la de la luz, las distancias se acortan y
    10 Km. se pueden transformar en 0,66 Km. Es decir se produce un
    acortamiento de la variable espacio en la dirección del
    movimiento cuando este se produce a velocidades cercanas a la de
    la luz.
    Distancias en movimiento se acortan, tiempos en movimiento se
    alargan, esto es lo extraño de la nueva concepción
    del espacio-tiempo según la teoría especial de la
    relatividad.

    El acortamiento de las longitudes no significa que
    existan dos medidas absolutas de lo mismo, lo cual seria una
    paradoja, sino que la medida será diferente para cada
    sistema de referencia. Si dos personas permanecen a ambos lados
    de una gran lente cóncava, cada uno ve al otro mas
    pequeño; decir esto no significa que cada uno sea mas
    pequeño. El hecho de que los cambios de longitud y de
    tiempo sean considerados aparentes, no quiere decir que exista
    una verdadera longitud y un verdadero tiempo que parezcan
    distintos a distintos observadores. Longitud y tiempo son
    conceptos relativos, no tiene sentido hablar de ellos(medirlos)
    fuera del contexto de la relación entre un objeto
    determinado y su observador.

    No tiene sentido decir que un conjunto de medidas es el
    correcto y que el otro es erróneo; cada uno es correcto
    con respecto al observador que efectúa las mediciones en
    su marco de referencia. Es decir no son ilusiones
    ópticas.
    Por eso en el experimento del muon, tenemos un sistema de
    referencia adosado al muon, y otro sistema adosado a la tierra.
    En el primero, medimos la vida del muon y la llamamos vida en
    reposo; mientras que la medida de la longitud que recorre tiene
    un valor mucho menor que la que podemos medir respecto al sistema
    de referencia adosado a la tierra.

    El cuestionamiento de si estas variaciones en longitud y
    tiempo son reales o aparentes es difícil de superar.
    Podríamos ver que pasa con otros fenómenos
    físicos a los cuales estamos mas acostumbrados. Veamos por
    ejemplo el efecto Doppler. Todos experimentamos alguna vez el
    cambio de frecuencia del sonido que percibimos cuando la fuente
    que emite el sonido se mueve acercándose o
    alejándose de nosotros. ¿Qué pasa entonces?
    ¿La frecuencia del sonido del silbato del tren es real o
    aparente? Decimos entonces que la frecuencia propia del sonido
    cuando la fuente que lo emite esta en reposo es invariable, el
    cambio se produce por el efecto del movimiento entre los sistemas
    de referencia. Lo mismo ocurre en el caso de la relatividad, las
    dimensiones propias de longitud y tiempo que son las medidas en
    el sistema en reposo (que es el sistema adosado al cuerpo en
    cuestión, el muon por ejemplo) no cambian. Los efectos del
    cambio se producen al medir en el otro sistema y son reales en
    tato que las mediciones son reales. La contracción de la
    longitud en el sentido del movimiento no se explica por
    teorías de la materia, sino que están referidas al
    proceso de
    medición.

    c) En el significado de masa en reposo
    La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que tiene. Existen
    dos maneras de medir la masa de un cuerpo:

    • Pesándolo. Esto determina la masa
      gravitatoria.
    • Determinando la magnitud de la fuerza necesaria para
      acelerarlo hasta un determinado valor. Esto es la masa
      inercial.

    El primer método no es bueno porque depende de la
    gravedad donde se pesa al cuerpo. Así la medida del peso
    de un cuerpo es diferente si se lo hace en la luna o en la
    tierra, a pesar de que la mas es la misma.

    El segundo método es mas preciso pero esta sujeto
    a una variación mas extraña.
    Dado que para medir la aceleración, debemos trabajar con
    movimientos, distancias y tiempos; al ser estos dependientes del
    sistema de referencia del observador, entonces la
    aceleración y por ende la masa inercial también
    dependerá de dicho sistema de referencia.
    Un observador en reposo relativo respecto del objeto al cual le
    mide la masa (un astronauta en una nave con un elefante),
    medirá siempre al misma masa del elefante
    independientemente de a que velocidad se mueva la nave. Esta mas
    se la llama masa propia del elefante o masa en reposo.

    Contrariamente, la masa que mide un observador en
    tierra, es decir desde otro sistema de referencia que esta en
    movimiento uniforme relativo a la nave, es la llamada masa
    relativista la cual varia según sea la velocidad de la
    nave. La masa inercial de un objeto ubicado en un sistema de
    referencia inercial en movimiento, medida desde el otro sistema
    inercial respecto del cual el objeto se mueve, será mayor
    a la masa en reposo o propia del objeto según la
    formula:
    m= m0/[1-(v/c)2]1/2.
    En la actualidad se ha comprobado que la formula anterior es
    correcta, a partir de observaciones de partículas
    subatómicas que se mueven a velocidades cercanas a c y que
    se producen en los aceleradores de partículas.

    5. El calculo de
    velocidades relativas

    A velocidades v<<c, las transformadas galileanas
    son validas, por eso es bastante sencillo calcular velocidades
    relativas, diciendo que las mismas se suman o restan según
    sean las direcciones de los movimientos.
    En el caso de velocidades cercanas a la de la luz, esta forma de
    calcular velocidades relativas no es correcta porque
    llegaríamos al absurdo de que la luz puede moverse a
    velocidades superiores a c si saliera de una fuente que se mueve
    a la velocidad v.
    Veamos una deducción simple:
    Ux=(x2-x1)/(t2-t1)
    (1)
    U’x=(x’2-x’1)/(t’2-t’1)
    (2)

    Reemplazando los valores de
    las transformadas de Lorentz para ∆x’ y
    ∆t’ en (2) y resolviendo algebraicamente, llegamos
    a:
    u’x=(ux-v)/(1-v.ux/c2)

    Cuando v<<c è u’x=ux-v
    que era la ecuación de composición de velocidades
    relativas.

    6. Las consecuencias
    extrañas de la teoría de la relatividad
    especial

    Resumiendo, si tenemos dos naves que tienen un
    movimiento relativo entre si a una velocidad cercana a la de la
    luz, los astronautas que viajan en cada una de estas naves
    descubrirán que:

    • La otra nave se ha encogido en la dirección
      del movimiento.
    • Los relojes de la otra nave van mas
      lentos.
    • La masa inercial de la otra nave aumento.
    • Ojo!!! Los astronautas en cada una de sus naves
      encontraran que nada cambio.

    En el extremo cuando la velocidad relativa llega a
    alcanzar la velocidad c de la luz, los astronautas dirán
    que:

    • La longitud de la otra nave se ha hecho
      nula.
    • El tiempo en la otra nave ha dejado de
      transcurrir.
    • La masa de la otra nave se hace infinita.

    Claramente estas consecuencias serian imposibles por lo
    que la velocidad c de la luz, es considerada como un limite
    máximo de la naturaleza que ningún cuerpo puede
    alcanzar.
    Debemos tener muy presente lo siguiente para no confundirnos:
    Todos los cambios que se producen en el tiempo, la longitud, la
    masa, deben entenderse como cambios que se observan siempre en el
    marco de referencia de los demás. Es decir la
    dilatación del tiempo por ejemplo de un observador en
    movimiento, no es observada (medida) por el propio observador
    sino por otro que esta fuera de su sistema de referencia y
    respecto del cual el primero se esta moviendo con movimiento
    rectilíneo y uniforme.

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